高三數(shù)學(xué)《一題多解_一題多變》試題及詳解答案

1、高三一題多解 一題多變題目一題多解 一題多變（一）原題： 的定義域為r，求m的取值范圍解：由題意在r上恒成立且，得變1：的定義域為r，求m的取值范圍解：由題意在r上恒成立且，得變2：的值域為r，求m的取值范圍解：令，則要求t能取到所有大于0的實數(shù)，當(dāng)時，t能取到所有大于0的實數(shù) 當(dāng)時，且變3：的定義域為r,值域為，求m,n的值解：由題意，令，得時，-1和9時的兩個根當(dāng)時， ，也符合題意一 題 多 解-解不等式 解法一：根據(jù)絕對值的定義，進行分類討論求解（1）當(dāng)時，不等式可化為 （2）當(dāng)時，不等式可化為 綜上：解集為解法二：轉(zhuǎn)化為不等式組求解原不等式等價于 綜上：解集為 解法三：利用等價命題法

2、原不等式等價于 ，即 解集為解法四：利用絕對值的集合意義原不等式可化為，不等式的幾何意義時數(shù)軸上的點的距離大于，且小于，由圖得， 解集為一題多解 一題多變（二）已知是等比數(shù)列的前n想項和，成等差數(shù)列，求證：成等差數(shù)列法一：用公式，因為成等差數(shù)列，所以且則所以所以 成等差數(shù)列法二用公式，則，所以 成等差數(shù)列證法三：（用公式） 解得（下略）變題： 已知且是第二象限角，求 解：是第二象限角，變1：，求 解：，所以是第一或第二象限角 若是第一象限角，則 若是第二象限角，則變2：已知求 解：由條件，所以 當(dāng) 時，是第一或第二象限角 若是第一象限角時 若是第二象限角 當(dāng)時不存在變3：已知，求 解：當(dāng)時，不

3、存在 當(dāng)時， 當(dāng)時第一、第四象限角時， 當(dāng)是第二、第三象限角時， 一題多解 一題多變（三）題目：求函數(shù)的值域方法一：判別式法 - 設(shè) ，則，由- 當(dāng)時，-， 因此當(dāng)時，有最小值2，即值域為方法二：單調(diào)性法 先判斷函數(shù)的單調(diào)性 任取，則 當(dāng)時，即，此時在上時減函數(shù) 當(dāng)時，在上是增函數(shù) 由在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，知時，有最小值2，即值域為方法三：配方法 ，當(dāng)時，此時有最小值2，即值域為方法四：基本不等式法有最小值2，即值域為變 題原題：若函數(shù)的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍解：由題意得在r上恒成立，則要求且變式一：函數(shù)的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍 解：由題意得在r上恒成立，則要求且 變式二

4、：函數(shù)的值域為r，求實數(shù)a的取值范圍解：令 能取到所有大于0的實數(shù)，則 時，能取到所有大于0的實數(shù) 時，且綜上一題多解 一題多變（四）題目：求函數(shù)的值域方法一：判別式法 - 設(shè) ，則，由- 當(dāng)時，-， 因此當(dāng)時，有最小值2，即值域為方法二：單調(diào)性法 先判斷函數(shù)的單調(diào)性 任取，則 當(dāng)時，即，此時在上時減函數(shù) 當(dāng)時，在上是增函數(shù) 由在上時減函數(shù)，在上是增函數(shù)，知時，有最小值2，即值域為方法三：配方法 ，當(dāng)時，此時有最小值2，即值域為方法四：基本不等式法有最小值2，即值域為變 題原題：若函數(shù)的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍解：由題意得在r上恒成立，則要求且變式一：函數(shù)的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍

5、 解：由題意得在r上恒成立，則要求且 變式二：函數(shù)的值域為r，求實數(shù)a的取值范圍解：令 能取到所有大于0的實數(shù)，則 時，能取到所有大于0的實數(shù) 時，且綜上 一題多解 一題多變（五）題目：橢圓的焦點是，橢圓上一點p滿足，下面結(jié)論正確的是（ ）（a）p點有兩個 （b）p點有四個 （c）p點不一定存在 （d）p點一定不存在解法一：以為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑，即圓與橢圓不可能有交點。故選d解法二：由題知，而在橢圓中：，不可能成立故選d解法三：由題意知當(dāng)p點在短軸端點處最大，設(shè)，此時為銳角，與題設(shè)矛盾。故選d解法四：設(shè)，由知，而無解，故選d解法五：設(shè)，假設(shè)，則，而即：，不可能。故選d解法六：，故不可能。

