一個簡化的潮汐預報準調和分析方法

1、Zelter and一個簡化的潮汐預報準調和分析方法王如云 1， 2, 李慧娟 1， 2，蔣風芝2（ 1 河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京210098；2 河海大學海洋學院，南京210098）摘要 ：在用現(xiàn)有的淺水港日潮汐準調和分析預報方法進行潮汐分析預報時，發(fā)現(xiàn)最小二乘法的法方程組的系數(shù)矩陣條件數(shù)很大，數(shù)量級在108 ，因此矩陣是壞條件的( 或為病態(tài)的 ) ，算法不穩(wěn)定。根據(jù)潮汐動力學尋找高頻潮族與低頻潮族之間可能的相互作用關系，在只考慮相角的變化率情況下，建立了一個簡化的淺水準調和分析模型。利用連云港的多年實測數(shù)據(jù)檢驗，簡化的準調和分析模型相對于原準調和分析模型來講，最

2、小二乘法的法方程組系數(shù)矩陣條件數(shù)小很多，因此簡化后的模型計算更為穩(wěn)定。在實測數(shù)據(jù)時間較長的情況下，簡化前后的模型預報精度相當。但當實測數(shù)據(jù)較短時，簡化前的原模型卻沒有傳統(tǒng)的調和分析模型的預報結果精度高，而簡化后的模型卻能保持比傳統(tǒng)的調和分析模型的預報結果有一定的改善。特別是簡化后比簡化前的模型計算時間減少了 68%。關鍵詞 ：淺水潮汐；準調和分析；潮汐預報1 引言在潮汐預報方面，一般采用調和分析方法，在深水區(qū)域此方法可以獲得很好的預報效果，但在淺水區(qū)域尤其是河口區(qū)域，由于淺水潮汐的復雜性，采用此方法往往不能獲得滿意的效果。例如杜德森提出的60 個分潮 1 ，其結果不能令人滿意。為此，杜德森后來

3、又提出了一個直接對高低潮進行淺水改正的方法2 ，該方法雖然使高低潮的預報精度有了提高，但把它應用到逐時潮位預報上則有許多困難和不便之處。在淺水區(qū)域由于非線性效應的加大，潮波往往產生畸變。此時，高頻振動的作用必須予以充分考慮。為了提高淺水區(qū)域潮汐預報的精度，從調和分析方法來講就必須增加高頻的淺水分潮。在水深不太淺的區(qū)域，淺水分潮的振幅會隨著階數(shù)的增高而迅速減小，所以在一般港口采用較少數(shù)目的主要淺水分潮即可滿足潮汐預報的要求。但在淺水區(qū)，常常需要考慮到六階甚至更高階的相互作用，才能滿足潮汐預報的要求。上個世紀六十年代，一些潮汐學者試圖通過擴充高頻分潮的數(shù)目以使預報結果獲得改進，如Cumimngs

4、3 以及 Rossiter and Lennon 4 曾將分潮的數(shù)目擴充到110 多個，但效果并不理想。方國洪等人認為，不理想的原因在于隨著頻率的增加，高頻分潮的數(shù)目極速的增加，不可能從中挑選出少數(shù)分潮近似代替所有分潮，難以用有限數(shù)目的淺水分潮來體現(xiàn)總的淺水效應?？梢哉J為通過增加淺水分潮以改進潮汐預報，其效果可能是比較有限的?；谝陨戏治?，方國洪等提出了一個淺水潮汐預報的準調和分析方法 5 ，可以用來推算任意時刻的潮高，也可以用來推算高、低潮，效果比傳統(tǒng)的調和分析法有了顯著的改進。但我們使用此方法對連云港的多年潮位實測數(shù)據(jù)進行分析預報時，發(fā)現(xiàn)最小二乘法的法方程組系數(shù)矩陣條件數(shù)很大，算法不穩(wěn)定。

