武漢大學(xué)高等代數(shù)內(nèi)部講義

1、精品文檔武漢大學(xué)高等代數(shù)（基礎(chǔ)課程內(nèi)部講義）1歡立下載武漢大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)框架梳理及其解析 第一章多項(xiàng)式第二章行列式第三章 線性方程組 第四章矩B$第五章二次型第六章線性空間第七章線性變換第八章入-矩陣與約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 第九章歐幾里得空間 第十章雙線性函數(shù)與辛空間 精品文檔武漢大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)初試線性代數(shù)考研知識(shí)點(diǎn)深度分析真題分析年份題型分值考察范圍考察難度（了解、理解、掌握、應(yīng)用）2009計(jì)算40行列式計(jì)算，根據(jù)行列式的秩求 未知數(shù)，求線性空間的一個(gè)基計(jì)算的題目都不是很難，只 要是按定義來做都是可以做出來 的證明110證明向量的線性相關(guān)性，證明與 方程組解個(gè)數(shù)有關(guān)的不等式， 特殊矩 陣有關(guān)的證

2、明，特征值的范圍，矩陣 相似，線性變換證明題中前面幾個(gè)很簡(jiǎn)單屬 于理解定義就可以做的，后面關(guān) 于線性變換的題書L定難度2008計(jì)算70行列式求值球線性空間的位數(shù) 和一組基，求滿足條件的止交變換， 求零化多項(xiàng)式，極小多項(xiàng)式，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型，求雙線性變換的矩陣。計(jì)算的題目都不是很難，只 是有些計(jì)算起來有些復(fù)雜，只要 細(xì)心就可以了，這基本屬于理解 定義就可以的題目證明80證明滿足某種條件矩陣存在性的問題，線性子空間的直和證明矩陣 可逆，證明矩陣正定、合同，證明不 變子空間，證明矩陣之間秩的關(guān)系前回兩個(gè)證明存在性的問題 看起來是比較新的題型，但具體 分析一下就知道這都是很簡(jiǎn)單 的，只是最舟-個(gè)證

3、明矩陣之間 秩的不等式難度較大，是已有知 識(shí)的一個(gè)應(yīng)用2007計(jì)算70求滿足一定條件的矩陣，求行列 式的值，求線性方程組的基礎(chǔ)解系， 求不變因子，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，極小多項(xiàng) 式，線性變換的基計(jì)算題的題目都不是很難， 一般只要是考生能正確的應(yīng)用定 義就可以做出來。證明80線性方程組是否有公共解，關(guān)于 代數(shù)余子式的證明，矩陣的秩，矩陣 的正定，矩陣的相似，線性子空間的 直和，線性變換的對(duì)角化問題，兩個(gè) 線性變換之間的關(guān)系證明題相對(duì)于計(jì)算題來說難 度稍微些，但根據(jù)最近這些 年武漢大學(xué)線性代數(shù)出題的規(guī)律 來看，代數(shù)的題目都不難，所以 基礎(chǔ)一定要扎實(shí)。綜合來說，高等代數(shù)專業(yè)課這幾年的題型變化不大，主要有計(jì)算和

4、證明題型，難度略有增加，側(cè)重于 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的掌握，在復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)于了解的知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)的時(shí)候，一定要搞清楚各個(gè)概念以及它們之間 的關(guān)系，需要了解的只是大多數(shù)是定義之類的簡(jiǎn)單東西，我們必須看到定義之間的練習(xí)，才能在做題的時(shí) 候不混淆，對(duì)于熟悉的知識(shí)點(diǎn)，這類知識(shí)我們應(yīng)該找一部分習(xí)題進(jìn)行一下簡(jiǎn)單訓(xùn)練，這類知識(shí)點(diǎn)一般不會(huì) 出很難得題目，但肯定會(huì)在考試中涉及，所以進(jìn)行一定的訓(xùn)練是很有必要的；對(duì)于掌握的知識(shí)點(diǎn)，這類知 識(shí)點(diǎn)是考試的重點(diǎn)，一定要多花些時(shí)間來做，首先是看一遍課本，然后做完課本上相應(yīng)的習(xí)題，對(duì)這類知 識(shí)點(diǎn)先有個(gè)大體的了解，然后再做我們所推薦的那兩本習(xí)題，將那上面的相關(guān)題目完成后對(duì)付考研是沒問 題的

5、。參考書目知識(shí)點(diǎn)分析初試專業(yè)課 高等代數(shù)總共包括 1本書下面我將主講高等代數(shù)的復(fù)習(xí)概要，同學(xué)可以做個(gè)標(biāo)注:高等代數(shù)早下章節(jié)名稱重點(diǎn)難點(diǎn)必考點(diǎn)考試題型分值第1章多項(xiàng)式XXX無第2章行列式VV計(jì)算行列式的值15第3章線性方程組VV求解題目中的參 數(shù)15第4章矩陣VVV求矩陣的逆或證 明矩陣秩之間的 關(guān)系25第5章二次型VVV與正定矩陣、半 正定矩陣、負(fù)定 矩陣、半負(fù)定矩 陣有關(guān)的證明15第6章線性空間V證明線性空間同 構(gòu)，或求先行空 間的維數(shù)15第7章線性變換VVV求線性變換的特 征向量特征值特 征子空間，不變 子空間等20第8章入-矩陣與約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型V求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型15第9章歐幾里得空間V對(duì)稱變換，

