橢圓定點定值專題

1、1已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4（）求橢圓C的標準方程；（）P（2，n），Q（2，n）是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；當A、B兩點在橢圓上運動，且滿足APQ=BPQ時，直線AB的斜率是否為定值，說明理由2已知橢圓的離心率為，且經過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=m（定值m0），求直線l的斜率3如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的焦距為2，且過點（1）求橢圓E的方程；（2）若點A，B分別

2、是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M（）設直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；（）設過點M垂直于PB的直線為m求證：直線m過定點，并求出定點的坐標4已知F1，F2分別是橢圓（ab0）的左、右焦點，半焦距為c，直線x=與x軸的交點為N，滿足，設A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中（1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍；（2）過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P，試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理由5在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓（ab0）的離心率為，其焦點在圓x2+y2=

3、1上（1）求橢圓的方程；（2）設A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角，使（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；（ii）求OA2+OB26已知橢圓的左焦點為F（，0），離心率e=，M、N是橢圓上的動點（）求橢圓標準方程；（）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出F1，F2的坐標，若不存在，說明理由（）若M在第一象限，且點M，N關于原點對稱，點M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長交橢圓于點B，證明：MNMB7一束光線從點F1（1，0）出發(fā)，經直線l：2xy+3=0上一點P反射后，恰好穿過點F2

4、（1，0）（1）求P點的坐標；（2）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程；（3）設點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由8已知橢圓的離心率為，且經過點（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l：y=kx+t（k0）交橢圓C于A、B兩點，D為AB的中點，kOD為直線OD的斜率，求證：kkOD為定值；（3）在（2）條件下，當t=1時，若的夾角為銳角，試求k的取值范圍9如圖所示，橢圓C：的焦點為F1（0，c），F2（0，c）（c0），拋物線x2=2py

5、（p0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩點，且（1）求證：切線l的斜率為定值；（2）當2，4時，求橢圓的離心率e的取值范圍10已知橢圓（ab0）的右焦點為F1（2，0），離心率為e（1）若e=，求橢圓的方程；（2）設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上證明點A在定圓上；設直線AB的斜率為k，若k，求e的取值范圍11在平面直角坐標系xOy中，橢圓=1（ab0）的焦點為 F1（1，0），F2（1，0），左、右頂點分別為A，B，離心率為，動點P到F1，F2的距離的平方和為6（1）

6、求動點P的軌跡方程；（2）若，Q為橢圓上位于x軸上方的動點，直線DMCN，BQ分別交直線m于點M，N（i）當直線AQ的斜率為時，求AMN的面積；（ii）求證：對任意的動點Q，DMCN為定值12（1）如圖，設圓O：x2+y2=a2的兩條互相垂直的直徑為AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：為定值（2）將橢圓（ab0）與x2+y2=a2相類比，請寫出與（1）類似的命題，并證明你的結論（3）如圖，若AB、CD是過橢圓（ab0）中心的兩條直線，且直線AB、CD的斜率積，點E是橢圓上異于A、C的任意一點，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：為定值13作斜率為的直線l與

7、橢圓C：交于A，B兩點（如圖所示），且在直線l的左上方（1）證明：PAB的內切圓的圓心在一條定直線上；（2）若APB=60°，求PAB的面積14設橢圓C：+=1（ab0）的左右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2+=（1）若過AQF2三點的圓恰好與直線l：xy3=0相切，求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于MN兩點試證明：+為定值；在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由15已知A，B分別是橢圓C1：=1的左、右頂點

8、，P是橢圓上異與A，B的任意一點，Q是雙曲線C2：=1上異與A，B的任意一點，ab0（I）若P（），Q（，1），求橢圓Cl的方程；（）記直線AP，BP，AQ，BQ的斜率分別是k1，k2，k3，k4，求證：k1k2+k3k4為定值；（）過Q作垂直于x軸的直線l，直線AP，BP分別交 l于M，N，判斷PMN是否可能為正三角形，并說明理由16已知橢圓=1的焦點坐標為（±1，0），橢圓經過點（1，）（1）求橢圓方程；（2）過橢圓左頂點M（a，0）與直線x=a上點N的直線交橢圓于點P，求的值（3）過右焦點且不與對稱軸平行的直線l交橢圓于A、B兩點，點Q（2，t），若KQA+KQB=2與l的斜率