6、故選d解法七：設(shè)由焦半徑知：而在橢圓中而>,故不符合題意，故選d解法八.設(shè)圓方程為： 橢圓方程為：兩者聯(lián)立解方程組得：不可能故圓與橢圓無交點即 不可能垂直故選d 一題多解 一題多變（六）一變題：課本p110 寫出數(shù)列的前5項： 變題：已知函數(shù)，設(shè)的反函數(shù)為，求數(shù)列的通項公式。 解：由題意得，令，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故從而，二、一題多解 已知函數(shù) （1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；- （2）若對于任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍， 解：（1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 由性質(zhì)可知，在上是增函數(shù)，所以在是增函數(shù)，在區(qū)間上的最小值為（2）法一：在區(qū)間上，恒成立恒成立設(shè)，在上增所以時，于是當(dāng)且僅

7、當(dāng)時，函數(shù)恒成立，故法二：當(dāng)時，函數(shù)的值恒為正；當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)時，于是當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)恒成，故法三：在區(qū)間上，恒成立恒成立恒成立，故應(yīng)大于，時的最大值-3， 所以一題多解 一題多變（七）原題：:若,則 分析:用倒數(shù)換元解: 令, 所以將t換成x得到:變題1：設(shè)滿足關(guān)系式求的解析式解：將t換成x得到:與原式聯(lián)立方程組消去得到變題2：已知，其中試求的解析式解：用相反數(shù)換元 令代入到原式當(dāng)中得到： 將t換成x得到:與原式聯(lián)立方程組，得到： 變題3：已知，試求的解析式解：令，則 將 中t換t得到: 與聯(lián)立方程組得到：變題4：已知求解：設(shè) 代入原式得：將t換成t得到: 與上式聯(lián)立方程組得到 的

8、解析式為：一題多解題目：設(shè)二次函數(shù)滿足且函數(shù)圖象y軸上的截距為1，被x軸截的線段長為，求的解析式 分析：設(shè)二次函數(shù)的一般形式，然后根據(jù)條件求出待定系數(shù)a,b,c 解法一：設(shè)由 得： 又 由題意可知 解之得：解法二：故函數(shù)的圖象有對稱軸可設(shè)函數(shù)圖象與y軸上的截距為1，則又被x軸截的線段長為，則整理得： 解之得： 解法三： 故 函數(shù)的圖象有對稱軸，又與x軸的交點為： 故可設(shè)一題多解 一題多變（八）原題 設(shè)有反函數(shù)，又與 互為反函數(shù)，則（教學(xué)與測試p77）變題 設(shè)有反函數(shù)，又的圖象與的圖象關(guān)于對稱（1） 求及的值；（2） 若均為整數(shù)，請用表示及解(1)因的反函數(shù)是，從而,于是有，令得；同樣，得反函數(shù)

9、為，從而，于是， (2) ,而,故,即, ，從而 同理， 一題多解 1函數(shù)，則( )（a） （b） （c） （d） 解法1. 由知的圖象關(guān)于對稱，得而，且，因此.解法2.由知的圖象關(guān)于對稱，而，而在1,1上遞減，易得答案為b y -1 0 1 x 一題多解 一題多變（九）姜忠杰變 題原題：若在區(qū)間=在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是多少？變1：若函數(shù)=在上是減函數(shù)，則的取值范圍是多少？變2、若函數(shù)=在上是增函數(shù)，則的取值范圍是多少？變3、若函數(shù)=在上是增函數(shù)，且函數(shù)的值域為r，則的取值范圍是多少？解：函數(shù)的減區(qū)間為， -變1、設(shè)，則在為減函數(shù)，且在，0所以有且（），的取值范圍是變2：設(shè)，則在為減函

10、數(shù)，且在，0-所以有且（），的取值范圍是變3：設(shè)，則在減區(qū)間，在取到一切正實數(shù)，所以或一題多解：設(shè) ，求的值。解法一（構(gòu)造函數(shù)）：設(shè)，則，由于在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故。解法二（圖象法）因為是方程的一個根，也就是方程的一個根是方程的一個根，也就是方程的一個根令，在同一坐標(biāo)系中作出他們的圖象，如圖所示：是方程的根，即圖中oa=是方程的根，即圖中ob=易得oa+ob=10，所以解法三：方程，的根為，由，得，又， 一題多解 一題多變（十）（課本p102 ）證明：變題：1、如圖所示，是定義在0，1上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對0，1中的任意的，任意恒成立”的只有（ a ） a、 b、 c、 d、變

11、題2、定義在r上的函數(shù)滿足：如果對于任意都有則稱函數(shù)是r上的凹函數(shù)。已知二次函數(shù) （1）求證：當(dāng)時，函數(shù)是凹函數(shù)； （2）如果時，試求實數(shù)的取值范圍。 （1）證明：略 （2）實數(shù)的取值范圍是二、一題多解 不查表計算： 解法一：原式= = = =解法二：原式=1-=1解法三：原式=1解法四：原式=1 解法五：原式=1一題多解 一題多變（十一）一題多解-1 已知（，求的值解法1 先求反函數(shù)由得 且故原函數(shù)的反函數(shù)是 解法2從互為反函數(shù)的函數(shù)的關(guān)系看 令解得 即 變題2 已知對于任意實數(shù)滿足，當(dāng)時，（1） 求證（2） 判斷的單調(diào)性證明 （1）令得 - 令，得 （2）設(shè)，則 在r上是單調(diào)函數(shù)變題 1.