5、為此，我們對淺水準調和分析模型進行了簡化，簡化后的模型計算更為穩(wěn)定，計算時間大為減少。2 準調和分析方法介紹基金工程：水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室開放研究基金(2005407411) ；中國教育部科學技術研究重點工程（ 104104）；中國江蘇省普通高等學校高新技術產業(yè)發(fā)展工程(JH03-010)作者簡介：王如云(1963-) ，教授，男，安徽蕪湖人，從事計算物理學研究，E-mail:wangry1 / 7方國洪等人 5 提出的淺水預報準調和方法思路是把潮高分做兩部分，一部分為低頻部分，由潮族0， 1， 2 組成，主要是天文源潮波，另一部分為高頻部分，屬于淺水分潮。分析分兩步進行，首

6、先對于低頻部分，即潮族0， 1， 2，用如下表1 列出的分潮計算。表1 中包含了Doodson5 所用的所有屬于潮族0， 1， 2 的分潮。對實測潮汐(t ) 進行調和分析，求出各分潮的調和常數(shù)。然后用實測水位減去平均水位和0，1， 2 族的潮位，依據(jù)剩余值再作進一步分析。序號分潮符號1Sa2SSa3M m4MSf5M f62Q1718*QA19Q110* QA111112*OB113*OA114O115* OA116MP117M 118119* 2PK120121P122 S123 K124 125 126 127 J128 * 2PQ129 SQ1假如利用一年潮位資料表 1 調和分潮Doo

7、dson 數(shù)序號分潮符號Doodson 數(shù)00100030OO113000000200031* SQ11421 00010 1 0032* 2KQ1140 1 0002 200033OQ223010002000034MNS2232100130200352N222020013200036222200012 1 10037* NA221 110012010038N 22 1 010012110039* NA22 1 11001221 004022121001 1 200041OP220200011 100042* MA220 1 0001 1 000043M 22000001 1 100044*

8、MA22010001 1 200045MkS2202000100000462212100102 1 0047L2210 1 0011400048* SB222400011 300149222 300111200050S222200011 100051R222 1 00111000052k2* *22000011100 153* kA222100011200054MSN22321 0011210055KJ 2230 1 00120 1 00562SM 224400013400057SkM 224200013200058* 2SN22541 00(t ) ，對其進行調和分析，計算各分潮的潮汐調和常

9、數(shù)，再依據(jù)下式將長周期、全日、半日潮族分別加以組合，得出三個基本準調和分潮，然后把三分日及以上的高頻潮表示為這些基本準調和分潮的函數(shù)。隨著頻率的增加，只增加少量的準調和項，每一個準調和項可以近似看作一群頻率相近的分潮之和。計算每小時0 ， 1 ， 2 族的振幅R(t ) 和r (t ) 。各族的振幅和位相的變化已不再是常數(shù)，而具有緩慢的變化。稱這些量是準調和分量。2 / 75R0 cos r0fiH icosi t(vu) igi i15R0 sin r0fi H isini t(vu)igi i132R1 cosr1fi H icosit(vu)igi （ 1）i632R1 sin r1fi

10、 H icosit(vu)igi i 658R2 cosr2fiH icosi t(vu)igi i3358R2 sin r2fiH icosit(vu)igi i 33從動力學的原因來看，淺水分潮由兩種非線性產生。一種是運動方程中的平流項，如u u ， . ，和連續(xù)方程中的非線性項，如( u) ， . ，能夠產生高級攝動項。另一種是由運動xx方程中的摩擦項所產生，如u u （這里 u 是流速，是水位，是摩擦系數(shù)）。將上式定義的準調和項視為單一潮波，并用kA cos(a) 表示由非線性產生的屬于高頻部分的各階攝動項，則潮高可表達為：hk j Aj cos(a jj )（ 2）式中58hA0fi

11、 H i cosit(vu)igi （3）i1式 (2) 中 KA cos(a) 為淺水分潮部分，用34 個準調和項表示淺水效應，式中K ,為準調和常數(shù)，A,a 為已知參數(shù)，它們的表達式見表2。預報時，首先由表1 中第 1 到第 58 個分潮的調和常數(shù)按 (3) 式計算 h 。再由 (1) 式計算各族的R 和 r ，根據(jù) R 和 r 按表 2 計算 A,a。利用文 1 中的潮汐預報準調和分析方法對連云港多年的實測潮位資料進行了分析預報，得出的結論是改善效果明顯，但淺水系數(shù)矩陣的條件數(shù)極大（見表4），這意味著方程組病態(tài)很嚴重，該算法不穩(wěn)定。在進行淺水準調和分析時，選擇的淺水分潮并非越多越好，選擇

