高中數(shù)學第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學案新人教A版選修1109122115VIP

1、高中數(shù)學選修精品教學資料3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學習目標：1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(重點)2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和其他函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(重點)3.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(難點)自 主 預(yù) 習·探 新 知1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減思考：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則f(x)>0這個說法正確嗎？提示不正確,應(yīng)該是f(x)0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)yf(x),

2、在區(qū)間(a,b)上導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)>0,則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增()(2)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”()(3)函數(shù)值在某個區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()(4)在區(qū)間(a,b)內(nèi),f(x)>0是f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增的充要條件()答案(1)×(2)×(3)(4)×2函數(shù)yx3x的單調(diào)遞增區(qū)間為()a(0,)b(,1)c(1,) d(,)dy3x21>0,

3、故選d.3若在區(qū)間(a,b)內(nèi),f(x)>0,且f(a)0,則在(a,b)內(nèi)有() 【導(dǎo)學號：97792146】af(x)>0 bf(x)<0cf(x)0 d不能確定 a由f(x)>0知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是增函數(shù),且f(a)0,故f(x)>0.合 作 探 究·攻 重 難函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)f(x)3x22ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(2)設(shè)函數(shù)f(x)xaln x(ar),討論f(x)的單調(diào)性思路探究(1)求f(x)解不等式f(x)<0(2)求f(x)根據(jù)a的取值判斷f(x)的正負號解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,)f(

4、x)6x令f(x)<0,即<0,解得<x<.又x>0,故0<x<.即函數(shù)f(x)3x22ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為.答案(2)f(x)的定義域為(0,)f(x)1.令g(x)x2ax1,其判別式a24.當|a|2時,0,f(x)0.故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增當a<2時,>0,g(x)0的兩根都小于0.在(0,)上,f(x)>0.故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增當a>2時,>0,g(x)0的兩根為x1,x2.當0<x<x1時,f(x)>0；當x1<x<x2時,f(x)<0；當x>x2

5、時,f(x)>0.故f(x)分別在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減規(guī)律方法求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)>0,函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù)；(4)解不等式f(x)<0,函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為減函數(shù)跟蹤訓練1(1)函數(shù)yx3x2x的單調(diào)遞增區(qū)間為()a.和(1,)b.c.(1,)d.ay3x22x1,令y>0,得x<或x>1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1,),故選a. (2)討論函數(shù)f(x)x2aln x(ar,a0)的單調(diào)性解函數(shù)定義域為(0,),f(x)x.當a0時,f(x

6、)x0恒成立,這時函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)；當a0時,由f(x)x0,得x；由f(x)x0,得0x,所以當a0時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是(0,)綜上,當a0時,單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),無單調(diào)遞減區(qū)間；當a0時,單調(diào)遞增區(qū)間為(,),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系(1)f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù),若yf(x)的圖象如圖3­3­1所示,則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()圖3­3­1(2)已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖3­3­2所示,則函數(shù)yf(x)的圖象可能是圖中的 () 【導(dǎo)學號：97792147】圖3

7、­3­2解析(1)由f(x)>0(f(x)<0)的分界點判斷原函數(shù)在此分界點兩側(cè)的圖象的上升和下降趨勢由已知可得x的取值范圍和f(x)的正、負,f(x)的增減變化情況如下表所示：x(,0)(0,2)(2,)f(x)f(x)由表可知f(x)在(,0)內(nèi)遞增,在(0,2)內(nèi)遞減,在(2,)內(nèi)遞增,滿足條件的只有d,故選d.(2)由函數(shù)yf(x)的圖象的增減變化趨勢判斷函數(shù)yf(x)的正、負情況如下表：x(1,b)(b,a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函數(shù)yf(x)的圖象,當x(1,b)時,函數(shù)圖象在x軸下方；當x(b,a)時,函數(shù)圖象在x軸上方；當x(a,1)

