高三復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列拔高(有答案)

1、2015年高三復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列拔高組卷（有答案）一解答題（共30小題）1（2014濮陽二模）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和sn2（2014南通一模）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的各項均為整數(shù)，sn為其前n項和，且滿足（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列an中的項3（2014宿遷模擬）已知公比為q（q1）的無窮等比數(shù)列an的首項a1=1（1）若q=，在a1與a2之間插入k個數(shù)b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a3成等差數(shù)列，求這k個數(shù)；

2、（2）對于任意給定的正整數(shù)m，在a1，a2，a3的a1與a2和a2與a3之間共插入m個數(shù)，構(gòu)成一個等差數(shù)列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）當(dāng)且僅當(dāng)q取何值時，在數(shù)列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kn*，ckn）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通項公式（用q表示）4（2014東城區(qū)二模）設(shè)a是一個自然數(shù)，f（a）是a的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列an：a1是自然數(shù)，an=f（an1）（nn*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求證：a1a2；（）求證：存在mn*，使得am1005（2014日照一模）已知數(shù)列an是

3、首項為a1=，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3logan（nn*），數(shù)列cn滿足cn=anbn（1）求證：bn是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列cn的前n項和sn；（3）若cn+m1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍6（2014浦東新區(qū)三模）已知數(shù)列an，bn滿足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求數(shù)列an的通項公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）記cn=a6n1（n1），求證：數(shù)列cn為等差數(shù)列；（）若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次求a1應(yīng)滿足的條件7（2014上饒二模）已知f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+20的

4、解集為（1，），且對任意，r恒有f（sin）0，f（2+cos）0數(shù)列an滿足a1=1，3an+1=1（nn×）（）求函數(shù)f（x）的解析式；（）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（）若（）中數(shù)列bn的前n項和為sn，求數(shù)列sncos（bn）的前n項和tn8（2014福建模擬）如圖，過曲線c：y=ex上一點(diǎn)p0（0，1）做曲線c的切線l0交x軸于q1（x1，0）點(diǎn)，又過q1做x軸的垂線交曲線c于p1（x1，y1）點(diǎn)，然后再過p1（x1，y1）做曲線c的切線l1交x軸于q2（x2，0），又過q2做x軸的垂線交曲線c于p2（x2，y2），以此類推，過點(diǎn)pn的切線ln與x軸相交于點(diǎn)qn+1（x

5、n+1，0），再過點(diǎn)qn+1做x軸的垂線交曲線c于點(diǎn)pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及數(shù)列xn的通項公式；（2）設(shè)曲線c與切線ln及垂線pn+1qn+1所圍成的圖形面積為sn，求sn的表達(dá)式；（3）若數(shù)列sn的前n項之和為tn，求證：（nn+）9（2014南充一模）對于函數(shù)f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點(diǎn)如果函數(shù)f（x）=有且僅有兩個不動點(diǎn)0和2（1）試求b、c滿足的關(guān)系式（2）若c=2時，各項不為零的數(shù)列an滿足4snf（）=1，求證：（3）設(shè)bn=，tn為數(shù)列bn的前n項和，求證：t20091ln2009t200

6、810（2014通州區(qū)二模）已知f（x）=，數(shù)列an為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求數(shù)列an和bn的通項公式（2）令，cn的前n項和為tn，證明：對nn+有1tn411（2014江西模擬）無窮數(shù)列an的前n項和sn=npan（nn*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通項公式；（3）作函數(shù)f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果s10=45，證明：12（2014文登市二模）各項均為正數(shù)的數(shù)列an，其前n項和為sn，滿足=1（nn*），且s5+2=a6（）求數(shù)列an的通項公式；（）證明：7（an1）23n+1（nn*）；（