6、反對(duì) 稱變換，正交變 換，正交矩陣后 關(guān)的證明15第10章雙線性函數(shù)與辛空間V求雙線性變換的 矩陣15重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)匯總分析（大綱）序號(hào)知識(shí)點(diǎn)細(xì)分難易程 度（最大為*）1多項(xiàng)式多項(xiàng)式的概念兩種不同的定義不定元的觀點(diǎn)函數(shù)觀點(diǎn)2多項(xiàng)式的運(yùn)算加法、減法、乘法3多項(xiàng)式的次數(shù)不為零的項(xiàng)的最高次數(shù)為該多形式的次數(shù)4整除及其性質(zhì)5最大公因式首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記為(f (x) , g(x)6多項(xiàng)式互素(x)f(x)(x)g(x) 17不口約多項(xiàng)式及其性質(zhì)8因式分解定理9重因式/、可約多項(xiàng)式 p(x)稱為多項(xiàng)式f(x)的k重因式，如果 pk(x)/f (x)，而 p(k 1)不整除 f (x)10多項(xiàng)式的根1

7、1本原多項(xiàng)式12艾森施坦因判別法13多元多項(xiàng)式14對(duì)稱多項(xiàng)式15行 列 式行列式的定義，逆序的定義(j/2jn)為排列j/2jn的逆序數(shù)。16行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置以后其值不變，變換行列式的兩行(列)，行列式改變符號(hào)17行(列)展開18行列式的乘法19拉普拉斯定理(laplace 定理)20線 性 方 程 組克萊姆法則(Cramer法則)設(shè)A解，其用a11a1nan1ann早為(_D1匹(AA，且A 0,則有唯一An)21向量的線性相關(guān)性設(shè) 1, 2, n Pn , 若方程組Xi 1 x2 2xn n 0,在P中后非零解,則稱1,2, n線性相關(guān)，否則稱它們線性無關(guān)。22線性方程組解得情況分類非齊次

8、線性方程組有解的充分必要條件是它的 系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩23矩陣矩陣及其運(yùn)算矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置24可逆矩陣與逆矩陣伴隨矩陣及其性質(zhì)逆矩陣及其性質(zhì)求逆矩陣的兩種方法,1 *I）用公式A 1 一 A ； II）初等變換法IA25初等變換與初等矩陣單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初 等矩陣26分塊矩陣1分塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣的初等變換分塊矩陣求逆的方法27矩陣的秩秩 A 二秩（A'）；秩kA =秩A ,其中k為非零常數(shù)秩A 秩A秩A B 秩A 秩B28矩陣的分解矩陣的和分解矩陣的積分解29次 型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的矩陣表示二次型與矩陣的合同30對(duì)稱矩陣n

9、階對(duì)稱矩陣合同于對(duì)角矩陣n階實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在一個(gè)階正交矩陣T使1_ 1_2T'AT T 1ATn31實(shí)二次型與復(fù)二次型的規(guī)范型復(fù)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)臐M秩線性變換（復(fù)）可變222為 y y2y.實(shí)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)膶?shí)滿秩線性替換可變?yōu)?2222yiy2yp ypiy32符號(hào)差p-q=S33對(duì)稱矩陣的性質(zhì)兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是他們的秩相 等兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們有相同 的秩和相同的符號(hào)差34正定二次型判定條件A與E合同,A的一切順序主了式王大于奪。或 A的特征值全為正。35二次型f(XiX2Xn)是負(fù)定二次型的充要條件是f(XiX2 Xn)是正定二次型。36二次型f(X2

10、Xn)是負(fù)定的充分必要條件是它的順序主子式 負(fù)、正相間。37n元實(shí)二次型P正定二次型：正慣性指數(shù)=秩= n半正定二次型：正慣性指數(shù)=秩負(fù)定二次型：負(fù)慣性指數(shù)=秩= n;半負(fù)定二次型：負(fù)慣性指數(shù)=秩不定二次型：其他38線 性 空 間線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)加法交換律加法結(jié)合律在V中件-個(gè)兀素 0,對(duì)于V中任一兀素都有 0對(duì)于V中每一個(gè)元素，都有V中的元素 ，使得01 -=；k(l ) (kl)(k l) k lk() k k39維數(shù)果在線性空間V中有n個(gè)線性無關(guān)的向量，但 是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，那么V就稱為n維的；如果在 V中可以找到任意多個(gè)線 性無關(guān)的向量，那么 V就稱為無限維的.40基在