8、時,函數(shù)圖象在x軸下方故選c.答案(1)d(2)c規(guī)律方法(1)研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對應(yīng)關(guān)系的注意點研究一個函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時,注意抓住各自的關(guān)鍵要素,對于原函數(shù),要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零,在哪個區(qū)間內(nèi)小于零,并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f(x)>0且越來越大f(x)>0且越來越小函數(shù)值減少得越來越快函數(shù)值減少得越來越慢f(x)<0且越來越小絕對值越來越大f(x)<0且越來越大絕對值越來越小提醒：

9、函數(shù)圖象變化得越快,f(x)的絕對值越大,不是f(x)的值越大跟蹤訓練2(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),yf(x)的圖象如圖3­3­3所示,則導(dǎo)函數(shù)yf(x)可能為()圖3­3­3d由函數(shù)的圖象知：當x0時,函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)數(shù)應(yīng)始終為正；當x0時,函數(shù)先增后減再增,導(dǎo)數(shù)應(yīng)先正后負再正,對照選項,只有d正確(2)函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖3­3­4,記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x),則不等式f(x)<0的解集為_圖3­3­4(2,3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和圖象單調(diào)性的關(guān)系知當x(2,3)時f(x)<

10、0.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍探究問題1在區(qū)間(a,b)內(nèi),若f(x)0,則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增,反之也成立嗎？提示：不一定成立比如yx3在r上為增函數(shù),但其在x0處的導(dǎo)數(shù)等于零也就是說f(x)0是yf(x)在某個區(qū)間上遞增的充分條件2一般地,在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？提示：函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增f(x)0且f(x)不恒為0單調(diào)遞減f(x)0且f(x)不恒為0常函數(shù)f(x)0已知函數(shù)f(x)x3ax1,(1)若f(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)為增函數(shù),求a的取值范圍；(2)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1),求a的值思路探究(1)轉(zhuǎn)化為f(x)0在(1,)上恒成立

11、,求a的范圍；(2)由f(x)0,求單調(diào)減區(qū)間,對比已知,求a的值解(1)因為f(x)3x2a,且f(x)在區(qū)間(1,)上為增函數(shù),所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,即a3.(2)f(x)3x2a.當a0時,f(x)0,無減區(qū)間,不滿足條件當a0時,令3x2a0,得x±；當x時,f(x)0.因此f(x)在上為減函數(shù)所以1,即a3.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗參數(shù)取“”時是

12、否滿足題意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗證參數(shù)取“”時f(x)是否滿足題意2恒成立問題的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟蹤訓練3(1)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是_. 【導(dǎo)學號：97792148】1,)由于f(x)k,f(x)kxln x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增f(x)k0在(1,)上恒成立由于k,而0<<1,所以k1.即k的取值范圍為1,)(2)已知函數(shù)f(x)x22aln x.試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)g(x)f(x)在1,

13、2上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍解f(x)2x,函數(shù)f(x)的定義域為(0,).當a0時,f(x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)；.當a<0時,f(x),當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表：x(0,),f(x)0f(x)遞減遞增由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,)；單調(diào)遞增區(qū)間是(,)由g(x)x22aln x,得g(x)2x,由已知函數(shù)g(x)為1,2上的單調(diào)減函數(shù),則g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立,令h(x)x2,則h(x)2x<0,x1,2,所以h(x)在1,2上為減函數(shù),h(x)minh(

14、2),所以a.故實數(shù)a的取值范圍為.當 堂 達 標·固 雙 基1下列函數(shù)中,在(0,)內(nèi)為增函數(shù)的是()aysin xbyxexcyx3x dyxln xb對于yxex,yexxexex(1x)>0,yxex在(0,)內(nèi)為增函數(shù)2在r上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖3­3­5所示,則關(guān)于x的不等式x·f(x)<0的解集為()圖3­3­5a(,1)(0,1)b(1,0)(1,)c(2,1)(1,2)d(,2)(2,)a當x>0時,f(x)<0,此時0<x<1,當x<0時,f(x)>0,此時x<1,因此xf(x)<0的解集為(,1)(0,1)3函數(shù)f(x)(x1)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_(0,)f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex,令f(x)0,解得x0,故f(x)的增區(qū)間為(