考研數(shù)學(xué)一真題解析2010(共26頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限=(A)1(B)(C)(D) 【考點分析】：考察1型不定性極限?！厩蠼膺^程】：n 方法一：利用求冪指型極限的一般方法：I=limxx2x-ax+bx =limxexlnx2x-a(x+b)歸結(jié)為求因此，I=ea-b，選C【基礎(chǔ)回顧】：對于一般的冪指型極限有：n 方法二：利用第二個重要極限求解【基礎(chǔ)回顧】：一般地，對于1型極限，均可利用第二個重要極限求解：設(shè)，則 (2)設(shè)函數(shù)由方程

2、確定,其中為可微函數(shù),且則=(A)(B)(C)(D) 【考點分析】：隱函數(shù)求導(dǎo)【求解過程】：n 方法一：全微分法方程兩邊求全微分得：，即整理得所以，。代入即可求得。選B.n 方法二：隱函數(shù)求導(dǎo)公式法記，對于隱函數(shù),利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得：，代入即可求得。選B。n 方法三：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法由方程可確定。方程兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)，注意。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：對x求偏導(dǎo): 對y求偏導(dǎo)：解得： 代入即可求得。選B?！痉椒偨Y(jié)】：上述三種方法是求解此類問題的三種典型方法。要熟悉隱函數(shù)求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)容易出錯，注意多加練習(xí)。(3)設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān)(B)

3、僅與取值有關(guān)(C)與取值都有關(guān)(D)與取值都無關(guān)【考點分析】：反常積分的判斂法則，超綱題【基礎(chǔ)回顧】：利用反常積分的判斂法則對瑕點為的瑕積分，設(shè)在上連續(xù)，且，有如下判斂準(zhǔn)則： 若則收斂； 若則發(fā)散?！厩蠼膺^程】：因為，所以x=1為瑕點。而，所以x=0是否為瑕點取決于是否為負數(shù)。僅當(dāng)與都收斂，I收斂，否則I發(fā)散。的斂散性時，與 斂散性相同，因為m,n均為正整數(shù)，所以<1,所以收斂，也收斂。時，與 斂散性相同。因為m,n是正整數(shù)，所以>-1,若<0,則x=0為瑕點，一定存在常數(shù)p滿足，使得，于是收斂。當(dāng)時，x=0不是瑕點，不是反常積分，它存在是一個常數(shù)。的斂散性因為而，所以收斂。

4、所以，選D【自我總結(jié)】：若反常積分的結(jié)果能夠通過計算獲得，那么其斂散性可直接由計算獲知。若反常積分無法計算，那么其斂散性應(yīng)由判別法獲得。本題屬于由判別法獲知反常積分的斂散性。(4)= (A)(B) (C)(D)【考點分析】：考察利用積分定義求極限【思路來源】：把和式化成二重積分定義的形式求解，把和式化成定積分定義的形式求解【求解過程】：n 方法一：化成兩個定積分定義式的乘積，選Dn 方法二：化成二重積分定義式的形式記D是正方形區(qū)域：，將D的長與寬均n等分，分成n2個小正方形，每個小正方形面積是，于是是f(x,y)在D上的一個積分和。，選D(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩(B)秩秩 (C

5、)秩秩(D)秩秩【考點分析】：矩陣秩的相關(guān)公式【求解過程】：n 方法一：利用矩陣秩的相關(guān)公式與性質(zhì)直接求解r(AB)=r(E)=m, 由于，所以又A為m×n型矩陣，B為n×m型矩陣，因此。所以。選A方法二：利用矩陣秩的相關(guān)公式并利用排除法若m=n則四個選項完全一樣若m>n則，與矛盾故必是m<n, 因此r(A),r(B)均不可能是n,所以選A【基礎(chǔ)回顧】：牢記,n 方法三：利用矩陣方程解的情況與矩陣秩的關(guān)系設(shè)方程組BX=0，兩邊左乘A，得A(BX)=(AB)X=EX=XA(BX)=AO=0=> X=0,即BX=0有唯一零解，故同理設(shè)方程組，兩邊左乘，得 ，即

6、有唯一零解，故，選A(6)設(shè)為4階實對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A)(B) (C)(D) 【考點分析】：矩陣特征值的求解，對稱矩陣必相似于對角陣，相似矩陣的秩相等【求解過程】：n 方法一：矩陣多項式方程與矩陣特征值的關(guān)系 由得矩陣的特征值滿足方程，所以 由于為實對稱矩陣，故可相似對角化，即，對角陣對角線上的元素為的特征值 由于的秩為，所以的秩也為，所以對角線上的元素一個為，其他為。綜上，選D【基礎(chǔ)回顧】：若給定矩陣的多項式方程，則的特征值滿足，由此求得的值為矩陣的全部特征值n 方法二：用分塊矩陣設(shè)按列分塊為，由知的列向量組的極大無關(guān)組含個向量，不妨設(shè)為的列向量組的極大無關(guān)組，由于，即即得

