小波的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)及常見(jiàn)的小波基介紹VIP

1、小波的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)及常見(jiàn)的小波基介紹本篇是這段時(shí)間學(xué)習(xí)小波變換的一個(gè)收尾，了解一下常見(jiàn)的小波函數(shù)，混個(gè)臉熟，知 道一下常見(jiàn)的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，有個(gè)印象即可，這里就當(dāng)是先作一個(gè)備忘錄，以后若有需要再深入 研究。一、小波基選擇標(biāo)準(zhǔn)小波變換不同于傅里葉變換，根據(jù)小波母函數(shù)的不同，小波變換的結(jié)果也不盡相同。 現(xiàn)實(shí)中到底選擇使用哪一種小波的標(biāo)準(zhǔn)一般有以下幾點(diǎn)：1、支撐長(zhǎng)度小波函數(shù) W(t)、里(6)尺度函數(shù)艙)和0(面)支撐區(qū)間，是當(dāng)時(shí)間或頻率趨向于無(wú)窮 大時(shí)，w(t)、w(5)Mt)和。(Mt一個(gè)有限值收斂到 0的長(zhǎng)度。支撐長(zhǎng)度越長(zhǎng)，一般需要耗 費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間，且產(chǎn)生更多高幅值的小波系數(shù)。大部分應(yīng)用選擇支撐長(zhǎng)度

2、為 59之間的 小波，因?yàn)橹伍L(zhǎng)度太長(zhǎng)會(huì)產(chǎn)生邊界問(wèn)題，支撐長(zhǎng)度太短消失矩太低，不利于信號(hào)能量的集中。這里常常見(jiàn)到 緊支撐”的概念，通俗來(lái)講，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0,那么這個(gè)函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)， 而這個(gè)0附近的取值范圍就叫做緊支撐集?？偨Y(jié)為一句話就是除在一個(gè)很小的區(qū)域外，函數(shù)為零，即函數(shù)有速降性2、對(duì)稱性具有對(duì)稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因?yàn)樵撔〔▽?duì)應(yīng)的濾 波器具有線性相位的特點(diǎn)。3、消失矩在實(shí)際中，對(duì)基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對(duì)還要施加所謂的消失矩 (Vanishing Momen

3、ts )條件，使盡量多的小波系數(shù)為零或者產(chǎn)生盡量少的非零小波系數(shù)， 這樣有利于數(shù)據(jù)壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數(shù)為零。但在一般情況下， 消失矩越高，支撐長(zhǎng)度也越長(zhǎng)。所以在支撐長(zhǎng)度和消失矩上，我們必須要折衷處理。小波的消失矩的定義為，若廣/甲dt = O其中，W(t)為基本小波，0<=p<N。則稱小波函數(shù)具有 N階消失矩。從上式還可以得出，同 任意n-1階多項(xiàng)式正交。在頻域內(nèi)表示就是 3( 3在3=0處有高階零點(diǎn)(一階零點(diǎn)就是容許 條件)。4、正則性在量化或者舍入小波系數(shù)時(shí)，為了減小重構(gòu)誤差對(duì)人眼的影響，我們必須盡量增大小 波的光滑性或者連續(xù)可微性。因?yàn)槿搜蹖?duì) 不規(guī)則

4、”(irregular誤差比平滑”誤差更加敏感。換句話說(shuō)，我們需要強(qiáng)加 芷則性"(regularity除件。也就是說(shuō)正則性好的小波，能在信號(hào)或圖 像的重構(gòu)中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺(jué)影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長(zhǎng)度就長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間也就越大。因此正則性和支撐長(zhǎng)度上，我們也要有所權(quán)衡。消失矩和正則性之間有很大關(guān)系，對(duì)很多重要的小波(比如，樣條小波，Daubechies小波等)來(lái)說(shuō)，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說(shuō)隨著小波消失矩的 增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性選擇和信號(hào)波形相似的小波，這對(duì)于壓縮和消噪是有參考價(jià)值的。二、常見(jiàn)