9、無關，求t的值17如圖，已知橢圓的焦點為F1（1，0）、F2（1，0），離心率為，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點（1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的斜率k的取值范圍；在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究MF1A和NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由18已知橢圓E：=1（ab0）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，點P是右準線上任意一點，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點（1）求橢圓E的標準方程；（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段M

10、N上取點H，滿足，試證明點H恒在一定直線上19如圖，雙曲線C1：與橢圓C2：（0b2）的左、右頂點分別為A1、A2第一象限內的點P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點A，O為坐標原點（I）求證：為定值（其中表示直線AA1的斜率，等意義類似）；（II）證明：OAA2與OA2P不相似（III）設滿足（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR 的正數m的最大值是b，求b的值20已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點（1）求橢圓的方程；（2）當直線l的斜率為1時，求POQ的面積；（3

11、）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由21已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離和為2斜率為k（k0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）（）求橢圓的方程；（）求m的取值范圍；（）試用m表示MPQ的面積，并求面積的最大值22已知橢圓E：的左焦點，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF1相切于線段DF1的中點F（）求橢圓E的方程；（）已知兩點Q（2，0），M（0，1）及橢圓G：，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設

12、線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？（） 過坐標原點O的直線交橢圓W：于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PAPB23已知橢圓和圓O：x2+y2=b2，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點為A，B（1）（）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；（）若橢圓上存在點P，使得APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：為定值24已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切（）求橢圓的標準方

13、程；（）設點F是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點，點A，B是拋物線x2=4y上的兩個動點，且滿足，過點A，B分別作拋物線的兩條切線，設兩切線的交點為M，試推斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由25已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（ab0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OAOB（1）求證：為定值；（2）求AOB面積的最大值和最小值26設F1、F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點（1）若P是該橢圓上的一個動點，求向量乘積的取值范圍；（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且MON為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍（3）設A（2，

14、0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點求四邊形AEBF面積的最大值27已知橢圓的左焦點F1（1，0），長軸長與短軸長的比是（）求橢圓的方程；（）過F1作兩直線m，n交橢圓于A，B，C，D四點，若mn，求證：為定值28已知橢圓的左頂點是A，過焦點F（c，0）（c0，為橢圓的半焦距）作傾斜角為的直線（非x軸）交橢圓于M，N兩點，直線AM，AN分別交直線（稱為橢圓的右準線）于P，Q兩點（1）若當=30°時有，求橢圓的離心率；（2）若離心率e=，求證：為定值29已知點P在橢圓C：（ab0）上，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，滿足|P

15、F1|=6|PF2|，且橢圓C的離心率為（）求橢圓C的方程；（）若過點Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個不同點M、N，在x軸上是否存在定點G，使得為定值若存在，求出所有滿足這種條件的點G的坐標；若不存在，說明理由30如圖，已知橢圓C：的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r0），設圓T與橢圓C交于點M與點N（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|OS|為定值參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1已知橢圓C的中心

16、在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4（）求橢圓C的標準方程；（）P（2，n），Q（2，n）是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；當A、B兩點在橢圓上運動，且滿足APQ=BPQ時，直線AB的斜率是否為定值，說明理由解：（）設C方程為由已知b=2，離心率 （3分）得a=4，所以，橢圓C的方程為（4分）（）由（）可求得點P、Q的坐標為P（2，3）Q（2，3），則|PQ|=6，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為，代入，得x2+tx+t212=0 由0，解得4t4，由根與系數的關系得，四邊形APBQ的面積（6