7、）若nn*，令bn=an2，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn（nn*），試比較與的大小13（2014合肥一模）已知函數(shù)fn（x）=x+，（x0，n1，nz），以點(diǎn)（n，fn（n）為切點(diǎn)作函數(shù)y=fn（x）圖象的切線ln，記函數(shù)y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，ln所圍成的區(qū)域面積為an（）求an；（）求證：an；（）設(shè)sn為數(shù)列an的前n項和，求證：sn14（2013上海）給定常數(shù)c0，定義函數(shù)f（x）=2|x+c+4|x+c|數(shù)列a1，a2，a3，滿足an+1=f（an），nn*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求證：對任意nn*，an+1anc；（3）是否存在a1，使得a1，

8、a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由15（2013上海）已知函數(shù)f（x）=2|x|，無窮數(shù)列an滿足an+1=f（an），nn*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由16（2013江蘇）設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列（d0），sn是其前n項和記bn=，nn*，其中c為實(shí)數(shù)（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：snk=n2sk（k，nn*）；（2）若bn是等差數(shù)列，證明：c=017（201

9、3天津）已知首項為的等比數(shù)列an的前n項和為sn（nn*），且2s2，s3，4s4成等差數(shù)列（） 求數(shù)列an的通項公式；（） 證明18（2013上海）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)a在y軸正半軸上，點(diǎn)pn在x軸上，其橫坐標(biāo)為xn，且xn 是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，記pnapn+1=n，nn*（1）若，求點(diǎn)a的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)a的坐標(biāo)為（0，8），求n的最大值及相應(yīng)n的值19（2013天津）已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項和為sn（nn*），且s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列tn的最大項的值與最小項的值20（2013北京）給定

10、數(shù)列a1，a2，an對i=1，2，n1，該數(shù)列前i項的最大值記為ai，后ni項ai+1，ai+2，an的最小值記為bi，di=aibi（）設(shè)數(shù)列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；（）設(shè)a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列；（）設(shè)d1，d2，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列21（2013東城區(qū)模擬）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a2=6，a5=18；數(shù)列bn的前n項和是tn，且tn+bn=1（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（3）記cn=anbn，求cn的前n項和sn

11、22（2013潮州二模）已知數(shù)列an滿足：a1=1，a2=，且an+2=（i）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（ii）求數(shù)列an的通項公式；（iii）求下表中前n行所有數(shù)的和sn23（2013廣東模擬）數(shù)列an的各項均為正數(shù)，sn為其前n項和，對于任意nn*，總有an，sn，成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）正數(shù)數(shù)列cn中，an+1=，（nn°）求數(shù)列cn中的最大項24（2013金山區(qū)一模）已知數(shù)列an滿足，1+a1+a2+anan+1=0（其中0且1，nn*），sn為數(shù)列an的前n項和（1）若，求的值；（2）求數(shù)列an的通項公式an；（3）當(dāng)時，數(shù)列an中是否存在三項構(gòu)成等差數(shù)列，若存

12、在，請求出此三項；若不存在，請說明理由25（2013東城區(qū)模擬）設(shè)a1，a2，a20是首項為1，公比為2的等比數(shù)列對于滿足0k19的整數(shù)k，數(shù)列確定記（i）當(dāng)k=1時，求m的值；（ii）求m的最小值及相應(yīng)的k的值26（2013肇慶二模）已知數(shù)列an的前n項和為sn，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)pn（n，sn）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，且過點(diǎn)pn（n，sn）的切線的斜率為kn（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn=2knan，求數(shù)列bn的前n項和tn；（3）設(shè)a=x|x=kn，nn*，b=x|x=2an，nn*等差數(shù)列cn的任一項cnab，其中c1是ab中的最小數(shù)，110c10115，求cn

13、的通項公式27（2013懷化三模）某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時比廣告費(fèi)為（n1）千元時多賣出件，（nn*）（1）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)a=10，b=4000時廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？28（2013成都模擬）已知一非零向量列an滿足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=（1）證明：|an|是等比數(shù)列；（2）設(shè)n=a n1，an（n2），bn=2nn1，sn=b1+b2+bn，求sn；（3）設(shè)cn=|an|log2|an|，問數(shù)列cn中是否存