5、的小波基以下列出的15種小波基是 Matlab中支持的15種。小波函數(shù)Haar Daubechies BiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexicanHatMeyer小波縮寫(xiě)名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表小形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr止交性有有無(wú)有有無(wú)無(wú)有雙止交性有有有有有無(wú)無(wú)有緊支撐性有有有有有無(wú)無(wú)無(wú)連續(xù)小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以/、可以/、可以可以但無(wú)F

6、WT支撐長(zhǎng)度12N-1重構(gòu)：2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長(zhǎng)度有限長(zhǎng)度有限長(zhǎng)度濾波器長(zhǎng)度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對(duì)稱性對(duì)稱近似對(duì)稱不對(duì)稱近似對(duì)稱近似對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)1NNr-12NN-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-2N-1-小波函數(shù)GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan小波縮寫(xiě)名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan表小形式gaus NdmeyrbioNr.Ndcgau Ncmorfbspshan舉例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbsps

7、han緊支撐止交性無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)緊支撐雙正交性無(wú)無(wú)有無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)連續(xù)小波變換可以/、可以可以/、可以/、可以/、可以/、可以離散小波變換/、可以可以可以/、可以/、可以/、可以/、可以對(duì)稱性對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-Nr-1-1、Haar小波Haar, 一般音譯為 哈爾”。也是最簡(jiǎn)單的一Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù), 個(gè)小波函數(shù)，它是支撐域在tC0,1范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波。Haar小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。在Matlab中輸入命令 waveinfo('haar')可得到如下信息:

8、General characteristics: Compactlysupportedwavelet, the oldest and the simplestwavelet.scaling function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1on 0.5 1 and 0 otherwise.Compact supportyesFamilyHaarShort namehaarExampleshaar is the same as db1OrthogonalyesBiorthogonalyesD

9、WTpossibleCWTpossibleSupport width1Filters length 2Regularityhaar is notcontinuousSymmetryyesNumber of vanishing moments for psi 12、Daubechies（dbN）小波（緊支集正交小波）Daubechies, 一般音譯為多貝西”。Daubechies小波是由世界著明的小波分析學(xué)者Ingrid Daubechies（一般音譯為英格麗 多貝西）構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般簡(jiǎn)寫(xiě)成dbN, N是小波的階數(shù)。小波函數(shù)邙t）和尺度函數(shù) 旭）中的支撐區(qū)為2N-1 , W（t）的消失矩

10、為No dbN小波具有較好的正則性，即該小波作 為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺(jué)，使得信號(hào)重構(gòu)過(guò)程比較光滑。dbN小波的特點(diǎn)是隨著階次（序列N）的增大消失矩階數(shù)越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化 能力就越強(qiáng)，頻帶的劃分效果越好，但是會(huì)使時(shí)域緊支撐性減弱，同時(shí)計(jì)算量大大增加，實(shí)時(shí)性變差。另外，除 N=1外，dbN小波不具有對(duì)稱性（即非線性相位），即在對(duì)信號(hào)進(jìn)行 分析和重構(gòu)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的相位失真。dbN沒(méi)有明確的表達(dá)式（除了 N=1外，N=1時(shí)即為Haar小波）。在Matlab中輸入命令 waveinfo（'db'）可得到如下信息：General character

11、istics: Compactlysupported wavelets with extremal phase and highestnumber of vanishing moments for a givensupport width. Associated scaling filtersareminimum-phase filters.FamilyDaubechiesShort namedbOrder NN strictly positive integerExamplesdb1 or haar, db4, db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact

12、supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2N-1Filters length2NRegularityabout 0.2 N for large NSymmetryfar fromNumber of vanishingmoments for psi N3、Symlet(symN)小波(近似對(duì)稱的緊支集正交小波)Symlet小波函數(shù)是IngridDaubechies提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種改進(jìn)。Symlet小波系通常表示為 symN (N=2,3,8)。symN小波的支撐范圍為 2N-1 ,消 失矩為N,同時(shí)也具備較好的正則性