17、分）故，當t=0時，（7分）APQ=BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，PA的直線方程為y3=k（x2）與，聯立解得（3+4k2）x2+8（32k）kx+4（32k）248=0，（9分）同理PB的直線方程y3=k（x2），可得所以，（11分）=，所以直線AB的斜率為定（13分）2已知橢圓的離心率為，且經過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=m（定值m0），求直線l的斜率解：（1）橢圓離心率為，（2分）又橢圓經過點，解得c=1，（3分）橢圓C的方程是（4分

18、）（2）若直線l斜率不存在，顯然k1+k2=0不合題意 （5分）設直線方程為l：y=k（x1），M（x1，y1），N（x2，y2）聯立方程組得（3+4k2）x28k2x+4k212=0（7分）（8分）k1+k2=k（）=k1+k2=m，=m，k=3如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的焦距為2，且過點（1）求橢圓E的方程；（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M（）設直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；（）設過點M垂直于PB的直線為m求證：直線m過定點，并求出定點的坐標解：（1）由題

19、意得2c=2，c=1，又，a2=b2+1消去a可得，2b45b23=0，解得b2=3或（舍去），則a2=4，橢圓E的方程為（2）（）設P（x1，y1）（y10），M（2，y0），則，A，P，M三點共線，P（x1，y1）在橢圓上，故為定值（）直線BP的斜率為，直線m的斜率為，則直線m的方程為，=，即所以直線m過定點（1，0）4已知F1，F2分別是橢圓（ab0）的左、右焦點，半焦距為c，直線x=與x軸的交點為N，滿足，設A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中（1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍；（2）過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P，試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理

20、由解：（1）由于，解得a2=2，b2=1，從而所求橢圓的方程為=1三點共線，而點N的坐標為（2，0）設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k0由消去x得，即根據條件可知解得，依題意取設A（x1，y1），B（x2，y2），則根據韋達定理，得，又由，得（x1+2，y1）=（x2+2，y2），從而從而消去y2得令，則由于，所以'（）0（）是區(qū)間上的減函數，從而，即，解得，而，故直線AB的斜率的取值范圍是（2）設點P的坐標為（x0，y0），則可得切線PA的方程是，而點A（x1，y1）在此切線上，有即x0x1+2y0y1=x12+2y12，又A在橢圓上，有x0x1+

21、2y0y=2，同理可得x0x2+2y0y2=2根據和可知直線AB的方程為，x0x+2y0y=2，而直線AB過定點N（2，0），2x0=2x0=1，因此，點P恒在直線x=1上運動5在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓（ab0）的離心率為，其焦點在圓x2+y2=1上（1）求橢圓的方程；（2）設A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角，使（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；（ii）求OA2+OB2解：（1）依題意，得 c=1于是，a=，b=1 （2分）所以所求橢圓的方程為 （4分）（2）（i）設A（x1，y1），B（x2，y2），則，又設M（x，y），因，故（7分）因M在橢圓上，故

22、整理得將代入上式，并注意cossin0，得 所以，為定值 （10分）（ii），故y12+y22=1又，故x12+x22=2所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3 （16分）6已知橢圓的左焦點為F（，0），離心率e=，M、N是橢圓上的動點（）求橢圓標準方程；（）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出F1，F2的坐標，若不存在，說明理由（）若M在第一象限，且點M，N關于原點對稱，點M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長交橢圓于點B，證明：MNMB（）解：由題設可知：，a=2，c=2分b2=a2c2=

23、23分橢圓的標準方程為：4分（）解：設P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：5分由直線OM與ON的斜率之積為可得：，即x1x2+2y1y2=06分由可得：xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）M、N是橢圓上的點，x12+2y12=4，x22+2y22=4xP2+2yP2=8，即.8分由橢圓定義可知存在兩個定點F1（2，0），F2（2，0），使得動點P到兩定點距離和為定值4；.9分；（）證明：設M（x1，y1），B（x2，y2），則x10，y10，x20，y20，x1x2，A（x1，0），N（x1，y1）.10分由題設可知lAB斜率存在且滿足kNA=