11、n維線性空間V中，n個(gè)線性無關(guān)的向量1, 2, n稱為V的一組基，41坐標(biāo)設(shè)ai 1 a2 2an n，其中系數(shù)為電，an是被向量 和基1, 2, , n唯一確定的，這組數(shù)就稱為 在基1, 2, , n下的坐標(biāo).42過渡矩陣43線性子空間數(shù)域P上線性空間 V的一個(gè)非空子集合W稱為V的一個(gè)線性子空間（或簡(jiǎn)稱子空間）， 如果 W對(duì)于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域 P上的 線性空間.44子空間的交與和V1IV2 v V1且v V2,稱為子空間的交；V1 V2 V1 V2 |V1 V1,V2 V2,稱為子空 間的和。45子空間的直和46同構(gòu)()()()；(k ) k (),47基本結(jié)論線性空間V的非空子集 W

12、是V的子空間 的充分必要條件是 W對(duì)于V的兩種運(yùn)算是封 閉的.L( 1, 2,L , s)L( 1, 2,L , t)向量組1, 2, s與向量組1, 2, t等價(jià)，且dim L( 1, 2, s) 等于向量組1, 2, s的秩如果V1 ,V2是線性空間V的子空間，那么V1 V2, Vi V2都是V的子空間.dimM dimV， dimV V dim峪 V2).18數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要 條件是它們有相同的維數(shù).49線 性 變 換線性映射的定義設(shè)U ,V為數(shù)域K上的線性空間，:U V為映射，且滿足以下兩個(gè)條件()()(),(,U)；(k ) k ( ),(U,k K),50單

13、線性映射是單射51滿線性映射P是滿射52同構(gòu)映射P既單又滿，53的核(kernel )ker U | ( ) 054的像(image)im = V |U ,s.t ( ),也記為(U)55ker 和im 是V的子空間56線性映射f是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker f 0 , f是滿的當(dāng)且僅當(dāng)coker f 057線性映射的運(yùn)算的定義與性質(zhì)加法與數(shù)域K上的數(shù)量乘法58線性映射在一組基下的矩陣59線性變換線性空間到自身的線性映射稱為線性變換60線性變換的矩陣61矩陣的相似二矩陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們是同一個(gè)線性變 換在兩組基下的矩陣。62線性變換的特征值與特征向量的 定義若存在非零向量V,使得對(duì)于某個(gè)K,有A，則稱

14、是A的屬于特征值 的特征向量。63線性空間V中屬于確定的特征值的特征向量(添加上零向量) 構(gòu)成子空間特征子空間64特征值和特征子空間的計(jì)算、特 征多項(xiàng)式f( ) E A被稱為線性變換 A的特征多項(xiàng)式65線性變換的屬于不向特征值的特 征向量線性無關(guān)66維空間的具有個(gè)不同特征值的線性變換的矩陣相似于對(duì)角矩9歡在下載精品文檔陣.67n維空間線性變換的矩陣相似于 對(duì)角矩陣的充分必要條件是該空 間等于特征子空間的直和。68線性變換的不變于空間69如果n維空間V上的線性變換 A 的矩陣相似于對(duì)角矩陣，則A在任一/、變于空間 M上(的限制) 的矩陣相似于對(duì)角矩陣。70入-矩陣的可逆71入-矩陣的初等變換72

15、入-矩陣等價(jià)的定義經(jīng)一系列初等變換可以得到73入-矩入-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型J10i 10JJ2, Jii01Js0i ni ni74陣入-矩陣的行列式因子75與入-矩陣的小艾因子入-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角線上的兀素76約 當(dāng)兩個(gè)入-矩陣等價(jià)的充分必要條 件是他們有相同的/、變因子77標(biāo)矩陣A的小變因子入E-A的不變因子78準(zhǔn)入-矩陣的初等因子:所有次數(shù)大于等于1的因式79型矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與A相似的Jordan型矩陣成為 A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型80Hamilton - Cayley 定理A是數(shù)域K上的n階方陣,f是A的特征多項(xiàng) 式，則 f(A)=0.81最小多項(xiàng)式.設(shè)A是數(shù)域K上一個(gè)n階方陣,A的

16、首項(xiàng)系 數(shù)為1的最低次化零多項(xiàng)式稱為 A的最小多項(xiàng) 式.82內(nèi)積就是一個(gè)正定、對(duì)稱的雙線性函數(shù)83歐幾里得空間具有內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為歐幾里得空間(簡(jiǎn) 稱歐氏空間)；84長(zhǎng)度或模| 7(,)85歐 幾 里 得 空 間柯西-布尼雅可夫斯基不等式|( , )i i i i 86度量矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，并且是 正定的(1, 1)(1,2)(1, n)C( 2 , 1)(2,2)(2, n)G(n, 1) ( n, 2)( n, n)87標(biāo)準(zhǔn)正交基88正交矩陣.TT E89施密特(Schmidt)正交化方法90歐式空間中子空間M的正交補(bǔ)MV|對(duì)一切M有(，)091VMM92歐氏空間同構(gòu)映射(1) 是線性

