高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案新人教A版選修1109122127

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料1.1.2四種命題 1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解四種命題的概念,能寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題(重點(diǎn))2.知道四種命題之間的相互關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系(易混點(diǎn))3.會利用命題的等價(jià)性解決問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1四種命題的概念及表示形式名稱定義表示形式互逆命題對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這樣的兩個命題叫做互逆命題其中一個命題叫做原命題,另一個叫做原命題的逆命題.原命題為“若p,則q”；逆命題為“若q,則p”互否命題對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件

2、的否定和結(jié)論的否定,這樣的兩個命題叫做互否命題如果把其中的一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的否命題原命題為“若p,則q”；否命題為“若p,則q”互為逆否命題對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,這樣的兩個命題叫做互為逆否命題如果把其中的一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的逆否命題原命題為“若p,則q”；逆否命題為“若q,則p”2.四種命題間的相互關(guān)系(1)四種命題之間的關(guān)系(2)四種命題間的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四種命題的真假性之間有如下關(guān)系：兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性；

3、兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系思考：(1)“abc0”的否定是什么？(2)在原命題,逆命題、否命題和逆否命題四個命題中真命題的個數(shù)會是奇數(shù)嗎？提示(1)“abc0”的否定是“a,b,c至少有一個不等于0”(2)真命題的個數(shù)只能是0,2,4,不會是奇數(shù)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)命題“若p,則q”的否命題為“若p,則q”()(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是否命題()(3)命題“若aba,則abb”的逆否命題是“若abb,則aba”()答案(1)×(2)(3)2命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的相反數(shù)是正數(shù)”的逆命題是()a“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的相反數(shù)不是正數(shù)”

4、b“若一個數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)”c“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的相反數(shù)不是正數(shù)”d“若一個數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)”b根據(jù)逆命題的定義知,選b.3命題“若m10,則m2100”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題是() 【導(dǎo)學(xué)號：97792008】a原命題、否命題b原命題、逆命題c原命題、逆否命題 d逆命題、否命題c原命題正確,則逆否命題正確,逆命題不正確,從而否命題不正確故選c.合 作 探 究·攻 重 難四種命題把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題(1)相似三角形對應(yīng)的角相等；(2)當(dāng)x>3時(shí),x24x3>0

5、；(3)正方形的對角線互相平分解(1)原命題：若兩個三角形相似,則這兩個三角形的三個角對應(yīng)相等；逆命題：若兩個三角形的三個角對應(yīng)相等,則這兩個三角形相似；否命題：若兩個三角形不相似,則這兩個三角形的三個角對應(yīng)不相等；逆否命題：若兩個三角形的三個角對應(yīng)不相等,則這兩個三角形不相似(2)原命題：若x>3,則x24x3>0；逆命題：若x24x3>0,則x>3；否命題：若x3,則x24x30；逆否命題：若x24x30,則x3.(3)原命題：若一個四邊形是正方形,則它的對角線互相平分；逆命題：若一個四邊形對角線互相平分,則它是正方形；否命題：若一個四邊形不是正方形,則它的對角線不

6、互相平分；逆否命題：若一個四邊形對角線不互相平分,則它不是正方形規(guī)律方法1.寫出一個命題的逆命題,否命題,逆否命題的方法(1)寫命題的四種形式時(shí),首先要找出命題的條件和結(jié)論,然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定,再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題(2)在寫命題時(shí),為了使句子更通順,可以適當(dāng)?shù)靥砑右恍┰~語,但不能改變條件和結(jié)論2寫否命題時(shí)應(yīng)注意一些否定詞語,列表如下：原詞語等于()大于(>)小于(<)是都是至多有一個否定詞語不等于()不大于()不小于()不是不都是至少有兩個原詞語至少有一個至多有n個任意的任意兩個所有的能否定詞語一個也沒有至少有(n1)個某一個(確定的)某兩個某些不能跟

7、蹤訓(xùn)練1(1)命題“若ykx,則x與y成正比例關(guān)系”的否命題是() 【導(dǎo)學(xué)號：97792009】a若ykx,則x與y成正比例關(guān)系b若ykx,則x與y成反比例關(guān)系c若x與y不成正比例關(guān)系,則ykxd若ykx,則x與y不成正比例關(guān)系d條件的否定為ykx,結(jié)論的否定為x與y不成比例關(guān)系,故選d.(2)命題“若ab0,則a,b都不為零”的逆否命題是_若a,b至少有一個為零,則ab0“ab0”的否定是“ab0”,“a,b都不為零”的否定是“a,b中至少有一個為零”,因此逆否命題為“若a,b至少有一個為零,則ab0”四種命題的關(guān)系及真假判斷(1)對于原命題：“已知a、b、cr,若a>b,則ac2&g