7、由此可知是的特征值，且是對應(yīng)的個線性無關(guān)的特征向量，故是的至少3重特征值。而r(A)=3<4,所以0也是A的一個特征值，于是A的全部特征值為-1，-1，-1,0；且每個特征值的重數(shù)等于其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)。因此A相似于對角陣D=diag(-1,-1,-1,0),選D(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù) ，則=(A)0(B)1 (C)(D)【考點分析】：由分布函數(shù)求概率【基礎(chǔ)回顧】：利用分布函數(shù)的性質(zhì)：【求解過程】：,由分布函數(shù)F(x)得，所以，選C(8)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度, 為概率密度,則應(yīng)滿足(A)(B) (C)(D)【考點分析】：概率密度的性質(zhì)和正態(tài)分

8、布和均勻分布的性質(zhì)【求解過程】：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)得由均勻分布的性質(zhì)得，所以。所以，即2a+3b=4,選A二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求= .【考點分析】：參數(shù)方程求導(dǎo)、變上限積分求導(dǎo)【求解過程】：方法一：利用參數(shù)方程求導(dǎo)公式求解把t=0代入上式即可得，填0；方法二：消去參數(shù)再求導(dǎo)數(shù)。由得，且t=0時，x=1，則把x=1代入上式得，填0【自我總結(jié)】：方法一較常用，方法二僅作為參考。(10) = .【考點分析】：定積分的變量替換和分部積分【求解過程】：令，則填。(11)已知曲線的方程為起點是終點是則曲線積分= .【考點分析】：第二類曲

9、線積分、格林公式【求解過程】：n 方法一：用參數(shù)法求解第二類曲線積分，填0。n 方法二：加減弧線，利用格林公式求解。添加直線段如上圖：，記。則為閉曲線且所圍區(qū)域記為D,此時，由于積分域D關(guān)于y軸對稱，且被積函數(shù)是x的奇函數(shù)，所以。填0n 方法三：湊全微分法被積表達式分為兩部分，一部分易求出原函數(shù)，另一部分直接化為定積分，填0(12)設(shè)則的形心的豎坐標(biāo)= .【考點分析】：三重積分的物理應(yīng)用，形心坐標(biāo)公式【求解過程】：如圖所示：形心公式：三重積分的計算：n 方法一：截面法用先二后一的公式分別求解這兩個三重積分。與Z軸垂直的截面區(qū)域的面積為。又所以，填n 方法二：柱坐標(biāo)用柱面坐標(biāo)計算三重積分所以，填

10、(13)設(shè)若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則= .【考點分析】：向量空間維數(shù)的概念【求解過程】：n 方法一：矩陣初等變換因為，由形成的向量空間的維數(shù)是2，所以，。對矩陣進行初等行變換得：所以，a=6.填6n 方法二：向量空間與基底形成的向量空間的維數(shù)是2，其中不成比例，線性無關(guān)，是該向量空間的一組基，所以可由線性表出，即方程組有解。由有解，填6(14)設(shè)隨機變量概率分布為則= .【考點分析】：概率分布基本性質(zhì)，泊松分布及其性質(zhì)【求解過程】：n 方法一：識記泊松分布的期望和方差根據(jù)概率分布的基本性質(zhì)，可知，所以，。即隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布。則，所以，填2。n 方法二：推導(dǎo)泊松分布的期望和

11、方差同方法一求出，若不記得泊松分布的期望與方差的性質(zhì)，可直接計算，填2【方法小結(jié)】：方法一：X 服從參數(shù)為的泊松分布，則其方法二：推導(dǎo)過程用到了的冪級數(shù)的展開式，但對于填空題來講，方法一較為快速準(zhǔn)確。三、解答題(1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.【考點】：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解【題解】：對應(yīng)齊次方程的特征方程為：，特征根為：。故，對應(yīng)齊次方程的通解為。非齊次項是單特征根，故設(shè)原方程的特解：。則，代入原方程得：即 。故，原方程的通解為：?！净A(chǔ)】：設(shè)二階線性非齊次方程：若，則特

12、解，其中是與同次的多項式 0, 不是特征方程的根K= 1, 是特征方程的單根 2, 是特征方程的二重根若，則設(shè)特解為，其中，是m次多項式， 0,不是特征方程的根K=1,是特征方程的根 (16)(本題滿分10分) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【考點】：函數(shù)的單調(diào)性和極值，變上限積分的求導(dǎo)【題解】：n 方法一：利用極值的第一充分條件判斷極值。的定義域為，令得，的駐點為。為討論的單調(diào)區(qū)間及駐點，列表如下：x-101-0+0-0+極小極大極小因此，的單調(diào)增加區(qū)間為及；單調(diào)減少區(qū)間為及，極小值為，極大值為。n 方法二：利用極值的第二充分條件判斷極值。同方法一求出的導(dǎo)函數(shù)和駐點和單調(diào)區(qū)間。利用極值的第二個充分