17、空間V1到V2的的同構(gòu)映射(2) 保持內(nèi)積關(guān)系.93正交交換設(shè)V是n維歐氏空間，A是V內(nèi)一個(gè)線性變換.如果對(duì)任意 ， V都有(A ,A )=(,)94第一類正父變換正交變換A在某一組基下的矩陣的行列式為195第一類正交變換.如果行列式為-196正交矩陣的特征多項(xiàng)式的根的絕 對(duì)值等于197對(duì)稱變換設(shè)A是n維歐氏空間V內(nèi)的一個(gè)線性變換，如果對(duì)，V,都有(A ,) =(, A )98n維歐氏空間 V上的線性變換 A 是對(duì)稱變換當(dāng)且僅當(dāng)它在標(biāo)準(zhǔn)正父基1,2, n下的矩陣 A是實(shí)對(duì)稱矩陣.99實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征根都是實(shí)數(shù).100n維歐氏空間上 V的對(duì)稱變換A 的/、變子空間 m的正父補(bǔ)M仍 是不變子空間

18、.101設(shè)n維歐氏空間上的對(duì)稱變換某 組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣呈對(duì)角形設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在n階正交矩陣T ,使得T 1 AT( T AT)為對(duì)角陣.102雙 線 性 函 數(shù)線性函數(shù)的定義f:V K為映射，滿足f() f( ) f( ), V；f(k ) kf( ), k K, V103與 辛 空 間雙線性函數(shù)的定義f(k1 1 k2 2, ) "( 1, ) k2f( 2,)f( ,l1 1 l2 2)11f(, 1) l2f( , 2)1欺速下載精品文檔104雙線性函數(shù)在給定基卜的矩陣f ( i, j) (1 i n,1 j n)105雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣設(shè)線性空間 V上

19、的雙線性函數(shù)f在一組基1,L , n下的矩陣為 A,由基1, n到基1, n的過渡矩陣為T ,則f在1, n下的矩陣為TAT （合同）106對(duì)稱雙線性函數(shù)f( , ) f(,)107f為對(duì)稱雙線性函數(shù)f在任意一組基卜的矩陣為對(duì)稱矩陣108數(shù)域K上的n維線性空間 V上 的對(duì)稱雙線性函數(shù)的矩陣必合同 于對(duì)角陣12攵'迎下載精品文檔第一章多項(xiàng)式武漢大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)框架梳理及其解析本節(jié)課在武漢大學(xué)考研試題中不會(huì)涉及，所以可以不用復(fù)習(xí)。第二章行列式本章節(jié)包括一下5個(gè)知識(shí)點(diǎn)aii1.行列式的定義：an1al nann(1)(jlj2.jn)aijia2j2.anjn 其中(jij2jn)為排

20、列"jz-jn的逆序數(shù)。2 .行列式的性質(zhì)(1)設(shè)D為n階行列式，則DDT ,即行列式轉(zhuǎn)置以后其值不變。14欠°迎下載(2) n階行列式D某一行(列)有公因子可以提出來。(3) n階行列式D的某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行 列式除這一行外全與原來行列式D的對(duì)應(yīng)的行一樣。(4) n階行列式D中某行(列)的對(duì)應(yīng)元素都相等，則D=0。(5) n階行列式D中某行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例，則D=0。(6)把n階行列式D的一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)，行列式的值不變。(7)變換行列式的兩行(列)，行列式改變符號(hào)。3 . 一行(列)展開設(shè) D aj為

21、階行列式， Aj為元素aij的代數(shù)余子式，則4.aki Akiak2 Ak2D,當(dāng) k i, akn kn0,當(dāng) k i.ail A ja2l A2 jD,0,行列式的乘法設(shè)Di和D2是任意兩個(gè)階行列式.且D aij,D2 bijUDi?D2 D,而DCj .其中nCijakibil (k, l i,2 n)i i5.拉普拉斯定理(laplace 定理)設(shè)在行列式D中任意取定了 k(i k n i)個(gè)行，由這k個(gè)元素所組成的一切k階子式與他們的代5個(gè)知識(shí)點(diǎn)必須掌握。數(shù)余子式的乘積的和等于行列式Do因?yàn)檫@一節(jié)比較基礎(chǔ)而且這一節(jié)的內(nèi)容對(duì)于后面幾節(jié)的學(xué)習(xí)有很大幫助所以這基礎(chǔ)階段，復(fù)習(xí)時(shí)間是從 5月份

22、至8月份，需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是會(huì)求行列式的值。在復(fù)習(xí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過程中，首先要了解知識(shí)點(diǎn)，通過看課本并完成課本后面的習(xí)題來初步熟悉以上所說的知識(shí)點(diǎn)，知道行列式表示一種特殊的計(jì)算方式，關(guān)鍵要搞清楚行列式的計(jì)算，一般地有遞推降級(jí)法、拆分組合法、滾動(dòng)相消法、加邊法、哥級(jí)數(shù)變換法、逐行（列）相加（減）、利用特征值、利用降級(jí)公式、轉(zhuǎn)化為已知行列式（如范德蒙行列式等），最后再通過本講義如下內(nèi)容對(duì)應(yīng)的例題，從分析、解題、注意易錯(cuò)點(diǎn)到完成老師布置的作業(yè)完成相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的掌握過程?！局R(shí)點(diǎn)1】行列式的定義aii【例題1】寫出五階行列式a51a15中包含a3a25的所有正項(xiàng)a55分析：對(duì)于這個(gè)題我們只要知道行列式的