8、t;bc2”,以及它的逆命題、否命題、逆否命題,在這4個命題中,真命題的個數(shù)為()a0個b1個c2個d4個(2)判斷命題“若a0,則x2xa0有實(shí)根”的逆否命題的真假思路探究(1)只需判斷原命題和逆命題的真假即可(2)思路一思路二解析(1)當(dāng)c0時(shí),ac2>bc2不成立,故原命題是假命題,從而其逆否命題也是假命題；原命題的逆命題為“若ac2>bc2,則a>b”是真命題,從而否命題也是真命題,故選c.答案c(2)法一：原命題的逆否命題：若x2xa0無實(shí)根,則a<0.x2xa0無實(shí)根,14a<0,解得a<<0,原命題的逆否命題為真命題法二：a0,4a0,對

9、于方程x2xa0,根的判別式14a>0,方程x2xa0有實(shí)根,故原命題為真命題原命題與其逆否命題等價(jià),原命題的逆否命題為真命題規(guī)律方法判斷命題真假的方法(1)解決此類問題的關(guān)鍵是牢記四種命題的概念,正確地寫出所涉及的命題,判定為真的命題需要簡單的證明,判定為假的命題要舉出反例加以驗(yàn)證.(2)原命題與它的逆否命題同真同假,原命題的否命題與它的逆命題同真同假,故二者只判斷一個即可.跟蹤訓(xùn)練2判斷下列四個命題的真假,并說明理由(1)“若xy0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題；(2)“若x>y,則x2>y2”的逆否命題；(3)“若x3,則x2x6>0”的否命題；(4)“對頂角相等

10、”的逆命題解(1)命題“若xy0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則xy0”,則逆命題為真命題,因?yàn)樵}的逆命題和否命題具有相同的真假性,所以“若xy0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題是真命題(2)令x1,y2,滿足x>y,但x2<y2,所以“若x>y,則x2>y2”是假命題,因?yàn)樵}與其逆否命題具有相同的真假性,所以“若x>y,則x2>y2”的逆否命題也是假命題(3)該命題的否命題為“若x>3,則x2x60”,令x4,滿足x>3,但x2x66>0,不滿足x2x60,則該否命題是假命題(4)該命題的逆命題為“相等的角是

11、對頂角”是假命題,如等邊三角形的任意兩個內(nèi)角都相等,但它們不是對頂角等價(jià)命題的應(yīng)用探究問題1當(dāng)一個命題的條件與結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí),為了研究方便,我們可以研究哪一個命題？提示：一個命題與其逆否命題等價(jià),我們可研究其逆否命題2在證明“若m2n22,則mn2”時(shí),我們也可以證明哪個命題成立提示：根據(jù)一個命題與其逆否命題等價(jià),我們也可以證明“若mn>2,則m2n22”成立(1)命題“對任意xr,ax22ax3>0不成立”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)證明：已知函數(shù)f(x)是(,)上的增函數(shù),a,br,若f(a)f(b)f(a)f(b),則ab0. 【導(dǎo)學(xué)號：97792010】思路

12、探究(1)根據(jù)其逆否命題求解(2)證明其逆否命題成立解析(1)命題“對任意xr,ax22ax30不成立”等價(jià)于“對任意xr,ax22ax30恒成立”,若a0,則30恒成立,a0符合題意若a0,由題意知即3a<0綜上知,a的取值范圍是3a0.答案3,0(2)證明原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(,)上的增函數(shù),a,br,若ab<0,則f(a)f(b)<f(a)f(b)”若ab<0,則a<b,b<a.又f(x)在(,)上是增函數(shù),f(a)<f(b),f(b)<f(a),f(a)f(b)<f(a)f(b)即原命題的逆否命題為真命題原命題為真

13、命題規(guī)律方法1.若一個命題的條件或結(jié)論含有否定詞時(shí),直接判斷命題的真假較為困難,這時(shí)可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題2當(dāng)證明一個命題有困難時(shí),可嘗試證明其逆否命題成立跟蹤訓(xùn)練3證明：若a24b22a10,則a2b1.證明“若a24b22a10,則a2b1”的逆否命題為“若a2b1,則a24b22a10”a2b1,a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命題“若a2b1,則a24b22a10”為真命題由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知,原命題得證當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1命題“若aa,則bb”的逆命題是()a若aa,則bbb若aa,則bbc若bb,

14、則aa d若bb,則aac“若p,則q”的逆命題是“若q,則p”,所以本題的逆命題是“若bb,則aa”2已知a,b,cr,命題“若abc3,則a2b2c23”的否命題是()a若abc3,則a2b2c2<3b若abc3,則a2b2c2<3c若abc3,則a2b2c23d若a2b2c23,則abc3a同時(shí)否定命題的條件與結(jié)論,所得命題就是原命題的否命題,故選a.3命題“若a>3,則a>6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為 ()a1b2c3d4b原命題是真命題,從而其逆否命題是真命題,其逆命題是“若a>6,則a>3”,是假命題,從而其否命題也是假命題,故真命題的個數(shù)是2.4命題“若m1,則mx22x10無實(shí)根”的等價(jià)命題是_. 【導(dǎo)學(xué)號：97792011】若mx22x10有實(shí)根,則m1原命題的等價(jià)命題是