Laplace小波學(xué)習(xí)整理

1、Laplace 小波特征波混合基分解的精髓：使用與信號(hào)波形最匹配的基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分 解、提取隱含故障特征。Laplace小波定義:該小波為單邊衰減的復(fù)指數(shù)小波，定義如下圖所示：畑“形=g 嚴(yán)-洽r6 *卄Io>其它式中參數(shù)矢蛍r=林“決定了小波的待性，它的成員變量如°F和棋喜動(dòng)力學(xué) 相關(guān)，其中曲Ek"表示頻率$表示粘滯阻尼比辛?xí)r冏參數(shù)*系數(shù)A用來(lái)片一化小波函數(shù)*W,表示小波濟(jì)支區(qū)間的寛度，它一般不需要顯式表 示。由于3=肚八而/愛(ài)宜觀地表示了信號(hào)的!»率，本節(jié)一律用尸"0卄表示 Laplace小波參數(shù)&于的單位為Hs它抉定Laplace小

2、彼的振蕩頻率"較大的阻 尼比©使Laptace小波迅速衰減在MATLAB中程序：Fs=1e4;t=1/Fs:1/Fs:;f=500;w=2*pi*f;A=;%歸一化小波函數(shù)ep=;%粘滯阻尼比tal=;%時(shí)間參數(shù)y=A.*exp(-ep/(sqrt(1-epA2).*w.*(t-tal).*exp(-j.*w.*(t-tal);其中，y 為復(fù)指數(shù)小波， 歐拉公式知y包含實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。Laplace小波特性:實(shí)部Re(y實(shí)際上是一個(gè)高通濾波器Laplace小波基函數(shù)庫(kù)令集合F.2和丁分別為rF= fs門(mén)匸時(shí)=S U/Tfl1八 幵 E R【丁 門(mén) * 小* “)U R*

3、p E E設(shè)離1»網(wǎng)格空Br=FX ZXTt則Opiate小波基西數(shù)庠町以定義為一組馭的集 合護(hù).它滿(mǎn)JEW =仏 P E 門(mén)-0(/, ru) » / F，f & Zt r t T呑此我們把咖稱(chēng)作Laplace小波基函數(shù)庫(kù)$的小波原子.思想：信號(hào)x(t)是某個(gè)系統(tǒng)S的輸出，信號(hào)x(t)與x(t)的Lapice小波原子知 的內(nèi) 積，可以估計(jì)出它們之間的相似性，從而得到系統(tǒng)S的模態(tài)參數(shù)，與J的頻率、 阻尼特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。內(nèi)積.文H枷II II工II km知)若x(t)與曲完全相關(guān)，那么它們之間的夾角3= °?？梢远x一個(gè)相關(guān)系數(shù)kr來(lái)量化x(t)與之間的夾角

4、kr廠 K (t )，x(t)IIixi其中(t )為L(zhǎng)aplace小波基函數(shù)庫(kù)中的一個(gè)，一個(gè)(t )對(duì)應(yīng)一個(gè)kr(t )。補(bǔ)充知識(shí)：內(nèi)積定義：A，Bab abanbn I All B I cos其中I A| a aan ,| B I 、b bbn二范數(shù)定義：IIA 需 a, IBQb bbn那么 A B|A| |B| cos考慮到/GF,則嶺實(shí)際上足一個(gè)多維矩陣它的維數(shù)由空Plr-FXZXT*決 定匚為了尋找在毎個(gè)時(shí)刻與相關(guān)性最強(qiáng)的*需要在r時(shí)刻的矩陣勺中尋 找其最大值訊r)k( r) = mawcx = 和甘p式屮i喀表嚇r時(shí)刻©的f i f分別為耳；的最大值總對(duì)應(yīng)的Laplac

5、e小波 原子晦的頻率和陽(yáng)尼參數(shù)“在時(shí)MSffi wt內(nèi)式(6. 2.7中因子施的作用是當(dāng) 信號(hào)工“和韓完全線(xiàn)性相關(guān)時(shí)便得出所氐有的確定過(guò) 程實(shí)際上是在時(shí)刻的空何曲面Pt 二 WS HE F,肚乃中找出嵯值點(diǎn).=朮Wf*旗加九(r-D 十A評(píng)，f鼻 (6 2 10>0. QlntO.t <t0式中用“)為白噪聲oi為集聲幅值*系埼的慎態(tài)參數(shù)已知，它m分別為 A = 10 H匸位=戈04仏二&匚在訐間范6內(nèi)用麗 Hi的采樣頻率對(duì)化，其被形如S 6. 2. 3,1 U)所示* Lapbg小詼特征波影岸曾的參敷空 間F = FXEX 丁用M.tbb語(yǔ)言描述'而分別議指定為t