12、的分潮達到一定個數(shù)后，淺水系數(shù)矩陣奇異嚴重，預報精度不僅沒有改善，反而會由于矩陣奇異給預報可靠度帶來負面作用。實際上在觀測記錄數(shù)據(jù)資料的過程中，會有惡劣天氣或儀器磨損等意外情況導致潮位數(shù)據(jù)缺測或者具有重大誤差等情況發(fā)生及觀測數(shù)據(jù)長度等的不同，算法若不穩(wěn)3 / 7定，這些原始誤差就會在預報過程中被擴大，導致預報結果的可靠性下降，這對預報是極為不利的。鑒于這些，我們對原準調和分析方法進行了簡化。根據(jù)潮汐動力學尋找高頻潮族與低頻潮族之間可能的相互作用關系，在只考慮相角的變化率情況下，建立了一個簡化的淺水準調和分析模型。表 2淺水準調和項中A, a 表達式jAjR12a jjAjR1 R22a j13

13、r1183r2r12R1 R2r1r219R1 R233r2r13R12 R2r1r220R12 R22r12r24R1 R22r2r121R223r25R1R222r2r122R233r26R1 R232r2r123R243r27R134r124R1 R22r13r28R1 R22r1r 225R1 R23r13r29R12 R22r1r 226R1 R234r 2r110R13 R22r1r 227R1 R244r 2r111R222r228R234r 212R232r229R244r 213R0 R222r230R1 R24r14r214R12 R23r1r231R245r215R1 R

14、2r12r 232R255r216R1 R22r12r 233R256r217R1 R23r12r 234R266r23 簡化的準調和分析模型在忽略了摩檫力作用的前提下，研究潮波在一維等深等寬半無限長溝渠中傳播的情況，簡uu ug0化后的方程組txx中，第一個方程的第二項，第二個方程的第三和第四uu uh0txxx項與相應方程的主要項相比，其量級即使在淺水地區(qū)也小于1，作為零級近似，把它們略去了。因此倍潮波的振幅與相應源潮波振幅的整數(shù)次方成正比例，且冪次與頻率的倍數(shù)相等；復合潮波的振幅則正比例于源潮波振幅的乘積，這個結果對由無摩檫引起的線性淺水分潮大致上是成立的，但是受摩檫力非線性作用引起的淺

15、水潮波，它們的振幅與源潮波的振幅則不一定遵從以上關系，實際的振幅變化幅度要小于理論的變幅6 。因為摩檫力比例于潮汐振幅的平方，而不是線性關系1，不能認為引潮力增大若干倍，潮汐振幅也相應增大相同的倍數(shù)。由此我們假設淺水分潮的一般表達式為K cos(a ) （表達式中 a 的含義同原來的模型），同時由于簡4 / 7化后的計算模型避免了對表2 中淺水準調和項表達式A 的計算，可節(jié)省計算時間。簡化模型求解淺水調和常數(shù)時方法同原來的相似。最后進行預報并與原模型進行分析比較。對于表2 中 a 相同的項，我們只須保留一項即可，否則淺水系數(shù)矩陣的行列式由于存在完全相同的兩行或多行，其行列式為零，從而系數(shù)矩陣奇

16、異，方程組無解。簡化后的準調和項為17 項， a 的表達式見表 3。表 4 為簡化前后模型的預報結果比較，仍以1967 年實測潮位作為分析資料，來預報其它年份水位。為書寫方便，我們稱簡化前模型為模型1，簡化后模型為模型 2。表 3 準調和項中 a 的表達式ja jja j13r1102r12r22r1r2113r 232r2r112r13r244r1134r2r152r1r 2144r262r215r14r273r1r2165r28r12r 2176r293r 2r1表 4 模型 1 和模型 2 均方差比較表調和分析均方模型 1 均方差模型 2均方年份（）差（）差（）196230.528.62