23、定義，同時(shí)能夠正確求一個(gè)排列的逆序數(shù)即可解題：包含a13a25的所有正項(xiàng)為:a13a25a31a44a52 , a13a25a32a41a54 , a13a25a34a42a51易錯(cuò)點(diǎn)：一定要寫出行列式中所有包含a13a25的象，這需要比較細(xì)心，這類的題難度不大?！局R(shí)點(diǎn)2】行列式的性質(zhì)【例題2】設(shè)三階矩陣A 2 1 , B3 2IA 18,B 2.求行列式|A B.1 ,其中，1，2均為三維向量，且已知2A-B是什么形式然后再利用行列式的性質(zhì)分析：為了求行列式 A B.的值我們首先要分析一下解題：由A B 2 132 12易錯(cuò)點(diǎn)：行列式中提取常數(shù)時(shí)要提取某一行或某一列的公因式即可精品文檔1&

24、amp;°迎下載. I 一、一、. I *、-*習(xí)題：設(shè)A為二階萬陣， A為伴隨矩陣，且A 1,計(jì)算（1A）1 8A*83答案：64【例題3】設(shè)ak0,k1,2,n,計(jì)算1a1111122 a2222333a333n 1n 1n1n 1 an 1n 1nnnnn an【知識(shí)點(diǎn)3】一行（列）展開，也就是求行列式的值分析：對(duì)于行列式求值的問題我們有遞推降級(jí)法、拆分組合法、滾動(dòng)相消法、加邊法、哥級(jí)數(shù)變換法、逐行（列）相加（減）、利用特征值、利用降級(jí)公式、轉(zhuǎn)化為已知行列式（如范德蒙行列式等），觀察這個(gè)行列式的性質(zhì)我們可以看出加邊法會(huì)好一些解題:原行列式a1111122 a2222333 a3

25、331n 1n 1n 1 an 1n1D=1nnnnnn11111a1111122 a2222333 a3331n 1n 1n 1 an 1nnnnnn11nan1111111a1000020a2000300a300(n 1)000an 10n0000a na n精品文檔1n區(qū)k 1 ak0a10a20a3=(1 +nK" ank 1 akan 10an易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于這種nxn矩陣一定要根據(jù)特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ@類題一般都有技巧不會(huì)讓直接算得習(xí)題：求行列式2xa1a2 a1a1a22x a2a2an的值an4ana2ana2解答：這個(gè)題計(jì)算有些復(fù)雜我寫出了他的過程xDn2a xaa22

26、x a2a3a2ana2a2a312a2xa/a2a32x a3ana3x2D2a12 na1 xxDn 12 n 1ai xa1aaa3aana3a2ana22 n 1a1 xa2a32x a3ana3x(xDna?ana3an2a12 na2 x2xan2)知識(shí)點(diǎn)4和知識(shí)點(diǎn)5在行列式計(jì)算的過程中都有體現(xiàn),這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)只是提供了求解行列式的一種方法弟二章線性方程組給定一個(gè)一般的 m n線性方程組，它有解、無解、有多少解，完全由其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩決 定，亦即由行列向量的線性關(guān)系所決定。此外，關(guān)于線性方程組的求解方法、解的結(jié)構(gòu)的討論，亦與線性 關(guān)系有關(guān)，因而線性相關(guān)性是線性方程組的理論基礎(chǔ)

27、，因而我們的討論就從這里開始。本章內(nèi)容大的知識(shí)點(diǎn)一共一下兩個(gè)1 .向量的線性相關(guān)性1) n維向量及其線性運(yùn)算2)設(shè)1, 2 , n p,若方程組 x1x2 2xn n 0 ,在P中有非零解，則稱1, 2, ,n線性相關(guān)，否則稱它們線性無關(guān)。16攵'迎下載精品文檔3）線性相關(guān)=0;線性無關(guān)，線性相關(guān)它們的對(duì)應(yīng)分量成比例；，線性無關(guān)它們的對(duì)應(yīng)分量不成比例4）設(shè) iail,ai2, ,ain i 1,2,尸則 i, 2, , n 線性相關(guān)| Hj | 0； 1, 2, , n 線性無關(guān)aj05）部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)。6）設(shè) iaii,ai2,且由（i 1,2, ,s） i

28、aii,ai2, ,ain,bii, ,bit （i 1,2, ,s）若1, 2, s線性無關(guān)，則 1, 2, s也線性無關(guān)。7）設(shè) , 1, 2, mPn,存在k1,kmp,使k11k22% m，則稱可由1, m線性表出（或線性表示）。設(shè)1, 2, m為向量組（I） ,1, 2, s為向量組（D），若組（I）中任一 i都可由組（n）線性表出，則稱組（I）可由組（n）線性表出；若組（I）與組（n）可以互相線性 表出，則稱組（I）與組（n）等價(jià)。若1, 2, , m線性無關(guān)，而 1, 2, , m,線性相關(guān)，則 可由1, 2, , m線性表示， 且表示法唯一。8）極大線性無關(guān)組，向量組的秩，兩個(gè)