14、在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由29（2013廣州三模）已知函數(shù)f（x）=（x0），設(shè)f（x）在點(diǎn)（n，f（n）（nn*）處的切線在y軸上的截距為bn，數(shù)列an滿足：a1=n*）（）求數(shù)列an的通項公式；（）在數(shù)列中，僅當(dāng)n=5時，取最小值，求的取值范圍；（）令函數(shù)g（x）=f（x）（1+x）2，數(shù)列cn滿足：c1=，cn+1=g（cn）（nn*），求證：對于一切n2的正整數(shù)，都滿足：1230（2013懷化二模）已知函數(shù)（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且，已知a1=4，求證：an2n+2；（3）

15、在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2014濮陽二模）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和sn考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；壓軸題分析：（）設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，聯(lián)立方程求得d和q，進(jìn)而可得an、bn的通項公式（）數(shù)列的通項公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯位相減法求得前n項和sn解答：解：（）設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，

16、則依題意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），得=點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和用錯位相減法求和2（2014南通一模）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的各項均為整數(shù)，sn為其前n項和，且滿足（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列an中的項考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）先確定a4=1，再根據(jù)得d=3或，結(jié)合數(shù)列an的各項均為整數(shù)，求出公差，即可求數(shù)列an的通項公式；（2）根據(jù)，an=3n11=3（n4）+1，可得為數(shù)列an中的項，必須是3的倍數(shù)，進(jìn)而驗(yàn)證，可得所有的正整數(shù)m，使

17、得為數(shù)列an中的項解答：解：（1）因?yàn)閍n是等差數(shù)列，且s7=7，而，于是a4=1（2分）設(shè)an的公差為d，則由得，化簡得8d227d+9=0，即（d3）（8d3）=0，解得d=3或，但若，由a4=1知不滿足“數(shù)列an的各項均為整數(shù)”，故d=3（5分）于是an=a4+（n4）d=3n11（7分）（2）因?yàn)?，an=3n11=3（n4）+1，（10分）所以要使為數(shù)列an中的項，必須是3的倍數(shù)，于是am在±1，±2，±3，±6中取值，但由于am1是3的倍數(shù)，所以am=1或am=2由am=1得m=4；由am=2得m=3 （13分）當(dāng)m=4時，；當(dāng)m=3時，所以所

18、求m的值為3和4（16分）點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式，解題的重點(diǎn)是要熟練掌握基本公式，并能運(yùn)用公式，還要具備一定的運(yùn)算能力3（2014宿遷模擬）已知公比為q（q1）的無窮等比數(shù)列an的首項a1=1（1）若q=，在a1與a2之間插入k個數(shù)b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a3成等差數(shù)列，求這k個數(shù)；（2）對于任意給定的正整數(shù)m，在a1，a2，a3的a1與a2和a2與a3之間共插入m個數(shù)，構(gòu)成一個等差數(shù)列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）當(dāng)且僅當(dāng)q取何值時，在數(shù)列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kn*，ckn）個數(shù)，使之成為

19、一個等差數(shù)列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通項公式（用q表示）考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）由條件得1，b1，b2，bk，成等差數(shù)列，求出公差d=，k=2，即可求這2個數(shù)；（2）設(shè)a1與a2之間插入k個數(shù)，kn，且km，則在a2與a3之間插入（mk）個數(shù)，由條件這等差數(shù)列第一項為a1=1，第k+2項為a2=q，第m+2項為a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；（3）當(dāng)且僅當(dāng)qn，且q2時，在數(shù)列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kn*，ckn）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列，再進(jìn)行證明即可解答：解：（1）由條件得1，b1

20、，b2，bk，成等差數(shù)列，所以公差d=，k=2，所以這2個數(shù)為：b1=，b2=； （2分）（2）設(shè)a1與a2之間插入k個數(shù)，kn，且km，則在a2與a3之間插入（mk）個數(shù)，由條件這等差數(shù)列第一項為a1=1，第k+2項為a2=q，第m+2項為a2=q2，所以=，q1，所以q=，且 k；所以公比q的所有可能的取值的集合 q|q=，kn，km且k；（6分）（3）當(dāng)且僅當(dāng)qn，且q2時，在數(shù)列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kn*，ckn）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列；證明如下：（i）當(dāng)qn，且q2時，新構(gòu)成的等差數(shù)列可以是正整數(shù)數(shù)列1，2，3，顯然滿足條件； （8分）（ii） 若在數(shù)列a