17、9.5196324.221.322.6196424.521.723196524.822.123.3196624.621.723196720.817.318.9196824.221.622.9196928.326.127.119702623.524.7197124.822.123.5197227.625.326.4197327.124.825.9197428.526.327.3197526.824.625.5198224.421.222.6淺水系數(shù)矩陣條件數(shù)模型 1： 35912244模型 2： 14分析表4，預報精度雖沒有所提高，但兩者均方差相差僅為0.9cm 到 1.6cm 之間，同時模型

18、2 的淺水系數(shù)矩陣條件數(shù)相比原來的算法顯然小很多，說明簡化后的算法穩(wěn)定。算法若不穩(wěn)定，原始誤差就會在預報過程中被擴大，導致數(shù)據(jù)的可靠性下降，這對預報是極為不利的。如果算法穩(wěn)定，即使用于分析的資料存在誤差，在預報時，對這種誤差也不會有很明顯的放大，這對預報結果的可靠性是有利的。為了進一步驗證模型 2 穩(wěn)定性好于模型 1，我們改變用于分析的潮位資料的時間長度，比較兩種模型的預報結果。5 / 7表 5 顯示，當用于準調和分析的數(shù)據(jù)時間段長度縮減到204 日時，模型2的均方差開始小于傳統(tǒng)的調和分析方法及模型1。繼續(xù)縮減到 168 日（約半年）之后，模型1的預報均方差開始遠遠大于以傳統(tǒng)的調和分析方法預報

19、的均方差，以致大到難以接受。而模型2 較傳統(tǒng)方法的均方差有所改進，顯然簡化后的模型穩(wěn)定性要好得多。對簡化前后模型進行淺水準調和分析計算（包括將各潮族的分潮進行迭加到求出淺水準調和常數(shù)的全部過程）所花的時間做了統(tǒng)計（表6）：表 5不同分析時間長度兩個模型預報精度比較分析段數(shù)據(jù)時傳統(tǒng)的調和分析模型 1模型 2間長度（日）均方差 (cm)均方差 (cm)均方差 (cm)36524.421.321.833424.120.821.330424.220.921.527326.623.724.224331.729.429.621131.329.029.320543.041.741.720445.143.94

20、3.820346.144.944.820050.049.248.919652.852.651.718651.250.450.118560.061.359.218459.259.758.317797.9131.897.4168169.31433.8169.1165268.96751.2268.81633.49.117626.9349.0注：以上以1967 年 1 月 1 日起的潮位數(shù)據(jù)為分析資料，預報1982 年潮位表 6簡化前后模型計算時間比較年份原模型計算時間改進后模型計算時間（秒）（秒）19622.480.7819632.410.7719642.470.7719652.410.801966

21、2.440.7719672.410.7819682.390.7719692.410.7819702.410.7519712.410.7519722.390.7519732.390.7719742.440.7719752.450.7719822.410.75平均計算時間2.420.776 / 7相對原來模型節(jié)省計算時間：68%由表6 可以看出，簡化后的模型對淺水準調和分析部分計算時間僅有原來的68%左右，當分析數(shù)據(jù)量很大時，模型二的優(yōu)勢體現(xiàn)的就更為明顯了。5 結論利用連云港潮位資料，對簡化后的模型進行了分析檢驗，首先其法方程系數(shù)矩陣條件數(shù)為14，而簡化前的模型高達108，說明簡化后的模型其算法更為穩(wěn)定，而原模型計算不穩(wěn)定。其次，當分析時段潮位資料時間長度短于204 日時，模型1 的預報誤差較傳統(tǒng)調和方法來講，不但沒有減小，反而更大了，而模型2 較傳統(tǒng)方法來講，仍然有所改進。由于簡化后的模型避免了對淺水準調和項表達式中A 的計算，且經簡化后準調和項只剩下17 項，從而在進行淺水準調和分析求準調和常數(shù)這一步驟節(jié)省了68%的時間。參考文獻1Doodson,A.T.,1928.The ana