24、kNB，kMNkMB+1=+112分將代入可得：kMNkMB+1=+1=.13分點M，B在橢圓上，kMNkMB+1=0kMNkMB+1=0kMNkMB=1MNMB14分7一束光線從點F1（1，0）出發(fā)，經直線l：2xy+3=0上一點P反射后，恰好穿過點F2（1，0）（1）求P點的坐標；（2）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程；（3）設點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）設F1關于l的對稱點為F（m，n），則且，解得，即由，解得

25、（2）因為PF1=PF，根據橢圓定義，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=又c=1，所以b=1所以橢圓C的方程為（3）假設存在兩定點為A（s，0），B（t，0），使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有kQtkQs=k（k為定值），即，將代入并整理得（*）由題意，（*）式對任意x（，）恒成立，所以，解之得或所以有且只有兩定點（，0），（，0），使得kQtkQs為定值8已知橢圓的離心率為，且經過點（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l：y=kx+t（k0）交橢圓C于A、B兩點，D為AB的中點，kOD為直線OD的斜率，求證：kkOD為定值；（3）在（2）條件下，當t

26、=1時，若的夾角為銳角，試求k的取值范圍解：（1）根據題意有：解得：橢圓C的方程為=1（2）聯立方程組消去y得：（4+k2）x2+2kx+t24=0設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點坐標為（x0，y0）則有：，故為定值（3）當t=1時，式為（4+k2）x2+2kx3=0故y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1若的夾角為銳角，則有，即，解得，且k0，當k時，的夾角為銳角9如圖所示，橢圓C：的焦點為F1（0，c），F2（0，c）（c0），拋物線x2=2py（p0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩

27、點，且（1）求證：切線l的斜率為定值；（2）當2，4時，求橢圓的離心率e的取值范圍（1）證明：橢圓C：的焦點為F1（0，c），F2（0，c）（c0），拋物線P：x2=2py（p0）的焦點與F1重合，拋物線P：x2=4cy設過F2的直線l的方程為y+c=kx，與拋物線聯立，可得x24kcx+4c2=0，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，=16k2c216c2=0，k0k=1，即切線l的斜率為定值；（2）解：由（1），可得直線l的方程為y=xc，代入橢圓方程可得（a2+b2）x22b2cx+b2c2a2b2=0設A（x1，y1），B（x2，y2），則，x2=x1由可得=f（）=，當2

28、，4時，單調遞增，f（）0e1橢圓的離心率e的取值范圍是10已知橢圓（ab0）的右焦點為F1（2，0），離心率為e（1）若e=，求橢圓的方程；（2）設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上證明點A在定圓上；設直線AB的斜率為k，若k，求e的取值范圍解：（1）由=，c=2，得a=，b=2故所求橢圓方程為（2）設A（x1，y1），則B（x1，y1），故，由題意，得化簡，得，點A在以原點為圓心，2為半徑的圓上設A（x1，y1），則得到將，代入上式整理，得k2（2e21）=e42e2+1；e42e2+10，k20，2e210，3化簡，得解

29、之，得，故離心率的取值范圍是11在平面直角坐標系xOy中，橢圓=1（ab0）的焦點為 F1（1，0），F2（1，0），左、右頂點分別為A，B，離心率為，動點P到F1，F2的距離的平方和為6（1）求動點P的軌跡方程；（2）若，Q為橢圓上位于x軸上方的動點，直線DMCN，BQ分別交直線m于點M，N（i）當直線AQ的斜率為時，求AMN的面積；（ii）求證：對任意的動點Q，DMCN為定值（1）解：設P（x，y），則，即（x+1）2+y2+（x1）2+y2=6，整理得，x2+y2=2，所以動點P的軌跡方程為x2+y2=2（4分）（2）解：由題意知，解得，所以橢圓方程為 （6分）則，設Q（x0，y0），y

30、00，則，直線AQ的方程為，令，得，直線BQ的方程為，令，得，（ i）當直線AQ的斜率為時，有，消去x0并整理得，解得或y0=0（舍），（10分）所以AMN的面積= （12分）（ii），所以所以對任意的動點Q，DMCN為定值，該定值為 （16分）12（1）如圖，設圓O：x2+y2=a2的兩條互相垂直的直徑為AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：為定值（2）將橢圓（ab0）與x2+y2=a2相類比，請寫出與（1）類似的命題，并證明你的結論（3）如圖，若AB、CD是過橢圓（ab0）中心的兩條直線，且直線AB、CD的斜率積，點E是橢圓上異于A、C的任意一點，AE交直線CD于