21、n的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kn*，ckn）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列設(shè)為bn，則對于任意的kn*，都有，即=，q1且q0，所以q=，ck+1，ckn，所以q為正有理數(shù)，an為正項無窮等比數(shù)列，若q不為整數(shù)，不妨設(shè)q=，其中p，tn*，p與t互質(zhì)，且p2，等差數(shù)列bn的公差為d=，通項為bn=1+（n1）；則數(shù)列（c1+1）pbn的各項都為整數(shù)，則對于任意的nn*，（c1+1）p ann*，即對于任意的nn*，（c1+1）p（）n1n*，即于任意的nn*，由p與t互質(zhì)，則（c1+1）p都能被pn1整除，p2，且pn*，這是不可能的，所以q為正整數(shù)，又q1，所以qn，

22、且q2； （12分）當(dāng)qn，且q2時，對于首項為1，第（c1+1）項為q的等差數(shù)列bn，則公差d=，令an=bm，即q n1=1+（m1）（nn*），有m=（c1+1）+1n*，所以an是bn中的第（c1+1）+1項，所以c1的所有可能值的集合是自然數(shù)集n； （14分）對于任意的自然數(shù)c1，由=q，qn，nn*且q2知cn+1是首項為c1+1，公比為q的等比數(shù)列，所以cn的通項公式為cn=（c1+1）qn11 （16分）點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)列的應(yīng)用，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查反證法思想的運(yùn)用，難度大，學(xué)生很難解決4（2014東城區(qū)二模）設(shè)a是一個自然數(shù)，f（a）是a的各位數(shù)字的平方和，

23、定義數(shù)列an：a1是自然數(shù)，an=f（an1）（nn*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求證：a1a2；（）求證：存在mn*，使得am100考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）利用新定義，可求f（99），f（2014）；（）假設(shè)a1是一個n位數(shù)（n3），設(shè)出a1，由a2=f（a1）可得，作差，即可得證；（）利用反證法進(jìn)行證明即可解答：（）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21 （5分）（）證明：假設(shè)a1是一個n位數(shù)（n3），那么可以設(shè)，其中0bi9且bin（1in），且bn0由a2=f（a1

24、）可得，=，所以因?yàn)閎n0，所以（10n1bn）bn99而（b11）b172，所以a1a20，即a1a2 （9分）（）證明：由（）可知當(dāng)a1100時，a1a2同理當(dāng)an100時，anan+1若不存在mn*，使得am100則對任意的nn*，有an100，總有anan+1則anan11，可得ana1（n1）取n=a1，則an1，與an100矛盾存在mn*，使得am100 （14分）點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大5（2014日照一模）已知數(shù)列an是首項為a1=，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3logan（nn*），數(shù)列cn滿足cn=anbn（

25、1）求證：bn是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列cn的前n項和sn；（3）若cn+m1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定；函數(shù)恒成立問題；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；證明題；壓軸題分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得an，代入求得bn+1bn為常數(shù)，進(jìn)而判斷出數(shù)列bn是等差數(shù)列（2）由（1）可分別求得an和bn，進(jìn)而求得cn進(jìn)而用錯位相減法進(jìn)行求和（3）把（2）中的cn，代入cn+1cn結(jié)果小于0，進(jìn)而判斷出當(dāng)n2時，cn+1cn，進(jìn)而可推斷出當(dāng)n=1時，cn取最大值，問題轉(zhuǎn)化為，求得m的取值范圍解答：解：（1）由題意知，an=（）n，b1=1bn+1bn=3an

