MBA聯(lián)考排列組合

1、【經(jīng)典資料，文檔，可編輯修改】【經(jīng)典考試資料，答案附后，看后必過(guò)，文檔，可修改】1 排列及計(jì)算公式從 n 個(gè)不同元素中，任取m(mn) 個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從一個(gè)排列；從n 個(gè)不同元素中取出m(mn) 個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從的排列數(shù)，用符號(hào)A(n,m) 表示 .n 個(gè)不同元素中取出n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素的m 個(gè)元素A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).2 組合及計(jì)算公式從 n 個(gè)不同元素中，任取 m(mn) 個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出 m(mn) 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n 個(gè)不同元素中取出n

2、個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素的一個(gè)組合；從nm 個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)c(n,m)表示 .c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3 其他排列與組合公式從 n 個(gè)元素中取出r 個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 個(gè)元素被分成k 類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,.nk這 n 個(gè)元素的全排列數(shù)為n!/(n1!*n2!*.*nk!).k 類元素 , 每類的個(gè)數(shù)無(wú)限,從中取出m 個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用(1) 加法原理和分類計(jì)數(shù)法1 加法原理2 加法原理的集合形式3 分類的要求每一類中的

3、每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏 )(即分類不重)；完成(2) 乘法原理和分步計(jì)數(shù)法1 乘法原理2 合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同例題分析 排列組合思維方法選講1 首先明確任務(wù)的意義例 1. 從 1、2 、3、 、20 這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有_個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問(wèn)題。設(shè) a,b,c成等差

4、，2b=a+c, 可知 b 由 a,c決定，又 2b是偶數(shù)，a,c 同奇或同偶，即：從1，3，5，19 或 2， 4， 6， 8， 20 這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。例 2. 某城市有 4 條東西街道和 6 條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從 M 到 N 有多少種不同的走法 ?分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從M 到 N 必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步

5、驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為： =56 。2 注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例 3 在一塊并排的 10 壟田地中，選擇二壟分別種植A， B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求 A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有 _ 種。分析：條件中 “要求 A、B 兩種作物的間隔不少于6 壟 ”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類： A 在第一壟， B 有 3種選擇；第二類： A 在第二壟， B 有 2種選擇；第三類： A 在第三壟， B 有一種選擇，同理 A、 B 位置互換 ，共

6、 12種。例 4 從 6 雙不同顏色的手套中任取4 只，其中恰好有一雙同色的取法有_ 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6 雙中選出一雙同色的手套，有種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；（四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240 種。例 5身高互不相同的6 個(gè)人排成2 橫行 3 縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_(kāi) 。分析：每一縱列中的兩人只要選定， 則他們只有一種站位方法， 因而每一縱列的排

7、隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有 =90 種。例 6 在 11 名工人中，有5 人只能當(dāng)鉗工，4 人只能當(dāng)車工，另外2 人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11 人中選出 4 人當(dāng)鉗工， 4 人當(dāng)車工，問(wèn)共有多少種不同的選法?分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有種；第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。因而共有185 種。例 7 現(xiàn)有印著 0 ， l， 3 ，5 ， 7 ， 9 的六張卡片，如果允許 9 可以作 6

8、用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù) ?分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0 ，l，3 ， 5 ，7，9 的排法數(shù)乘以2 即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9 的話才可能用 6 替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含 9 ，有種方法；抽出的三數(shù)含0 不含 9，有種方法；抽出的三數(shù)含9 不含 0，有種方法；抽出的三數(shù)不含9 也不含 0 ，有種方法。又因?yàn)閿?shù)字9 可以當(dāng) 6 用，因此共有2×(+)+=144種方法。例 8 停車場(chǎng)劃一排12 個(gè)停車位置， 今有 8 輛車需要停放， 要求空車位連在一起，不同的停車方法是_種。分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8 輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停

9、車方法。3 特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例 9 六人站成一排，求(1) 甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2) 甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：（ 1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共 +種站法。（ 2 ）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共 +2+=312 種。例 10 對(duì)某件產(chǎn)品的6 件不同正品和4 件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次

10、品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?分析： 本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有種可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。 共有種可能。4 捆綁與插空例 11. 8 人排成一隊(duì)(1) 甲乙必須相鄰(2) 甲乙不相鄰(3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4) 甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5) 甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：（ 1）有種方法。（ 2 ）有種方法。（ 3 ）有種方法。（ 4 ）有種方法。（ 5 ）本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法

11、：全排列 -甲乙相鄰 - 丙丁相鄰 +甲乙相鄰且丙丁相鄰，共 -+=23040 種方法。例 12.某人射擊 8 槍，命中4 槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?分析：連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5 個(gè)空中選出 2 個(gè)的排列，即。例 13. 馬路上有編號(hào)為l， 2 ， 3，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而

12、問(wèn)題為在7 盞亮著的燈形成的不包含兩端的6 個(gè)空中選出 3 個(gè)空放置熄滅的燈。 共=20 種方法。4 間接計(jì)數(shù)法 .(1)排除法例 14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問(wèn)題的方法數(shù) =任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)， 共種。例 15 正方體8 個(gè)頂點(diǎn)中取出 4 個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù) -共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共-12=70-12=58 個(gè)。例 16. l ，2， 3， ， 9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)?分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當(dāng)

13、 1 選上時(shí)， 1必為真數(shù)， 有一種情況。（2）當(dāng)不選 1時(shí)，從 2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)， 真數(shù)，共，其中 log24=log39，log42=log93, log23=log49,log32=log94.因而一共有 53個(gè)。(3) 補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面， (不一定相鄰 )，共有多少種不同的方法 ? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢 ?分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360 種。（二）先考慮六人全排列； 其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， 共=12

14、0 種。例 18 5 男 4 女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有 =9×8×7×6=3024 種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024 種，綜上，有6048 種。例 19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。5 擋板的使用例 20 10 個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，

15、問(wèn)有多少種不同的分配方法?分析：把10 個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36 種。6 注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段 (排序 )可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。例 21.從 0 ， l， 2 ， 9 中取出 2 個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3 個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0 的選取。（一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0 ，則有種。（二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0 ，則有種。例 22.電梯有 7 位乘客，在10 層樓房的每一層停留，如果三位乘

16、客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?分析：（一）先把7 位乘客分成3 人， 2 人，一人，一人四組，有種。（二）選擇10 層中的四層下樓有種。 共有種。例 23.用數(shù)字 0， 1 ， 2 ，3， 4，5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，(1) 可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?(2) 可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)?(3) 可組成多少個(gè)能被 3 整除的四位數(shù) ?(4) 將 (1) 中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問(wèn)第85 項(xiàng)是什么 ?分析：（ 1）有個(gè)。（ 2 ）分為兩類： 0 在末位，則有種： 0 不在末位，則有種。 共+種。（ 3 ）先把四個(gè)相加能

17、被 3 整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選0，1， 2，30，1， 3，50，2， 3，40，3， 4，51，2， 4，5它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3 整除，再排列，有：4×()+=96 種。（ 4 ）首位為 1 的有 =60 個(gè)。前兩位為 20 的有 =12 個(gè)。前兩位為 21 的有 =12 個(gè)。因而第 85 項(xiàng)是前兩位為23 的最小數(shù)，即為2301 。7 分組問(wèn)題例 24. 6 本不同的書(shū)(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?分析：（ 1）有中。（ 2 ）即在（ 1）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。（ 3 ）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。（ 4 ）有種。同（ 3），原因是甲，乙，丙持有量確定。（ 5 ）有種。例 25. 6 人分乘兩輛不