31、K，CE交直線AB于L，求證：為定值解答：解：（1）如圖所示，過點E作EFAB，垂足為F點，CDAB，EFCD，又EF2+FO2=OE2=a2，=1為定值（2）如圖，設橢圓（ab0），橢圓的長軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：為定值證明：過點E作EFAB，垂足為F點，CDAB，EFCD，=1為定值（3）如圖所示，過點E分別作EFCD交AB與點F，EMAB交直線CD于點M，設A（x1，y1），C（x2，y2），D（x2，y2），B（x1，y1）E（x0，y0）則設直線AB的方程為y=kx（k0），則直線CD的方程為直線EF的方程為，直線EM的方

32、程為yy0=k（xx0）聯立解得xF=聯立，解得xM=聯立解得聯立，解得=同理=為定值13作斜率為的直線l與橢圓C：交于A，B兩點（如圖所示），且在直線l的左上方（1）證明：PAB的內切圓的圓心在一條定直線上；（2）若APB=60°，求PAB的面積（1）證明：設直線l：，A（x1，y1），B（x2，y2）將代入中，化簡整理得2x2+6mx+9m236=0于是有， 則，上式中，分子=，從而，kPA+kPB=0又P在直線l的左上方，因此，APB的角平分線是平行于y軸的直線，所以PAB的內切圓的圓心在直線上（2）解：若APB=60°時，結合（1）的結論可知直線PA的方程為：，代入

33、中，消去y得它的兩根分別是x1和，所以，即所以同理可求得=14設橢圓C：+=1（ab0）的左右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2+=（1）若過AQF2三點的圓恰好與直線l：xy3=0相切，求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于MN兩點試證明：+為定值；在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由解：（1）由知：F1為F2Q中點又，|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1為AQF2的外接圓圓心而|F1A|=a，|F1F2|=2c

34、，a=2c，又圓心為（c，0），半徑r=a，解得a=2，所求橢圓方程為（5分）（2）由（1）知F2（1，0），y=k（x1），代入得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，又|F2M|=aex1，|F2N|=aex2，=，為定值（10分）由上可知：y1+y2=k（x1+x22），=（x1+x22m，y1+y2），由于菱形對角線垂直，則，故k（y1+y2）+x1+x22m=0，則k2（x1+x22）+x1+x22m=0，+，由已知條件知k0且kR，故存在滿足題意的點P且的取值范圍是（15分）15已知A，B分別是橢圓C1：=1的左、右頂點，P是橢圓上異

35、與A，B的任意一點，Q是雙曲線C2：=1上異與A，B的任意一點，ab0（I）若P（），Q（，1），求橢圓Cl的方程；（）記直線AP，BP，AQ，BQ的斜率分別是k1，k2，k3，k4，求證：k1k2+k3k4為定值；（）過Q作垂直于x軸的直線l，直線AP，BP分別交 l于M，N，判斷PMN是否可能為正三角形，并說明理由解答：（）解：P（）在橢圓上，Q（，1）在雙曲線上，則，+×3得：，a2=5，把a2=5代入得，b2=4所以橢圓Cl的方程為；（）證明：由A（a，0），B（a，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，k1k2+k3k4=設P（x1，y1）在橢圓上，Q（x2，y2

36、）在雙曲線上，則k1k2+k3k4=所以k1k2+k3k4為定值；（）假設PMN是正三角形，MPN=PMN=60°，又MNx軸，PAN=30°，PBA=30°，PAB為等腰三角形，點P位于y軸上，且P在橢圓上，點P的坐標為（0，±b），此時，即a=綜上，當a=，且點P的坐標為（0，±b）時，PMN為正三角形16已知橢圓=1的焦點坐標為（±1，0），橢圓經過點（1，）（1）求橢圓方程；（2）過橢圓左頂點M（a，0）與直線x=a上點N的直線交橢圓于點P，求的值（3）過右焦點且不與對稱軸平行的直線l交橢圓于A、B兩點，點Q（2，t），若KQ