13、。該小波與 dbN小波相比，在連續(xù)性、支集長(zhǎng)度、濾 波器長(zhǎng)度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對(duì)稱性，即一定程度上能夠減少對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和重構(gòu)時(shí)的相位失真。在Matlab中輸入命令 waveinfo('sym')可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest number ofvanishing momentsfor a given support width.Associated scaling filters are nea

14、rlinear-phase filters.FamilySymletsShort namesymOrder NN = 2, 3,.Examplessym2, sym8OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2N-1Filters length 2NRegularitySymmetrynear fromNumber of vanishingmoments for psi N4、 Coiflet(coifN) /、波根據(jù) R.Coifman 的要求，Daubechies 構(gòu)造了

15、 Coiflet 小波，它具有 coifN (N=1,2,3,4,5) 這一系列。Coiflet的小波函數(shù) W的2N階矩為零，尺度函數(shù)帕)的2N-1階矩為零。W(t)和蛆)的支撐長(zhǎng)度為6N-1。Coiflet的照t)和小具有比dbN更好的對(duì)稱性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('coif)可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest number of vanishingmoments for both phi and psi for a givensupport width

16、.FamilyCoifletsShort namecoifOrder NN = 1,2,，5Examplescoif2, coif4OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact support yesDWTpossibleCWTpossibleSupport width 6N-1Filters length 6NRegularitySymmetrynear fromNumber of vanishingmoments for psi2NNumber of vanishingmoments for phi2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波為了

17、解決對(duì)稱性和精確信號(hào)重構(gòu)的不相容性，引入了雙正交小波，稱為對(duì)偶的兩個(gè)小波分別用于信號(hào)的分解和重構(gòu)。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函婁進(jìn)行重構(gòu)。雙正交小波與正交小波的區(qū)別在于正交小波滿足<Wj,k，里,m>= 4k 3,m,也就是對(duì)小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的基函數(shù)完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為<半上，里,m>=S,k,也就是對(duì)不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間有正交性，而同尺度之間通過(guò)平移得到的小波函數(shù)系相應(yīng)的濾波器也不能由同一之間沒(méi)有正交性，所以用于分解

18、與重構(gòu)的小波不是同一個(gè)函數(shù), 個(gè)小波生成。該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時(shí)也是緊支撐的，其 重構(gòu)支撐范圍為2Nr+1 ,分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現(xiàn)在具有線性相位特性。一般來(lái)說(shuō)為了獲得線性相位，需要降低對(duì)于正交性的局限，為此該雙正交小波 降低了對(duì)于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('bior')可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spl

19、ine wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogonalShortnamebiorOrderNr,NdNr = 1 ,Nd = 1,3, 5r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1,3, 5,7, 9Nr = 4 , Nd = 4N

20、r = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8Examplesbior3.1,bior5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport widthFilters length2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.max(2Nr,2Nd)+2 but essentiallybiorNr.Ndldlreffective lengtheffectiveof Lo_Dof Hi_Dbior1.122bior1.362bior1.5102bior2.253bior2.

21、493bior2.6133bior2.8173lengthGeneral characteristics: Compactly supportedbior3.144bior3.384bior3.5124bior3.7164bior3.9204bior 4.497bior5.5911bior6.81711Regularity forpsirec.Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetryyesNumberof vanishingmoments for psi dec. NrRemark: bior 4.4,5.5 and 6.8 are such that reconst

22、ruction and decomposition functions and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由Biorthogonal而來(lái)，因此兩者形式很類似。在Matlab中輸入命令 waveinfo('bior')可得到如下信息:biorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possible withFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except fo

23、r Haar).FamilyBiorthogonalShortnamerbioOrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1,3, 5r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1,3, 5,7, 9Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8Examplesrbio3.1,rbio5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompact support yesDWTpossibleCWTpossibleSupport