29、等價(jià)的向量組有相同的秩。2.線性方程組設(shè)給定了數(shù)域p上的一個(gè)m n線性方程組 AX b其中A為m行n列的矩陣，Xx2 ,xnb1bb2 。 AX 0為（AX b）導(dǎo)出方程組。bm1）非齊次線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩2）方程組若有解，則i ）當(dāng)R A r<n時(shí)，有無窮多解；ii）當(dāng)R A r = n時(shí)，有唯一解。3）齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個(gè)數(shù)，即R A <n。4）方程個(gè)數(shù)m與未知量個(gè)數(shù)n相等的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行 列式等于零。5）任何一個(gè)有非零解的齊次線性方程組必有基礎(chǔ)解系，且

30、基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為n - R A即為自由未知量的個(gè)數(shù)。一定要會(huì)求已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。6）若方程組有解，則的一個(gè)解與它的導(dǎo)出方程組的一個(gè)解的和是的一個(gè)解。的任意解 都可以寫成的一個(gè)特解和的一個(gè)解的和。若1, 2,，一為AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則AX b的全部解可表示為0 k11k2 2kn r n r其中0為方程組的一個(gè)解。其中必須掌握的有以下幾點(diǎn) 1.能夠判斷一組向量的線性相關(guān)性，給出一組向量可以求出他的最大線性無關(guān)組2.給出一個(gè)線性方程組能夠判斷它是否有解，有解的話有多少，并且能夠求出它的解基礎(chǔ)階段，復(fù)習(xí)時(shí)間是從 5月份至8月份，需要掌握的知識(shí)點(diǎn) 2個(gè)，1.知道向量線性無關(guān)怎樣

31、判斷 2. 會(huì)求一般線性方程組的解。在復(fù)習(xí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過程中，首先要了解知識(shí)點(diǎn)，通過復(fù)習(xí)教材并完成課后習(xí)題組了解本章主要包 括線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)兩部分。解的判定只需判斷系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩的關(guān)系，另外，線性 方程組AX=b有解與b可由A的列向量線性表出。解的結(jié)構(gòu)也完全由系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相關(guān)，此處 引入了極大線性無關(guān)組的概念，它有三層含義：首先是解，其次相互無關(guān)，另外任一組解可由它們線性表 出，這樣進(jìn)一步熟悉相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，最后再通過本講義如下內(nèi)容對(duì)應(yīng)的例題，從分析、解題、注意易錯(cuò)點(diǎn)到 完成老師布置的作業(yè)完成相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的掌握過程。【知識(shí)點(diǎn)1】【例題1】設(shè)向量組1, 2, , r線性

32、無關(guān)，而1,少有一個(gè)可以被 1, 2, , r線性表示；或者向量組1,分析：這道題考察的就是向量線性無關(guān)與線性相關(guān)的定義 析一下就可以很容易證明了。解題：因?yàn)橄蛄拷M1, 2, , r線性無關(guān)，而1, 2,k1,k2, ,kr,l,m 使得k1 1 k2 2 kr r l1, 2, r線性相關(guān)）故l與m至少有一個(gè)不為零。若l 0, m 0,則式變?yōu)閗1 1 kr r l可由1, 2, r線性表示；若l 0, m 0同理可證可由1, 2, , r線性2, , r ,線性相關(guān)，試證：或者與至2, r ,與向量組1 , 2 , r ,等價(jià)。安定已將已知條件都用數(shù)學(xué)語言寫出來分r ,線性相關(guān)，所以存在一

33、組不全為零的數(shù)m 0 其中l(wèi),m不全為零（否則k1k2kr口吐0這時(shí) T 1 丁 之 T r即線性表示，可由1, 2, , r ,線性表示若l 0, m 0則由式知，可由1, 2,故向量組1, 2, r ,與向量組r ,可以互相線性表示，也即二者等價(jià)。易錯(cuò)點(diǎn)：一定要記清向量線性無關(guān)和等價(jià)的定義，把題目中的所有信息都用數(shù)學(xué)是自來表示然后再分析它們之間的關(guān)系。習(xí)題：設(shè)向量組n線性無關(guān)，試問向量組1是否線19發(fā)迎下載性相關(guān)？并證明你的結(jié)論。【知識(shí)點(diǎn)2】線性方程組b1b20,已知秩r <n（廈門大學(xué)）bm證明：（1）方程組AX1個(gè)線性無關(guān)的解2,(2)t1 1 t2 2n r 1是方程組AXb的

34、解,其中t1t2tn r 1）方程組AX b的任一解 可k1 1k2knk1 k2kn r 11。a11a12ana11a12a1nb1X1a21a22a2na21A 21a22a2nb2x2X2am1dm2amnam1am2amnbmxn分析:在線性方程組這一章里考察的內(nèi)容基本就兩個(gè)第一是判斷方程組是否有解第二就是求方程組的基本解系所以一定要記清方程組有解的判定條件和基礎(chǔ)解系的性質(zhì)。解題：（1）因?yàn)橹華秩Ar <n ,所以方程組AXb有解，由秩A r<n可知AX 0 有 n r線性無關(guān)的解:n r顯然n r線性無關(guān)。（否則，A 0b矛盾）。所以,+ n r亦線性無關(guān)。令i 1,2