13、條件，判斷函數(shù)的極大值和極小值。，所以，是極大值，是極小值。(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限【考點】：定積分的不等式性質(zhì)，分部積分，夾逼準(zhǔn)則求極限【思路】：根據(jù)定積分的不等式性質(zhì)求解(1)，再用(1)的結(jié)論結(jié)合夾逼準(zhǔn)則求解(2)【題解】：(1) 當(dāng)時，因為，所以，且不等號兩側(cè)不恒相等。因此(2) 由(1)知而：所以，而，故由夾逼定理知(18)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).【考點】：冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)【思路】：利用冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)和常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和函數(shù)，利用比值法或公式法求收斂區(qū)間，再用萊布尼茨法則判斷端點處的斂散性?！绢}解】

14、：利用比值法求收斂區(qū)間：記，所以，當(dāng)，即時，絕對收斂，當(dāng)時，發(fā)散，因此冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為利用公式法求收斂區(qū)間：原級數(shù)只有偶數(shù)項不能直接用公式法求收斂區(qū)間令，則，故的收斂半徑：，收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為即當(dāng)時，是交錯級數(shù)，由萊布尼茨法則知級數(shù)收斂，故冪級數(shù)的收斂域為。求和函數(shù)記為級數(shù)的和函數(shù)，則其中由冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)得：所以。故，即就是左端冪級數(shù)的收斂域。由于與有相同的收斂域，又逐項求導(dǎo)保持收斂半徑不變，所以的收斂區(qū)間為，當(dāng)時，*式左端級數(shù)收斂，右端函數(shù)連續(xù)，故*式在處也成立。(19)(本題滿分10分)設(shè)為橢球面上的動點,若在點的切平面與面垂直,求點的軌跡并計算曲面積分其中是橢球

15、面位于曲線上方的部分.【考點】：第一類曲面積分，曲面的切平面【思路】：先解出軌跡C的方程，把題目中的曲面積分化為二重積分求解【題解】：記，則橢球面S上P(x,y,z)處的法向量是，若S在P點處的切平面垂直于xOy平面，則P點處S的法向量垂直于，因而。因為P點在橢球面上，故所求P點應(yīng)滿足，即（它是橢圓柱面與平面的交線）故所求軌跡C的方程為。曲面積分的積分曲面在xOy平面上的投影即為的底面（曲線C圍成的平面）在xOy面上的投影。投影區(qū)域為，即。注意：設(shè)曲面F(x,y,z)=0。直接將F(x,y,z)=0與z=0聯(lián)立求其在xoy面上的投影有兩個條件：1.F(x,y,z)=0可表示成z=G(x,y)的

16、形式；2.曲面與xoy平面相交，而且相交得到的曲線為曲面的邊界曲線。本題中不滿足第二個條件，故若直接將曲面方程與z=0聯(lián)立得到的曲線方程所圍的區(qū)域并不是曲面在xoy面的投影區(qū)域。記的方程為，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則得：從而 故，其中（因為D關(guān)于y軸對稱，且被積函數(shù)是關(guān)于x 的奇函數(shù)） (20)(本題滿分11分)設(shè)已知線性方程組存在兩個不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.【考點】：線性方程組解的性質(zhì)、有解條件及求通解【思路】：由有兩個不同的解，得到，再求和方程組的通解。【題解】：n 方法一：利用線性方程組的解與方程組秩的關(guān)系。(1)有兩個不同的解。當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時，即時，存在兩個不同的解。故；

17、當(dāng)時，；當(dāng)，即時，方程組無解。綜上有：(2)當(dāng)時，所以方程組的通解為，其中是任意常數(shù)。n 方法二：用行列式。(1) 有兩個不同的解，有故或。當(dāng)時有，方程組無解。當(dāng)時，若，則，方程組有無窮多解；否則方程組無解。故(2)同方法一。(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.【考點】：正交矩陣、特征值、特征向量、正定矩陣等【思路】：(1)中運用矩陣A與標(biāo)準(zhǔn)型及變換矩陣Q直接的關(guān)系求解；利用正定矩陣的充要條件證明(2)【題解】：n 方法一：利用可逆矩陣二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，說明二次型矩陣A的特征值是1,1,0。又因的第三

18、列是，說明是矩陣A關(guān)于特征值的特征向量。因為A是實對稱矩陣，特征值不同的特征向量正交。設(shè)A關(guān)于的特征向量為，則，即。取，那么是的特征向量。由有n 方法二：利用正定矩陣二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，說明二次型矩陣A的特征值是1,1,0。又因的第三列是，說明是矩陣A關(guān)于特征值的特征向量。因為A是實對稱矩陣，特征值不同的特征向量正交。設(shè)A關(guān)于的特征向量為，則，即?？扇?，那么是的特征向量。又相互正交，只需單位化得：取，則故矩陣（2）n 方法一：正定矩陣與特征值的關(guān)系因為矩陣A的特征值為1,1,0，所以矩陣A+E的特征值為2,2,1。因其所有特征值均大于零，故A+E是正定矩陣n 方法二：利用正定的定義，則故，則（，故）。故A+E是正定矩陣。n 方法三：利用順序主子式由于，故A+E的順序主子式：，故A+E是正定矩陣。 (22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度【考點】：二維正態(tài)分布、邊緣概率密度和條件概率密度?！舅悸贰浚焊鶕?jù)概率密度的積分為1，可求得常數(shù)A，積分中用到