2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)試題及答案

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)試題及答案 2021試題及答案 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘. 留意事項： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡2b鉛筆將答題卡試卷類型（a位號”欄填寫試室號、座位號，并用2b2選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需3非選擇題必需用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改4參考公式： 假如大事a、b互斥，那么p(a+b)=p

2、(a)+p(b) 假如大事a、b相互獨立，那么p(ab)=p(a)p(b) 第卷（選擇題，共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的. 1若集合m x|x| 2,n x|x2 3x 0，則mn= a3 b0 c0，2 2 2 d0，3 （ ） 2若(a 2i)i b i，其中a、br，i是虛數(shù)單位，則a b= a0 b2 b0 c c （ ） 5 2 d5 （ ） 3lim x 3 = x 3x2 9 1a 6 1 6 d 1 3 4已知高為3的直棱柱abcabc的底面是邊長為1的正三 角形（如圖1所示），則三棱錐ba

3、bc的體積為（ ） a 1 4 b 1 2 c 3 6 d 2 4 2 如圖1 5若焦點在x軸上的橢圓 1xy 1的離心率為，則m=（ ） 22m a3 b 3 2 c 8 3 d 2 3 （ ） 6函數(shù)f(x) x3 3x2 1是減函數(shù)的區(qū)間為 a(2, ) b( ,2) c( ,0) 若m ,l a,點a m,則l與m不共面； d（0，2） 7給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面、的四個命題： 若m、l是異面直線，l/ ,m/ ,且n l,n m,則n ； 若l/ ,m/ , / ,則l/m； 若l ,m ,l m 點a,l/ ,m/ ,則 / . 其中為假命題的是 a b c d

4、（ ） 8先后拋擲兩枚勻稱的正方體骰子（它們的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點數(shù)分別為x、y，則log2xy 1的概率為（ ） a 11 d 122 9在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y f(x)和y g(x)的圖象關(guān)于直線y x對稱. 現(xiàn)將y g(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函數(shù)f(x)的表達(dá)式為（ ） b c 1 65 36 2x 2, 1 x 0 af(x) x 2,0 x 2 2 2x 2, 1 x 0 bf(x) x 2,0 x 2 2 2x 2,1 x 2 cf(x) x 1,

5、2 x 4 2 2x 6,1 x 2 df(x) x 3,2 x 4 2 如圖 2 10已知數(shù)列xn滿意x2 a x11 ,xn (xn 1 xn 2),n 3,4, .若limxn 2,則x1 （ ） n 22 c4 d5 3 2 b3 第卷（非選擇題 共100分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 11函數(shù)f(x) 1 e x 的定義域是. 12已知向量 (2,3), (x,6),且/,則x. 13已知(xcos 1)5的綻開式中x的系數(shù)與(x 2 54 )的綻開式中x3的系數(shù)相等，則cos = 4 14設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n3），其中有且僅有兩條直線相互平行，任意三條直

6、線不過同 一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)= ；當(dāng)n4時， f(n)（用n表示） 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15（本小題滿分12分） 化簡f(x) cos( 6k 16k 1 2x) cos( 2x) 23sin( 2x)(x r,k z),333 并求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期. 16（本小題滿分14分） 如圖3所示，在四周體pabc中，已知pa=bc=6，pc=ab=10，ac=8，pb=234.f是線段pb上一點，cf 15 ，點e在線段ab上，且efpb. 17 （）證明：pb平面cef； （）求二面角bc

7、ef的大小. 17（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點o的兩不同動點a、b滿意 aobo（如圖4所示）. （）求aob的重心g（即三角形三條中線的交點）的軌跡 方程； （）aob的面積是否存在最小值？若存在，懇求出最小值；若不存在，請說明理由. 18（本小題滿分12分） 箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為s:t.現(xiàn)從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并連續(xù)從箱中任意取出一個球，但取球的次數(shù)最多不超過n次，以表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù). （）求的分布列； （）求的數(shù)學(xué)期望. 19

8、（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)f(x)在( , )上滿意f(2 x) f(2 x),f(7 x) f(7 x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1) f(3) 0. （）試推斷函數(shù)y f(x)的奇偶性； （）試求方程f(x) 0在閉區(qū)間2021，2021上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論. 20（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形abcd的長為2，寬為1，ab、ad邊分別在x軸、y軸的正半軸上，a點與坐標(biāo)原點重合（如圖5所示）.將矩形折疊，使a點落在線段dc上. （）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程； （）求折痕的長的最大值. 2021試題及答案 參考答案 一、選擇題 1b