6、F=3 » 0T 5 * 20)tZ = (0,005 i 0, 005 J C. 3)0. 3 1 0. 1 < 0. 9 ,T 5 * 0. 1 工 SB 其中阻尼比參數(shù) 集存E劃分不均勻，其目的足保證在低阻尼時(shí)具有較高的分辨事.待征波形庫(kù)7 妁每亍小波原子支撐寬度 = 4，它的采樣頻率也是200 Hi6通過(guò)相關(guān)濾波法寫(xiě)出MATLAB程序%-模擬信號(hào)檢驗(yàn)，用Laplace小波檢驗(yàn)自由度響應(yīng)的脈沖響應(yīng)信號(hào)%Laplace小波濾波例子%clear; clc;%阻尼比%固有時(shí)間參數(shù) %固定頻率 %采樣率%時(shí)間范圍%采樣點(diǎn)數(shù)%構(gòu)造信號(hào)%構(gòu)造小波原子函數(shù)%隨機(jī)噪聲An=;%噪聲幅度z

7、0=; t0=; f0=10; Fs=200;t=-5:1/Fs:5; L=le ngth(t); s=zeros(1,L); lap=zeros(1,L); no ise =zeros(1,L);%-扌勾造脈沖響應(yīng)信號(hào)，噪聲n oise=A n*ra ndom('Normal',0,1,1, L);%-自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號(hào)for i=1:Lif t(i)>=t0s(i)=exp(-z0/(sqrt(1-z0A2)*2*pi*f0.*(t(i)-t0)*(si n(2*pi*f0.*(t(i)-t0)+noise(i); elses(i)=n oise(i);ende

8、nd%-扌勾造Laplace小波特征波庫(kù)F=5:20;%頻率組Z=:,:; %阻尼比組T=-5:5;%時(shí)間參數(shù)組for m=1:length(F)for n=1:length(Z)for p=1:length(T)for i=1:L if t(i)>=T(p)Iap(i)=exp(-Z( n)/(sqrt(1-Z( nF2)*2*pi*F(m)*(t(i)-T(p). *(sin(2*pi*F(m)*(t(i)-T(p);eIseIap(i)=1e-5;endend norm_Iap(m,n,p)=norm(Iap,2); norm_s(n,m,p)=norm(s,2); kr(m,n,

9、p)=sqrt(2)*sum(Iap.*s)/(norm(s,2)*norm(Iap,2);%pIot3(F(m),Z(n),kr(m,n,p);hoId on;endendend%norm 求歐幾里得范數(shù)%求信號(hào) s 的二范數(shù)，小波原子的二范數(shù)% 求 kr 最大值并找出最大值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)size_kr=size(kr); max_kr=max(kr(:); i_max=find(kr=max_kr);c,k,g=ind2sub(size_kr,i_max);gy_f=F(c);gy_z=Z(k);gy_t=T(g);gy_s=zeros(1,L);%固有參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果% 根據(jù)得到的固有參數(shù)得到

10、的結(jié)果 for i=1:Lif t(i)>=gy_tgy_s(i)=exp(-gy_z/(sqrt(1-gy_zA2)*2*pi*fO*(t(i)-gy_t)*(s in (2*pi*gy_f*(t(i)-gy_t);eIsegy_s(i)=O;endendfigure(1) subpIot(1,2,1) pIot(t,s,'-r');grid on;subplot(1,2,2)plot(t,gy_s,'-k');grid on;% 每個(gè)T時(shí)刻對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)峰值kr(T)for p=1:le ngth(T)-1krT(p)=max(max(kr(:，:,p

11、);row,clum=fi nd(kr(:，:,p)=krT(p);fap(p)=F(row);z_lap(p)=Z(clum);endfigure(2)subplot(3,1,1)plot(T(1,1:100),krT);%每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)kr的峰值，對(duì)應(yīng)的圖像title('每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)kr峰值');grid on;xlabel('T,時(shí)間');ylabel('kr 峰值');subplot(3,1,2)plot(T(1,1:100),f_l ap);title('每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)頻率值');grid on;xlabel('T,時(shí)間');yla