26、+1=3an=3=3q=3數(shù)列bn是首項為1，公差為3的等差數(shù)列（2）由（1）知，an=（）nbn=3n2cn=（3n2）×（）nsn=1×+4×（）2+（3n2）×（）n，于是sn=1×（）2+4×（）3+（3n2）×（）n+1，兩式相減得sn=+3×（）2+（）3+（）n）（3n2）×（）n+1，=（3n+2）×（）n+1，sn=（）n（3）cn+1cn=（3n+1）×（）n+1（3n2）×（）n=9（1n）×（）n+1，當(dāng)n=1時，c2=c1=當(dāng)n2時，cn+

27、1cn，即c2=c1c3c4cn當(dāng)n=1時，cn取最大值是又即m2+4m50解得m1或m5點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項法求和，解不等式等問題6（2014浦東新區(qū)三模）已知數(shù)列an，bn滿足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求數(shù)列an的通項公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）記cn=a6n1（n1），求證：數(shù)列cn為等差數(shù)列；（）若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次求a1應(yīng)滿足的條件考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；壓軸題；分類討論分析：（）根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件

28、便可求出數(shù)列an的通項公式；（）（）先根據(jù)題中已知條件推導(dǎo)出bn+6=bn，然后求出cn+1cn為定值，便可證明數(shù)列cn為等差數(shù)列；（）數(shù)列a6n+i均為以7為公差的等差數(shù)列，然后分別討論當(dāng)時和當(dāng)時，數(shù)列是否滿足題中條件，便可求出a1應(yīng)滿足的條件解答：解：（）當(dāng)n2時，有an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=a1+b1+b2+bn1（2分）=（3分）又因?yàn)閍1=1也滿足上式，所以數(shù)列an的通項為（4分）（）由題設(shè)知：bn0，對任意的nn*有bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=bn（5分）b6n5=b1=

29、1，b6n4=b2=2，b6n3=b3=2，b6n2=b4=1，（）cn+1cn=a6n+5a6n1=b6n1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n1），所以數(shù)列cn為等差數(shù)列（7分）（）設(shè)dn=a6n+i（n0），（其中i為常數(shù)且i1，2，3，4，5，6），所以dn+1dn=a6n+6+ia6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n0）所以數(shù)列a6n+i均為以7為公差的等差數(shù)列（9分）設(shè)，（其中n=6k+i（k0），i為1，2，3，4，5，6中的一個常數(shù)），當(dāng)時，對任意的n=6k+i有=；（10分）由，

30、i1，2，3，4，5，6知；此時重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次當(dāng)時，=若，則對任意的kn有fk+1fk，所以數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；若，則對任意的kn有fk+1fk，所以數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多各出現(xiàn)一次，即數(shù)列中任意一項的值最多出現(xiàn)六次綜上所述：當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次當(dāng)a1b時，數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次（14分）點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題7（2014上饒二模）已知f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x

31、）+20的解集為（1，），且對任意，r恒有f（sin）0，f（2+cos）0數(shù)列an滿足a1=1，3an+1=1（nn×）（）求函數(shù)f（x）的解析式；（）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（）若（）中數(shù)列bn的前n項和為sn，求數(shù)列sncos（bn）的前n項和tn考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合；函數(shù)解析式的求解及常用方法；等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想分析：（）根據(jù)“f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+20的解集為，”可得到即，再由“任意，r恒有f（sin）0，f（2+cos）0”可得f（1）0，f（21）0，從而有f（1）=0，解得得到函數(shù)的解析

32、式（）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x+1，則即，兩邊取倒數(shù)，有由等差數(shù)列定義求解（）化簡得sncos（bn）=（1）nsn以有tn=s1+s2s3+s4+（1）nsn再分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況化簡即可解答：解：（）依題意，（a0），即令，則sin=1，cos=1，有f（1）0，f（21）0，得f（1）=0，即，得（4分）（）f'（x）=3x+1，則即，兩邊取倒數(shù)，得，即bn+1=3+bn數(shù)列bn是首項為，公差為3的等差數(shù)列bn=1+（n1）3=3n2（nn*）（9分）（）cos（bn）=cos（3n2）=cos（n）=（1）nsncos（bn）=（1）nsntn=s1+s2s3+