24、 width2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.Filters lengthmax(2Nd,2Nr)+2 but essentiallyrbioNd.Nrlrldeffective lengtheffective lengthof Hi_Dof Lo_Drbio1.122rbio1.362rbio1.5102rbio2.253rbio2.493rbio2.6133rbio2.8173rbio3.144rbio3.384rbio3.5124rbio3.7164rbio3.9204rbio4.497rbio5.511rbio6.81711Regularity forpsire

25、c.Nd-1 and Nd-2 at theknotsyesSymmetryNumberof vanishingmoments for psi dec. NdRemark: rbio 4.4,5.5 and 6.8 are such that reconstruction anddecomposition functions and filters are close in value.7、Meyer 小波Meyer小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進(jìn)行定義的，它不是緊支撐的，但 它的收斂速度很快。在Matlab中輸入命令 waveinfo('meyr')可得到如下信息：G

26、eneral characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.MeyerFamilyShortnamemeyrBiorthogonalyesCompact support noDWTpossiblebut without FWTFIR based approximation provides FWTCWTpossibleSupport widthinfiniteEffective support-8 8Regularityindefinitely derivableSymmetryyes8、Dmeyer 小波Dmeyer即離散的Me

27、yer小波，它是 Meyer小波基于FIR的近似，用于快速離散小波 變換的計(jì)算。在Matlab中輸入命令 waveinfo('dmey')可得到如下信息：Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.FamilyDMeyerShort name dmeyOrthogonalyesBiorthogonal yesDWTpossibleCWTpossible9、Gaussian 小波Gaussian小波是高斯密度函數(shù)的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒(méi)有 尺度函數(shù)。在Matlab中輸入命令 waveinfo

28、('gaus')可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability density function.gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-xA2),n) wherediff denotesthe symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x,n) = 1.FamilyGaussianShort namegausWavelet name gaus"n"OrthogonalnoCompact su

29、pportnoDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support-5 5Symmetryyesn even => Symmetryn odd => Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。因數(shù)它的形狀像墨西哥帽的截面，所以 我們稱這個(gè)函數(shù)為墨西哥草帽函數(shù)。它在時(shí)域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數(shù),所以此小波函數(shù)不具有正交性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('mexh')可得到如下信息：Definition:

30、 second derivative of theGaussianprobability density functionmexh(x) = c * exp(-xA2/2) * (1-xA2)where c = 2/(sqrt(3)*piA1/4)FamilyMexican hatShort namemexhOrthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetryyes11、Morlet 小波Morlet小波是高斯包絡(luò)下的單

31、頻率正弦函數(shù)，沒(méi)有尺度函數(shù)，是非正交分解。在Matlab中輸入命令 waveinfo('morl')可得到如下信息：Definition:morl(x) = exp(-xA2/2) * cos(5x)FamilyMorletShort namemorlOrthogonalnoBiorthogonal noCompact support noDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support卜4 4Symmetryyes12、ComplexGaussian 小波屬于一類復(fù)小波，沒(méi)有尺度函數(shù)。在Matlab中輸入命令 wa

32、veinfo('cgau')可得到如下信息:Definition: derivatives of the complexGaussianfunctioncgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-xA2),n)where diff denotesthe symbolic derivative and where Cn is aconstantFamilyComplex GaussianShort namecgauWavelet name cgau"nOrthogonalnoBiorthogonal noCompact support noDW

33、TnoComplex CWTpossibleSupport width infiniteSymmetryyesn even => Symmetryn odd => Anti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets : shan在Matlab中輸入命令 waveinfo('shan')可得到如下信息：Definition: a complex Shannon wavelet isshan(x) =FbA0.5*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depending on two parameters:Fb is a ba

34、ndwidth parameterFc is a wavelet center frequencyThe condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure thatzero is not in the frequency supportinterval.FamilyComplex ShannonShort nameshanWavelet nameshan"Fb"-"Fc"OrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnocomplex CWTpossibleSupport width infinite14、ComplexFrequ