12、 已知函數(shù)是定義r在上的增函數(shù)，且滿足（1） 求的值（2） 若解不等式 解 （1） 令，得 -（3） 在中，令得從而 又原不等式可化為 ，且是上的增函數(shù)，原不等式等價于 又 解得 原不等式的解集為（0，4）一題多解 一題多變（十二）考查知識點：函數(shù)的對稱中心原題：函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。解：該函數(shù)定義域為r，且+=，該函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱變題1：已知函數(shù)滿足則的圖象的關(guān)于對稱解：為奇函數(shù)，即的圖象關(guān)于原點對稱，故的圖象關(guān)于對稱。變題2：已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 解：由得，1為奇函數(shù)，即1的圖象關(guān)于（0，0）對稱，的圖象關(guān)于對稱變題3：已知函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于（1，1）對稱 解：令，

13、則，故由得，即滿足，即，的圖象關(guān)于原點（0，0）對稱，故的圖象關(guān)于（1，1）對稱。結(jié)論：若函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于對稱。變題4：已知求證：（1）（2）指出該函數(shù)圖象的對稱中心并說明理由。（3）求的值。（1）證明：，得證。-（2）解：該函數(shù)圖象的對稱中心為，由得即，的圖象關(guān)于原點中心對稱，故的圖象關(guān)于對稱。（3）解：，故， =500變題5：求證：二次函數(shù)的圖象沒有對稱中心。證明：假設(shè)是的圖象的對稱中心，則對任意，都有，即恒成立，即有恒成立，也就是且與矛盾所以的圖象沒有對稱中心。一題多解 一題多變（十三）題目：已知函數(shù)若對任意恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍。解法一：在區(qū)間上，恒成立恒成立，設(shè)在遞增 ，

14、當(dāng)x=1時，于是當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)恒成立，故 a>3。解法二：當(dāng)a的值恒為正,當(dāng)a<0時,函數(shù)為增函數(shù)故當(dāng)x=1時于是當(dāng)且僅當(dāng)3+a>)時恒成立, 故 a>3。解法三：在區(qū)間上恒成立恒成立恒成立，故a應(yīng)大于時的最大值3， 當(dāng)x=1時，取得最大值 3 題目： 將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，求所得圖象的函數(shù)表達式。解： 將函數(shù)中的x換成x+1，y換成y-1得變題1：作出函數(shù)的圖象解： 函數(shù)=，它是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到。圖象為： 變題2：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解： 由圖象知 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：變題3：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解：

15、 由 得 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為變題4： 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解： 由，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為變題5 函數(shù)的反函數(shù)的圖象的對稱中心為（-1，3），求實數(shù)a解： 由知對稱中心為（a+1，-1），所以它的反函數(shù)的對稱中心為（-1，a+1），由題意知：a+1=3 得a=2。變題6 ：函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱求a的值解： 因為函數(shù)的反函數(shù)是它本身，且過點（2，0），所以其反函數(shù)的圖象必過點（0，2），即函數(shù)也過點（0，2），代入得a=-1。變題7 設(shè)（a，b）與（c，d）都是函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間， 且則與的大小關(guān)系為（ ）（a）（b）（c）（d）不能確定解 ： 構(gòu)造函數(shù)它在上都是增函數(shù)，但在上無

16、單調(diào)性，故選d變題8：討論函數(shù)在上的單調(diào)性。解： 由的圖象知 ，當(dāng) 時在上是增函數(shù)；當(dāng)時在上為減函數(shù)一題多解 一題多變（十四）已知，求證：變 題1、已知數(shù)列滿足，試比較與的大小2、已知，且，求證：3、已知，求證：解： 原題：證明：作差-， 1、 2、-，又 ， -3、作差， 一 題 多 解已知數(shù)列滿足，試比較與的大小 方法一：作差-=，方法二：作商-方法三：（單調(diào)性），關(guān)于單調(diào)遞增方法四：濃度法 把看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著的增大（相當(dāng)于向溶液中加糖），濃度 當(dāng)然增大，易得一題多解 一題多變（十五） 例、-恒成立，求的取值范圍解：1、當(dāng) 時 2、 -變式1：已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍。 解：由題