33、s4+（1）nsn（1）當(dāng)n為偶數(shù)時tn=（s2s1）+（s4s3）+（snsn1）=b2+b4+bn=（2）當(dāng)n為奇數(shù)時=綜上，（13分）點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，主要涉及了二次函數(shù)求解析式，構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項及前n項和等問題，屬于中檔題8（2014福建模擬）如圖，過曲線c：y=ex上一點(diǎn)p0（0，1）做曲線c的切線l0交x軸于q1（x1，0）點(diǎn)，又過q1做x軸的垂線交曲線c于p1（x1，y1）點(diǎn)，然后再過p1（x1，y1）做曲線c的切線l1交x軸于q2（x2，0），又過q2做x軸的垂線交曲線c于p2（x2，y2），以此類推，過點(diǎn)pn的切線ln與x軸相交于點(diǎn)qn+1（xn+1

34、，0），再過點(diǎn)qn+1做x軸的垂線交曲線c于點(diǎn)pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及數(shù)列xn的通項公式；（2）設(shè)曲線c與切線ln及垂線pn+1qn+1所圍成的圖形面積為sn，求sn的表達(dá)式；（3）若數(shù)列sn的前n項之和為tn，求證：（nn+）考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合；定積分在求面積中的應(yīng)用；數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而求出切線的斜率，再把1，2代入就可求出求x1、x2的值求出點(diǎn)pn的切線ln的方程即可求出及數(shù)列xn的通項公式；（2）直接利用定積分來求sn的表達(dá)式即可；（3）利用（2）的結(jié)論先求出

35、數(shù)列sn的前n項之和為tn，再把所要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法證明en+1（e1）n+e即可解答：解：（1）y=ex，設(shè)ln的斜率為kn，則l0的方程為：y=x+1，令y=0得x1=1，y1=e1p1（1，e1），l1的方程為：ye1=e1（x1），令y=0得x2=2，一般地，ln的方程為：，由qn+1（xn+1，0）ln得：xn+1xn=1，xn=n （4分）（2）=（8分）（3），要證：，只要證明：，即只要證明en+1（e1）n+e（10分）證明；數(shù)學(xué)歸納法：（一）當(dāng)n=1時，顯然（e1）20e22e1e2（e1）+e成立（二）假設(shè)n=k時，有ek+1（e1）k+e當(dāng)n=k+1時，ek+

36、2=eek+1e（e1）k+e而e（e1）k+e（e1）（k+1）+e=（e1）2（k+1）0ek+2=eek+1e（e1）k+e（e1）（k+1）+e這說明n=k+1時不等式也成立，由（一）（二）知對一切正整數(shù)n都成立點(diǎn)評：一般在作數(shù)列與函數(shù)的綜合題時，多用到數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，所以要把這幾個知識點(diǎn)掌握好9（2014南充一模）對于函數(shù)f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點(diǎn)如果函數(shù)f（x）=有且僅有兩個不動點(diǎn)0和2（1）試求b、c滿足的關(guān)系式（2）若c=2時，各項不為零的數(shù)列an滿足4snf（）=1，求證：（3）設(shè)bn=，tn為數(shù)列bn的前n項和，求證：t20

37、091ln2009t2008考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）設(shè)=x的不動點(diǎn)為0和2，由此知即即且c0（2）由c=2，知b=2，2sn=anan2，且an1所以anan1=1，an=n，要證待證不等式，只要證，即證，只要證，即證考慮證不等式（x0），由此入手能導(dǎo)出（3）由bn=，知tn=在中，令n=1，2，3，2008，并將各式相加，能得到t20091ln2009t2008解答：解：（1）設(shè)=x的不動點(diǎn)為0和2即即且c0（2）c=2b=2f（x）=，由已知可得2sn=anan2，且an1當(dāng)n2時，2sn1=an1an12，得（an+an1）（anan1+1）

