積分變換第一章習(xí)題及答案

1、1第一章 Fourier變換1 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)2 內(nèi)容提要內(nèi)容提要3 典型例題典型例題 一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)難點(diǎn)：1 求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換2 Fourier變換的簡單應(yīng)用變換的簡單應(yīng)用傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在(- - , + )上滿足條件上滿足條件: : 1). f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2). f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(- - , + )上絕對可積上絕對可積, , 則有則有jj1( )( )dd2tf tfee - - - - - ( )(0)(

2、0)2f ttf tf t - -成成 立立 而而 左左 端端 的的在在 它它 的的 間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) 處處 應(yīng)應(yīng) 以以來來 代代 替替, , ,. .(,)|( ) | df tt - - - - 在在絕絕 對對 可可 積積 是是 指指 的的收收 斂斂 . .1 Fourier積分定理積分定理二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件滿足傅氏積分定理的條件, , 則在則在f(t)的連的連續(xù)點(diǎn)處續(xù)點(diǎn)處, , 有有jj1( )( )eded2tf tf - - (1)式叫做式叫做f(t)的的Fourier變換式變換式, , (2)式為式為F( )的的Fourier逆逆變換

3、式變換式, , f(t)與與F( )可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換, ,可記為可記為F( )= f(t) 和和 f(t)= -1F( )jj1( )( )e( )( )ed1)d(2)2(ttfFftFtt - - 設(shè)設(shè)則則2 Fourier變換變換稱稱de(t)的弱極限為的弱極限為d-函數(shù)函數(shù), , 記為記為d(t).即即0( ) ( )dlim( ) ( )d(0( ),)t f ttt f ttf tfe ee edddd-對對任任意意的的若若1/0( )0tte eeeeed d 其其中中其其它它de(t)1/eeO0lim()()tte ee ed dd d 3 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈

4、沖函數(shù)及其傅氏變換（2 2）( ) td d td d 函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù), ,即即()( )ttd dd d- - （3 3）( )tt dtd d- - u t 其中其中, 10( )00tu tt 稱為單位階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù). .反之反之, ,有有 ( )du tdtd-函數(shù)有性質(zhì)函數(shù)有性質(zhì):(1)(1)00( )d1( )( )d(0)()( )d()tttf ttfttf ttf td dd dd d - - - - - - - - 及及兩個(gè)常用的積分：(4)( )f t若若為為無無窮窮次次可可微微的的函函數(shù)數(shù), ,則則有有( )( )(0)tf t dtfd d - -

5、 - - 一般地，有一般地，有( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnt f t dtfd d- - - 0jj()0ed2( )ed2()tttt d d d d - - - (1).(1).線性性質(zhì)線性性質(zhì) 設(shè)設(shè)F1( )= f1(t), F2( )= f2(t), a a, b b是常數(shù)是常數(shù), ,則則 a af1(t)+b bf2(t)=a aF1( )+b bF2( ) d( )dF 同樣同樣, , 傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì)傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì), , 即即 - -1a aF1( )+b bF2( )=a af1(t)+b bf2(t) 4 Fourier變換的性

6、質(zhì)變換的性質(zhì)(2).(2).微分性質(zhì)微分性質(zhì) 如果如果f (t)在在(- - , + )上連續(xù)或只有上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)有限個(gè)可去間斷點(diǎn), , 且當(dāng)且當(dāng)|t|+ 時(shí)時(shí), f(t)0, 則則 f (t)=j f (t). 同樣同樣, , 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, , 設(shè)設(shè) j( ).tf t- - 若= ( )F ( )f t0t為實(shí)常數(shù),則 00()( )jtf tteF- - - 010( )()jteFf tt- -(3). 位移性質(zhì)位移性質(zhì): : 2）象函數(shù)的位移性質(zhì)象函數(shù)的位移性質(zhì) 若=( )F ( )f t0為實(shí)常數(shù),則 010()( )jt

7、Ff t e- -00( )()jtef tF - - 1 1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)）象原函數(shù)的位移性質(zhì)(4). (4). 積分性質(zhì)積分性質(zhì), ( )( )d01( )d ( ).jtttg tf ttf ttf t - 如如果果當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則則 實(shí)際上實(shí)際上, , 只要記住下面幾個(gè)常用的只要記住下面幾個(gè)常用的Fourier變換變換, , 則則所有的所有的Fourier變換都無須用公式直接計(jì)算而可由變換都無須用公式直接計(jì)算而可由Fourier變換的性質(zhì)導(dǎo)出變換的性質(zhì)導(dǎo)出.000j0000( )1,()e2()12()11( )()( )jjsin ()()jtttttteu tu t etj- -

8、- - - - - - b bd dd d d d d d d d b b d d d d 卷積滿足下列性質(zhì)卷積滿足下列性質(zhì): :1221( )( )( )( )f tftftf t(1)(1)交交換換律律1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tftftf tftf tft(2)(2)分分配配律律123123( ) ( )*( )( )( )*( )f tftftf tftft (3)(3)結(jié)結(jié)合合律律5 卷積和卷積定理卷積和卷積定理1212( )( )( )()df tftfft- 12卷積定理卷積定理 假定假定f1(t), f2(t)都滿足傅氏積分定理中都滿足傅氏積

9、分定理中的條件的條件, , 如如 f1(t) =F1( ), f2(t) =F2( )11212()()( )( )FFftft - - 則則 f1(t) * f2(t) = F1( ) F2( )以及以及 12121( )( )()().2ftftFF 同理可得同理可得任給函數(shù)任給函數(shù)f(t), 都有都有f(t)*d d(t)=f(t), 這是因?yàn)檫@是因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)d d(t)在卷積運(yùn)算中起著類似數(shù)的在卷積運(yùn)算中起著類似數(shù)的運(yùn)算中的運(yùn)算中的1 1的作用的作用. .( )* ( )( )f ttf td d 首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程首先取傅氏變換將微分方程化為

10、象函數(shù)的代數(shù)方程, , 解代數(shù)方程求出象函數(shù)解代數(shù)方程求出象函數(shù), , 再取逆變換得最后的解再取逆變換得最后的解. . 如如下圖所示下圖所示. .象原函數(shù)象原函數(shù)( (微分方程的解微分方程的解) )象函數(shù)象函數(shù)微分、積分方微分、積分方程程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程取傅氏逆變換取傅氏逆變換取傅氏變換取傅氏變換解代數(shù)解代數(shù)方程方程6 微分、積分方程的微分、積分方程的Fourier解法解法三、典型例題三、典型例題( )cossinf ttt求求函函數(shù)數(shù)的的FourieFourie例例2 2r r變變換換。1,0,sgn( )1,0.ttt- 求求符符號(hào)號(hào)函函數(shù)數(shù)的的FouriFouri例例1 1erer變變換換。( )( )sintf ttu t eb b b b- - 0 0求求函函數(shù)數(shù)t t的的FourierFourier變變換換，其其中中例例3 30.0. 例例5 求下列函數(shù)的傅氏逆變換求下列函數(shù)的傅氏逆變換： 1sin(1)( )( );(2)( ).jFeFj d d - - 例例4,( )(),ttf tetb bb b- - 已已知知00000 00 0( ),tf t 求求 (