35、, , n r1, 00可得i i1,2,1為AX b的n r 1個(gè)線性無關(guān)的解。n r 1tii 1i其中r 1ti1 ,由于Ai 1n r 1tiA ii 1n r 1tibi 1n r 1btibi 1(3)n r 1為AX b的n r 1個(gè)解且線性無關(guān),1 , 31 , n r 11 為AX個(gè)解，并且容易驗(yàn)證它們是線性無關(guān)的所以AXb的任意解可表示為1k2k22k31 k33kn r 111k2 2kn r 1kn r 1n r 1令 t11 ki t2k2i 2n r 1,tn r 1« r 1 則 ti 1i 11ti1易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于齊次方程組和非齊次方程組解之間的關(guān)系沒弄

36、清。習(xí)題：證明：實(shí)系數(shù)線性方程組naijxjbi(D i 1,2,j 1,m有解的充分必要條件是屬于 Rm的向b1,b2, ,bm與齊次線性方程組ajixj0i 1,2,門的解空間正交。第四章矩陣本章的知識(shí)點(diǎn)主要有一下1矩陣及其運(yùn)算(1)矩陣的加法及性質(zhì)設(shè) A ajmn,Bbj mn規(guī)定其中C 苴中jj m n 八 十Cjaijbj i 1,2,.m, j 1,2,.,n加法適合以下性質(zhì):I)交換律A；II)結(jié)合律III)有零矩陣A；IV)有負(fù)矩陣A0；矩陣的減法：A(2)數(shù)乘矩陣及性質(zhì)設(shè) A aij mn，k為任意數(shù)kAkajmn, i1,2，,m, j1,2，n數(shù)乘矩陣適合以下性質(zhì):i)k

37、 A BkA kB;ii) k l AkA lA;(3)矩陣的乘法設(shè) Aaijmn,Biii )k lAkl A;iv)1 A Abij n s規(guī)定AB cij其中naikbkj i 1,2,.,m, j1,2,.,s精品文檔矩陣乘法適合的性質(zhì)：i）結(jié)合律 AB C A BC2彼°迎下載ii）分配律A BC AB AC, B C A BA CA;iii ）有單位矩陣EmA A設(shè)A 為則它的伴隨矩陣ij n n式。 一 *伴隨矩陣適合的性質(zhì)：i)AA、 *ii) A*n 1iii ) kA kn1A;iv)A |A ; v) An秩An*vi)秩 A1秩 A n 1; vii) AB0

38、秩 A n 1(2)逆矩陣及其性質(zhì)設(shè)A 4 若存在n階方陣B使AB ij n n性質(zhì)：1 1,11 '1) A 1 A; ii) A A 1 ; iii) AB1 11iv ) kA A ;k11v)當(dāng)A為可逆時(shí)A 1.Aiv) kA B A kB k AB矩陣乘法不適合交換律。一般 AB BA ;也不適合消去律即 AB 0, A 0不一定有B 0（4）矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) A ajmn 規(guī)定 A(bj)nm,其中 bjaji i1,2,m,j1,2,n轉(zhuǎn)置矩陣適合的性質(zhì)： '''1 ) A B A B ; ii) kA kA ; iii ) A A; iv) AB B

39、 A2 .可逆矩陣與逆矩陣(1) 伴隨矩陣及其性質(zhì)A11A21. AniA*A12A22.An24為州 中元素aj的代數(shù)余子.A1nA2n.Ann*A A |AE; *A ;An2A;B A;BA E,則A為可逆矩陣B是A的逆矩陣設(shè)為 A 1逆矩陣的1 B 1A 1其中A, B均為n階可逆矩陣；精品文檔;II）初等變換法.1（3.）求逆矩陣的兩種方法：I）用公式A 1_AA3 .初等變換與初等矩陣單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 初等矩陣分為下面三種：Pi,j27迎下載初等矩陣均可逆,其中k0,P i, j k且逆矩陣是同一類型初等矩陣。矩陣Am n的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形Er04 .分塊矩

40、陣分塊矩陣的運(yùn)算常用的幾種分塊方法:i）列向量分法，即 A1, 2,，n其中i為的A列向量;ii）行向量分法，即1其中i為A的行向量;iii）分兩塊,即AA1, A2 ；或 AB1 .B2 ；精品文檔C2C4A中一切不等于0的子式的最高階數(shù);A的行秩；A的列秩；八口八Ciiv)分四塊，即A C3(3)分塊矩陣的初等變換(4)分塊矩陣求逆的方法5 .矩陣的秩設(shè)A 西 秩Aj m n秩A秩A矩陣的秩的有關(guān)幾個(gè)結(jié)論：i)秩 A =秩(A );ii)秩kA =秩A ,其中k為非零常數(shù)；iii)秩A 秩Aiv)秩A B 秩A 秩B ;設(shè)A,B分別是n m與m s矩陣，則秩AB min秩A,秩B，初等變換