38、=0，an=an1或an=an1=1，當(dāng)n=1時，2a1=a1a12a1=1，若an=an1，則a2=1與an1矛盾anan1=1，an=n要證待證不等式，只要證，即證，只要證，即證考慮證不等式（x0）*令g（x）=xln（1+x），h（x）=ln（x+1）（x0）g'（x）=，h'（x）=，x0，g'（x）0，h'（x）0，g（x）、h（x）在（0，+）上都是增函數(shù)，g（x）g（0）=0，h（x）h（0）=0，x0時，令x=則*式成立，（3）由（）知bn=，則tn=1+在中，令n=1，2，3，2008，并將各式相加，得1+即t20091ln2009t2008點(diǎn)

39、評：本題考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用10（2014通州區(qū)二模）已知f（x）=，數(shù)列an為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求數(shù)列an和bn的通項公式（2）令，cn的前n項和為tn，證明：對nn+有1tn4考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）由f（x）=，知f（1）=，由b1=，且bn+1=f（bn），得，由此能求出數(shù)列an和bn的通項公式（2）由=n，知，再由錯位相減法能夠求出結(jié)果解答：解：（1）f（x）=，f（1）=，an

40、為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列，b1=，且bn+1=f（bn），bn+1=f（bn）=，兩邊同時取倒數(shù)，得=1+，為等差數(shù)列，故（2）=n，兩式相減整理，得，0，4，=，tn單調(diào)遞增，tnmin=t1=1，所以1tn4點(diǎn)評：本試題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的求解以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用解決該試題的關(guān)鍵是整體構(gòu)造等差數(shù)列法，以及錯位相減法的準(zhǔn)確運(yùn)用11（2014江西模擬）無窮數(shù)列an的前n項和sn=npan（nn*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通項公式；（3）作函數(shù)f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果s10=45，證明：考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推

41、式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；證明題；壓軸題分析：（1）由題設(shè)知p=1，或a1=0a1+a2=s2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20再由a1+a2=s2=2pa2，能夠得到（2），（n1）an+1=nan由此能夠?qū)С鰧σ磺衝n*有：an=（n1）a2（3）f（x）=x+2x2+nxn再用錯位相減法進(jìn)行求解解答：解：（1）a1=s1=pa1a10，且p=1，或a1=0若是a10，且p=1，則由a1+a2=s2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20又a1+a2=s2=2pa2，（2），（n1）an+1=nan當(dāng)k2時，n3

42、時有=對一切nn*有：an=（n1）a2（3），a2=1 an=n1（nn*）故f（x）=x+2x2+nxn又+12=故點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和不等式的合理應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意觀察能力的培養(yǎng)12（2014文登市二模）各項均為正數(shù)的數(shù)列an，其前n項和為sn，滿足=1（nn*），且s5+2=a6（）求數(shù)列an的通項公式；（）證明：7（an1）23n+1（nn*）；（）若nn*，令bn=an2，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn（nn*），試比較與的大小考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；壓軸題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）把已知的數(shù)列遞推式變形，整理后得到數(shù)列an是公比為2的

43、等比數(shù)列再由列式求得首項，代入等比數(shù)列的通項公式得答案；（）把a(bǔ)n1的表達(dá)式代入7（an1）23n+1，然后由數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式；（）把a(bǔ)n代入bn=an2，由等比數(shù)列的求和公式求得數(shù)列bn的前n項和tn，然后利用作差法比較與的大小解答：（）解：由得，即（an+1+an）（an+12an）=0，又an0，2anan+1=0，2an=an+1，則數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列由，得，解得a1=2故數(shù)列an的通項公式為；（）證明：要證7（an1）23n+1，即證74n13n+1當(dāng)n=1時，740=73×1+1=4，不等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式74k13k+1成立，那么，當(dāng)n=

