共形映射的基本問題

1、6.2 共形映射的基本問題共形映射的基本問題 一、問題一一、問題一 二、問題二二、問題二( (基本問題基本問題) ) 一、問題一一、問題一 的函數(shù)的函數(shù) 求象集合求象集合 對于給定的區(qū)域?qū)τ诮o定的區(qū)域 D 和定義在區(qū)域和定義在區(qū)域 D 上上 , )(zfw . )(DfG 1. 保域性定理保域性定理 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)，內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)， )(zfw 則其象集合則其象集合 仍然為區(qū)域。仍然為區(qū)域。 )(DfG 證明證明 ( (略略) ) 意義意義 保域性定理保域性定理將解析函數(shù)的將解析函數(shù)的象集合的求解問題象集合的求解問題變成了變成了 求象區(qū)域的

2、問題求象區(qū)域的問題。 P141定理定理 6.2 GCD一、問題一一、問題一 2. 邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理 定理定理 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 的邊界為簡單閉曲線的邊界為簡單閉曲線 C，函數(shù)，函數(shù) 在閉域在閉域 )(zfw 上上解析解析，且將曲線，且將曲線 C 雙方單值雙方單值地映射為簡單地映射為簡單 CDD 閉曲線閉曲線 .當(dāng)當(dāng) 沿沿 C 的正向繞行時，相應(yīng)的的正向繞行時，相應(yīng)的 的繞行的繞行 zw方向定為方向定為 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 為邊界的區(qū)域，則為邊界的區(qū)域，則 將將 D 共形映射為共形映射為 G。 )(zfw G1z2z3z1w2w3w1w2w3w證明證明 ( (略略)

3、 ) P141定理定理 6.3 意義意義 邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理進(jìn)一步將解析函數(shù)的進(jìn)一步將解析函數(shù)的象區(qū)域的求解問題象區(qū)域的求解問題 變成了變成了求象曲線求象曲線的問題的問題。一、問題一一、問題一 2. 邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理 定理定理 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 的邊界為簡單閉曲線的邊界為簡單閉曲線 C，函數(shù)，函數(shù) 在閉域在閉域 )(zfw 上上解析解析，且將曲線，且將曲線 C 雙方單值雙方單值地映射為簡單地映射為簡單 CDD 閉曲線閉曲線 .當(dāng)當(dāng) 沿沿 C 的正向繞行時，相應(yīng)的的正向繞行時，相應(yīng)的 的繞行的繞行 zw方向定為方向定為 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 為邊界的區(qū)域，則為邊

4、界的區(qū)域，則 將將 D 共形映射為共形映射為 G。 )(zfw 一、問題一一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法求象區(qū)域的一般方法 則有則有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉域在閉域 上上解析解析，且為，且為一一映射一一映射。 )(zfw CDD ,)(, )()(tytxuu ,)(, )()(tytxvv (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 . , )(tuu . )(tvv 即得象曲線即得象曲線 的方程的方程 ( (參數(shù)式參數(shù)式) ) , )(txx

5、, )(tyy 若若 C 的方程為的方程為 ( (參數(shù)式參數(shù)式) ) 由由(A) 式式 補(bǔ)補(bǔ) 由由(B) 式式 ,0),(, ),()( vuvuF 即得象曲線即得象曲線 的方程的方程 ( (方程式方程式) ) .0),( vuF 若若 C 的方程為的方程為 ,0),( yxF( (方程式方程式) ) 一、問題一一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法求象區(qū)域的一般方法 則有則有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉域在閉域 上上解析解析，且為，且為一一映射一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy (

6、 B ) (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 .(3) 求象區(qū)域求象區(qū)域 . 方法一方法一 沿邊界沿邊界 C 的正向找三點，考察象點的走向。的正向找三點，考察象點的走向。 方法二方法二 在區(qū)域在區(qū)域 D 的內(nèi)部找一點，考察象點的位置。的內(nèi)部找一點，考察象點的位置。 注意注意 對于具體的函數(shù)，將還會有一些特殊的方法。對于具體的函數(shù)，將還會有一些特殊的方法。 一、問題一一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法求象區(qū)域的一般方法 則有則有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉域在閉域 上上解析解析，且為，且為一一映射一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu

7、; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 .(1) 由由 有有 ,1izw 解解 ,1iwz 則有則有 iviuyix 1,2222iivuvvuu ,viuw ,yixz 令令 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy (1) 解解 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 .由由(1) 式式 即得象曲線即得象曲線 的方程為的方程為 曲線曲線 C 的方程為的方程為 ,0 yx,022 vuvu.222121222)()()(

8、 vu)(w1 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC,22vuux (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 )(w0z(3) 求象區(qū)域求象區(qū)域 . 代入函數(shù)代入函數(shù) ,1izw 在在 D 的內(nèi)部取一點的內(nèi)部取一點 方法一方法一 ,0iz ,210iw 得到象點得到象點 故象區(qū)域故象區(qū)域 G 在曲線在曲線 的的“內(nèi)部內(nèi)部”。 0wDxy 1 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC 1z2z3z,22vuux (2) 求邊界曲線求邊界曲線 C 的象曲線的象曲線 )(w(3) 求象區(qū)域求象區(qū)域 . 在在 D 的邊界上取三點：的邊界上取三點： 方法二方法二 故象區(qū)域故