37、A+KQB=2與l的斜率無關，求t的值解：（1）由題意得解得a2=2，b2=1故橢圓方程為（2）設N（），P（X，Y）則MN的方程為由得由韋達定理得所以代入直線方程得P（），（3）AB的方程為x=my+1，設A（e，f），B（g，h）由得（m2+2）y2+2my1=0所以f+h=，fh=2KQA+KQB=2與l的斜率無關2t=2，即t=117如圖，已知橢圓的焦點為F1（1，0）、F2（1，0），離心率為，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點（1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的斜率k的取值范圍；在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究MF1A和NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不

38、相等，說明理由解：（1）由已知條件知，解得，又b2=a2c2=1，所以橢圓C的方程為；（2）設直線l的方程為y=k（x2），聯立，得（1+2k2）x28k2x+8k2=2=0，由于直線l與橢圓C相交，所以=64k44（1+2k2）（8k22）0，解得直線l的斜率k的取值范圍是；MF1A和NF1F2總相等證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），則，所以tanMF1AtanNF1F2=，所以tanMF1A=tanNF1F2，又MF1A和NF1F2均為銳角，所以MF1A=NF1F218已知橢圓E：=1（ab0）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，點P是右準線上任意

39、一點，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點（1）求橢圓E的標準方程；（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段MN上取點H，滿足，試證明點H恒在一定直線上解：（1）由題意可得，解得，c=1，所以橢圓E：（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，設P（3，y0），Q（x1，y1），因為PF2F2Q，所以，所以y1y0=2（x11）又因為且代入化簡得即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），點H（x，y），則，設，則，（3x1，3y1）=

40、（x23，y23），（xx1，yy1）=（x2x，y2y）整理得，從而，由于，我們知道與的系數之比為2：3，與的系數之比為2：3，所以點H恒在直線2x+3y2=0上19如圖，雙曲線C1：與橢圓C2：（0b2）的左、右頂點分別為A1、A2第一象限內的點P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點A，O為坐標原點（I）求證：為定值（其中表示直線AA1的斜率，等意義類似）；（II）證明：OAA2與OA2P不相似（III）設滿足（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR 的正數m的最大值是b，求b的值（I）解：由已知得A1（2，0），A2（2，0）設A（x1，y1），P（x2，y2），由題意知A、

41、P均在第一象限，且滿足，則=（3分）而Q、O、A、P在同一直線上，所以x1y2=x2y1故（4分）（II）證明：設，P（x，y），則A（tx，ty）且，解之得：，且（6分）OAOPOA22=tOP2OA22=，其中0t1所以f（t）=恒成立，函數f（t）在區(qū)間（0，1）上是減函數，因此當0t1時，f（t）f（1）=，即故：OAA2與OA2P不相似（9分）（III）解：由得，由得（x，y）|，xR，yR（x，y）|，xR，yR因此y0，m23所以b=因此b的值為（13分）20已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點過右焦點F與x軸不垂直

42、的直線l交橢圓于P，Q兩點（1）求橢圓的方程；（2）當直線l的斜率為1時，求POQ的面積；（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：（1）由已知，橢圓方程可設為（1分）兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，所求橢圓方程為（4分）（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x1設P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y1=0，解得（9分）（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y=k

43、（x1）（k0）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0其中x2x10以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0（x1+x22m）+k（y1+y2）=02k2（2+4k2）m=0（14分）21已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離和為2斜率為k（k0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）（）求橢圓的方程；（）求m的取值范圍；（）試用m表示MPQ的面積，并求面積的最大值解：（）橢圓上的點到兩個焦點的距離和為2，即