9、 2d 3a 4d 5b 6d 7c 8c 9a 10b 二、填空題 11.x|x0 12.4 13. 三、解答題 15 解：f(x) cos(2k 12 14. 5, (n 2)(n 1) 22 3 2x) cos(2k 2x) 2x) 33 2cos( 2x) 2x) 4cos2x 33 函數(shù)f(x)的值域為 4; 2 ； 函數(shù)f(x)的周期t 2 16（i）證明：pa ac 36 64 100 pc pac是以pac為直角的直角三角形，同理可證 pab是以pab為直角的直角三角形，pcb是以pcb故pa平面abc 22 又s pbc 11 |ac|bc| 10 6 30 22 而 11|

10、pb|cf| 2 30 s pbc 2217 故cfpb,又已知efpb pb平面cef （ii）由（i）知pbce, pa平面abc ab是pb在平面abc上的射影，故abce 在平面pab內(nèi)，過f作ff1垂直ab交ab于f1，則ff1平面abc， ef1是ef在平面abc上的射影，efec 故feb是二面角bcefab105 ap63 5 二面角bcef的大小為arctan 3tan feb cot pba x1 x2 x 3 17解：（i）設(shè)aob的重心為g(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),則 （1） y y1 y2 3 oaob koa kob 1,即x1x2 y1y2

11、1，(2) 22 又點a，b在拋物線上，有y1 x1，代入（2）化簡得x1x2 1 ,y2 x2 y y1 y21211222 (x1 x2) (x1 x2)2 2x1x2 (3x)2 3x2 333333 2 所以重心為g的軌跡方程為y 3x （ii）s aob 2 3 11122222222|oa|ob| ( x12 y12)(x2 y2 ) x1x2 x12y2 x 2y1 y12y2 2221 2 1 由（i）得s aob 2 66 當(dāng)且僅當(dāng)x1即x1 x2 1 x2 所以aob的面積存在最小值，存在時求最小值1； 18解：(i)的可能取值為：0,1,2,n (ii) 的數(shù)學(xué)盼望為 s

12、stst2stn 1tn (1) e 0 1 2 . (n 1) n 23n 1n s t(s t)(s t)(s t)(s t)tst22st3(n 2)stn 1(n 1)stnntn 1 (2) e . 23n 1n 1n 1 s t(s t)(s t)(s t)(s t)(s t) (1) (2)得 ttn(n 1)tnntn e n 1n 1n ss(s t)(s t)(s t) 19.解: 由 f(2 x) f(2 x) f(x) f(4 x) f(4 x) f(14 x) f(7 x) f(7 x)f(x) f(14 x) f(x) f(x 10), 又f(3) 0,而f(7)

13、0, f( 3) f(7) 0 f( 3) f(3)，f( 3) f(3) 故函數(shù)y f(x)是非奇非偶函數(shù); (ii)由 f(2 x) f(2 x) f(x) f(4 x) f(4 x) f(14 x) f(7 x) f(7 x) f(x) f(14 x) f(x) f(x 10) 又f(3) f(1) 0 f(11) f(13) f( 7) f( 9) 0 故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解, 從而可知函數(shù)y f(x)在0,2021上有402個解,在-2021.0上有400個解, 所以函數(shù)y f(x)在-2021,2021上有80220.解(i) （1）當(dāng)k 0時,此時a點與d

14、點重合, 折痕所在的直線方程y （2）當(dāng)k 0時，將矩形折疊后a點落在線段cd上的點為g(a,1)(0 a 2)， 所以a與g關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kog k 1,故g點坐標(biāo)為g( k,1)( 2 k 1 k 1 a k a 從而折痕所在的直線與og的交點坐標(biāo)（線段og的中點）為m( k1,)22 1kk21 ( 2 k 折痕所在的直線方程y k(x )，即y kx 2222 由（1）、（2）得折痕所在的直線方程為： 1k21 ( 2 k k=0時，y ；k 0時y kx 222 （ii）當(dāng)k 0時，折痕的長為2; 當(dāng)k 0時, k2 1k2 1 ),p(2,2k 如下圖，折痕所在的直線與邊ad、bc的交點坐標(biāo)為n(0,22 這時， 2 k 0，y pn2 4 4k2 4(1 k2) (4,16(2 k2 1k2 1 ),p( ,0如下圖，折痕所在的直線與邊ad、ab的交點坐標(biāo)為n(0,22k 這時， 1 k