9、象區(qū)域 G 在曲線在曲線 的的“內(nèi)部內(nèi)部”。 ,1 z,12iz ,03 z3w1w,01 w,12 w,3iw 后續(xù)討論后續(xù)討論 將會看到將會看到 僅此一步僅此一步 就足夠了就足夠了 Dxy 1 2w解解 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 的邊界為的邊界為 C ， ,e iz 其中其中 .20: (1) 在在 的映射下，的映射下， z iw 曲線曲線 C 對應(yīng)的對應(yīng)的 iiwe 其中其中 .222: )2(ei ,e i 象曲線象曲線 的方程為的方程為 即得象區(qū)域即得象區(qū)域 G 如圖所示。如圖所示。 G)(w1則則 C 的方程為的方程為 CD)(z1曲線曲線 C 對應(yīng)的對應(yīng)的 iwe/1 其中其中 .20:

10、 )(e i,e i 象曲線象曲線 的方程為的方程為 即得象區(qū)域即得象區(qū)域 G 如圖所示。如圖所示。 G(2) 在在 的映射下，的映射下， wz1)(w1解解 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 的邊界為的邊界為 C ， 則則 C 的方程為的方程為 ,e iz 其中其中 .20: CD)(z1二、問題二二、問題二( (基本問題基本問題) ) 對給定的區(qū)域?qū)o定的區(qū)域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 1. 黎曼存在唯一性定理黎曼存在唯一性定理 設(shè)設(shè) D 和和 G 是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界 定理定理 上至少含有兩個

11、點，上至少含有兩個點， 則則一定存在解析函數(shù)一定存在解析函數(shù) , )(zfw 將區(qū)將區(qū) 任意指定一點任意指定一點 和和 0z,0w并任給一個實數(shù)并任給一個實數(shù) , )(00 要求函數(shù)要求函數(shù) )(zfw 滿足滿足 且且 00)(wzf ,)(arg00 zf映射映射 的函數(shù)是唯一的。的函數(shù)是唯一的。 )(zfw 則則 域域 D 雙方單值雙方單值地映射為地映射為 G。 如果在區(qū)域如果在區(qū)域 D 和和 G 內(nèi)再分別內(nèi)再分別 證明證明 ( (略略) ) P143定理定理 6.4 對給定的單連域?qū)o定的單連域 D , 求共形映射，求共形映射， 使得使得 D 映射為單位圓域。映射為單位圓域。 )(w二、

12、問題二二、問題二( (基本問題基本問題) ) 對給定的區(qū)域?qū)o定的區(qū)域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 2. 基本問題的簡化基本問題的簡化 事實上，由此即可求得任意兩個單連域之間的共形映射。事實上，由此即可求得任意兩個單連域之間的共形映射。 )(z)( )(zf記為記為 )()(1zghw 附：附：關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明。關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明。 ( (實習(xí)實習(xí)) ) P140 ( (存在性與唯一性的補(bǔ)充說明存在性與唯一性的補(bǔ)充說明) )附：附：關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明 1. 關(guān)于存在性關(guān)于存在性 則不存

13、在解析函數(shù)則不存在解析函數(shù) , 若區(qū)域若區(qū)域 D 為下列情形之一：為下列情形之一： (1) 擴(kuò)充復(fù)平面擴(kuò)充復(fù)平面 ; (2) 復(fù)平面復(fù)平面 ; (3) 擴(kuò)充復(fù)平面上除去一個有限點擴(kuò)充復(fù)平面上除去一個有限點 ,0z使使 D 共形映射為單位圓域。共形映射為單位圓域。 , )(zfw 證明證明 若存在函數(shù)若存在函數(shù) 將將 D 共形映射為單位圓域共形映射為單位圓域 ,1| w則則 在整個復(fù)平面上解析在整個復(fù)平面上解析且且 1| )(| zf)(zfw ( (即即有界有界) ), 根據(jù)劉維爾根據(jù)劉維爾(liouville)定理定理( ( 見見3.4 ) )， )(zf必恒為常數(shù)。必恒為常數(shù)。 這顯然不是

14、所要求的映射。這顯然不是所要求的映射。 其中，情形其中，情形 (3) 可利用映射可利用映射 轉(zhuǎn)化為情形轉(zhuǎn)化為情形 (2)。 01zz P142 附：附：關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明 2. 關(guān)于唯一性關(guān)于唯一性 一般說來是不唯一的。一般說來是不唯一的。 對于任意給定的實常數(shù)對于任意給定的實常數(shù) ,0 比如比如 函數(shù)函數(shù) 將單位圓域?qū)挝粓A域 仍然映射為單位圓域。仍然映射為單位圓域。 0e izw ( (港餅港餅) ) P143 還可以這樣還可以這樣 ?附：附：關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明關(guān)于存在性與唯一性的補(bǔ)充說明 設(shè)設(shè) D 和和 G 是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界 則一定存在解析函數(shù)則一定存在解析函數(shù) 定理定理 上至少含有兩個點，上至少含有兩個點， , )(zfw 將區(qū)將區(qū) 映射映射 的函數(shù)是唯一的。的