44、k+1時，7×4k=4×7×4k14（3k+1）=12k+43k+4=3（k+1）+1綜所述，對任意的nn*，均有74k13n+1，成立（）解：，即數(shù)列bn是首項為4，公比是4的等比數(shù)列，又，=對任意的nn*均有點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了等比數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了作差法比較兩個數(shù)的大小，是難題13（2014合肥一模）已知函數(shù)fn（x）=x+，（x0，n1，nz），以點(diǎn)（n，fn（n）為切點(diǎn)作函數(shù)y=fn（x）圖象的切線ln，記函數(shù)y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，ln所圍成的區(qū)域面積

45、為an（）求an；（）求證：an；（）設(shè)sn為數(shù)列an的前n項和，求證：sn考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；定積分菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程，由定積分求得函數(shù)y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，ln所圍成的區(qū)域面積為an；（）要證明an，即證明，可設(shè)想構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x） （x0），由其導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得到ln（1+x）成立，取x=，然后不等式兩邊同時乘以n，則可證得an；（）法一、由（）中不等式進(jìn)一步放縮得到an，把數(shù)列an求和后正負(fù)項相消可證明不等

46、式；法二、把數(shù)列an的前n項和的前兩項作和，然后由放大n3的項，可證明n3時sn，單獨(dú)驗(yàn)證s1，s2后可得答案解答：（）解：由fn（x）=x+，得，切點(diǎn)為（n，n+1），則切線ln方程為，即，=；（）證明：構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x） （x0），則h（x）=即函數(shù)h（x）=ln（1+x） （x0）單調(diào)遞減，而h（0）=0，h（x）0，等號在x=0時取得，當(dāng)x0時，ln（1+x）成立，知an=；（）證明：法一、an，當(dāng)n=1時，sn=a1=；當(dāng)n2時，=方法二、由（）知an，sn=a1+a2+a3+an=，（n3，nn*）=又，綜上所述：對一切nn*，都有sn點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜

47、合，考查了定積分，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法求證不等式，對于（）的證明，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x） （x0）是難點(diǎn)，證明（）的關(guān)鍵是對每一項的放縮，是難度較大的題目14（2013上海）給定常數(shù)c0，定義函數(shù)f（x）=2|x+c+4|x+c|數(shù)列a1，a2，a3，滿足an+1=f（an），nn*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求證：對任意nn*，an+1anc；（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性；等差關(guān)系的確定；數(shù)列與函數(shù)的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1

48、）對于分別取n=1，2，an+1=f（an），nn*去掉絕對值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三種情況討論即可證明；（3）由（2）及c0，得an+1an，即an為無窮遞增數(shù)列分以下三種情況討論：當(dāng)a1c4時，當(dāng)c4a1c時，當(dāng)a1c時即可得出a1的取值范圍解答：解：（1）a2=f（a1）=f（c2）=2|c2+c+4|c2+c|=42=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|2+c|=2（6+c）（c+2）=10+c（2）由已知可得f（x）=當(dāng)anc時，an+1an=c+8c；當(dāng)c4anc時，an+1an=2an+3c+82（c4）+3c+8=c；當(dāng)anc4時，an+1an

49、=2anc82（c4）c8=c對任意nn*，an+1anc；（3）假設(shè)存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列由（2）及c0，得an+1an，即an為無窮遞增數(shù)列又an為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)m，當(dāng)nm時，anc，從而an+1=f（an）=an+c+8，由于an為等差數(shù)列，因此公差d=c+8當(dāng)a1c4時，則a2=f（a1）=a1c8，又a2=a1+d=a1+c+8，故a1c8=a1+c+8，即a1=c8，從而a2=0，當(dāng)n2時，由于an為遞增數(shù)列，故ana2=0c，an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故當(dāng)a1=c8時，an為無窮等差數(shù)列，符合要求；若c4a1c，則a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=c，應(yīng)舍去；若a1c，則由ana1得到an+1=f（an）=an+c+8，從而an為無窮等差數(shù)列，符合要求綜上可知：a1的取值范圍為c8c，+）點(diǎn)評：本題綜合考查了分類討論的思方法、如何絕對值符號、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識與方法，考查了推理能力和計算能力15（2013上海）