44、2a=2，a=橢圓的離心率為，即e=e=，c=1又a2=b2+c2，b=1又斜率為k（k0）的直線l過橢圓的上焦點，即橢圓的焦點在Y軸上橢圓方程為（）設直線l的方程為y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx1=0設P（x1，y1），Q（x2，y2），則=8k2+80，設線段PQ中點為N，則點N的坐標為，M（0，m），直線MN的斜率kMN=直線MN為PQ的垂直平分線，kMNk=1，可得即，又k0，k2+22，即（）設橢圓上焦點為F，y軸把PQM分成了PMF和QMF，=|FM|x1|+|FM|x2|=|FM|（|x1|+|x2|）P，Q在y軸兩側，|x1|+|x2|=|（x1x2），由，可得又

45、|FM|=1m，MPQ的面積為（）設f（m）=m（1m）3，則f'（m）=（1m）2（14m）可知f（m）在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減f（m）=m（1m）3有最大值此時MPQ的面積為×=MPQ的面積有最大值22已知橢圓E：的左焦點，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF1相切于線段DF1的中點F（）求橢圓E的方程；（）已知兩點Q（2，0），M（0，1）及橢圓G：，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？（） 過坐標原點O的直線交橢圓W：于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的

46、垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PAPB解：（）連接DF2，FO（O為坐標原點，F2為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為因為FO是DF1F2的中位線，且DF1FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，所以|DF1|=2a|DF2|=2a2b，故（2分）在RtFOF1中，即b2+（ab）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所求橢圓E的方程為（4分）（） 由（）得橢圓G：設直線l的方程為y=k（x+2）并代入整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k24=0由0得：，（5分）設H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）則由中點坐標公式得：（6分）當k=0

47、時，有N（0，0），直線MN顯然過橢圓G的兩個頂點（0，2），（0，2）（7分）當k0時，則x00，直線MN的方程為此時直線MN顯然不能過橢圓G的兩個頂點（0，2），（0，2）；若直線MN過橢圓G的頂點（1，0），則，即x0+y0=1，所以，解得：（舍去），（8分）若直線MN過橢圓G的頂點（1，0），則，即x0y0=1，所以，解得：（舍去）（9分）綜上，當k=0或或時，直線MN過橢圓G的頂點（10分）（）法一：由（）得橢圓W的方程為，（11分）根據題意可設P（m，n），則A（m，n），C（m，0）則直線AC的方程為，過點P且與AP垂直的直線方程為，×并整理得：，又P在橢圓W上，所以，

48、所以，即、兩直線的交點B在橢圓W上，所以PAPB（14分）法二：由（）得橢圓W的方程為根據題意可設P（m，n），則A（m，n），C（m，0），所以直線，化簡得，所以，因為xA=m，所以，則（12分）所以，則kPAkPB=1，故PAPB（14分）23已知橢圓和圓O：x2+y2=b2，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點為A，B（1）（）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；（）若橢圓上存在點P，使得APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：為定值解：（）（）圓O過橢圓的焦點，圓O：x2+y2=b2，b=c，b2=a2c2=c2，a

49、2=2c2，（3分）（）由APB=90°及圓的性質，可得，|OP|2=2b2a2，a22c2，（6分）（）設P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則整理得x0x+y0y=x12+y12x12+y12=b2PA方程為：x1x+y1y=b2，PB方程為：x2x+y2y=b2x1x+y1y=x2x+y2y，直線AB方程為，即x0x+y0y=b2令x=0，得，令y=0，得，為定值，定值是（12分）24已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切（）求橢圓的標準方程；（）設點F是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點，點A，B是拋物線x2=4y上的兩個動點，且滿足，過點A，B分別作拋物線的兩條切線，設兩切線的交點為M，試推斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由解：（）設橢圓方程為（ab0）（1分）因為，得又，則b2=2，a2=3故橢圓的標準方程是（）由橢圓方程知，c=1，所以焦點F（0，1），設點 由，得（x1，1y1）=（x2，y21），所以x1=x2，1y1=（y21）于是x12=2x22因為x12=4y1，x22=4y2，則y1=2y2聯立y1=2y2和1y1=