41、不改變矩陣的秩。6 .矩陣的分解(1)矩陣的和分解(2)矩陣的積分解。7 . 一些常見的矩陣名稱記號(hào)定義性質(zhì)零矩陣000 mnA 0 A,0 A 0負(fù)矩陣 A若Aaj則 AajAA 0A A單位矩陣E11 E1 nnEA AE A數(shù)乘次邱車EkkkEkkEk n nkE IE k l EkE IE klEkE n knE,k 011(kE) 1 k 1E(k 0)名稱記號(hào)定義性質(zhì)對(duì)角陣DdiDd2dn又記 diagdi d2, ,dn.Ddid2 dn.di Q D可逆,且D iiiidiagdi ,d2 , ,dn DA AD (di aj)上（下）三角陣aii ai2ainAa22a2nA

42、annA/為卜二角陣A, B為上（下）三角陣，則 A BiAB,kA,A1均為上（下）三角陣。A aiia22 ann對(duì)稱陣A/AA, B為對(duì)稱陣，則 A B, AB仍為對(duì)稱陣反對(duì)稱陣A/AA, B為反對(duì)稱陣，則A B,AB仍為反對(duì)稱陣奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣行列式為0嘉等陣A2A若A E,A為奇異陣哥零陣Ak 0A為奇異陣，A E為非奇異陣哥幺陣（對(duì)合 陣）AkEA為非奇異陣且A i Ak i伴隨矩陣AAiA2iAiA2A22An2AAinA2nAnna1 半 a |Ani正交矩陣滿足AA/ A/A E或A i A/的矩陣.i * ,一A為正交矩陣，則A , A也是正交陣，向階正交矩陣之積仍為止交矩

43、陣IA i酉矩陣一/一/滿足A A AA E或i/A i A的矩陣- i _ * ， 一 一，一 A為酉矩陣，則 A , A也是酉矩陣。同階酉矩陣之積仍為酉矩陣，酉矩陣 的特征根之模為i4.分塊其中必須掌握的有5個(gè)分別是1.矩陣及其運(yùn)算2.可逆矩陣與逆矩陣3.初等變換與初等矩陣29欠0迎下載矩陣5.矩陣的秩基礎(chǔ)階段，復(fù)習(xí)時(shí)間是從5月份至8月份，需要掌握的知識(shí)點(diǎn) 4個(gè)，1.矩陣及其運(yùn)算2.可逆矩陣與逆矩陣3.初等變換與初等矩陣4.矩陣的秩【知識(shí)點(diǎn)1】矩陣及其運(yùn)算1【例1】當(dāng)A23"2"3-212時(shí)，A6 E ,求 A11分析：對(duì)于矩陣的運(yùn)算在考研中不會(huì)出題但是它是解決其它問題

44、的基礎(chǔ)，所以一定要會(huì)算。解答：A11EA 1 A 1易錯(cuò)點(diǎn)：很多情況都是要計(jì)算一個(gè)比較復(fù)雜哥次很高的矩陣這就需要我們根據(jù)它自身的特點(diǎn)看看能不能簡(jiǎn) 化一下，如果直接算往往是得不到結(jié)果的。習(xí)題：矩B*A 3 4 2,已知矩陣B與A滿足關(guān)系式 AB=A+B試求B【知識(shí)點(diǎn)2】可逆矩陣與逆矩陣【例2】已知矩陣A且A32E, B A2 2A 2E,試證B是可逆矩陣，并求 B 1分析：這類讓證明矩陣可逆的題目方法有兩個(gè)1.利用定義來證明2.證明行列式彳1不等于 0這一題用定義不是很好證所以我們考慮用第2種方法。3 2_A 2E B A 2A 2EA3A22A A A2 A2E A AA 2E又由A32E 知

45、 A3由 10E 2e 8EA3A3 8E2E2EA20,2A兩邊取行列式得 A 2E從而B 1 A 2EA3E A0故B可逆。1A2A2E A22E 1A2102A4EA2 A E-A2102A 4EA2A E*10A23A 4EE為四階單位矩易錯(cuò)點(diǎn)：關(guān)鍵是要選對(duì)方法在觀察題目用定義不好證明的時(shí)候要學(xué)會(huì)去尋找別的途徑。練習(xí)：設(shè) A為主對(duì)角線元素為 0的四階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣精品文檔0陣，B1k 0,l0kl(i)試計(jì)算E AB,并指出A中元素滿足什么條件時(shí)，E AB為可逆矩陣(ii) 當(dāng)E AB可逆時(shí)，試證明(E AB) 1A為對(duì)稱矩陣【知識(shí)點(diǎn)3】初等變換和初等矩陣【例3】試將下面兩個(gè)可逆矩陣化為初等矩陣的乘積:分析：對(duì)于化成初等矩陣的題目我們首先是按初等變換把該矩陣化成單位矩陣 解答：用初等矩陣把A化為單位矩陣.即A47(1,2)122,1(2)1247121,2(2)1001012( 1)2欲擬下載所以 P2( 1) P1,2(2) p2,1( 4) p1,2A E0 110 110 4 10A P1,2 1 P2,1( 4) 1 P1,2(2) 1 P2( 1)P1,2 P2,1(4) P1,2( 2) P2( 1)類似的可得0103100101010010010 0 1 0 0 1 0 0【知識(shí)點(diǎn)4】分塊矩陣【例3】