2022年2022年步步高大一輪復(fù)習(xí)講義高三數(shù)學(xué)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載§5.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 向量的有關(guān)概念名稱定義備注既有 又有 的量；向精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載向量零向量量的大小叫做向量的 或稱 長(zhǎng)度為 的向量；其方向?yàn)槿我獾钠矫鎸?duì)量為自由向量記作 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載單位向量長(zhǎng)度等于 的向量非零向量a平行向量方向 或 的非零向量的單位向量為a±|a|精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載共線向量 的非零向量又叫做共線向量0 與任一向量 或共線精品

2、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載相等向量長(zhǎng)度 且方向 的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?不能比較大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載相反向量長(zhǎng)度 且方向 的向量0 的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法就 或幾何意義 運(yùn)算律1交換律：ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求兩個(gè)向量和的運(yùn)加法算 .2結(jié)合律： a b c .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求 a 與 b 的相反向量減法 b 的和的運(yùn)算叫做 a 與 b 的差a b a b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

3、習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求實(shí)數(shù) 與向量 a 法就1|a| ；2當(dāng) >0 時(shí), a 的方向與 a 的方向 a ； a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)乘的積的運(yùn)算 ；當(dāng) <0 時(shí),a ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的方向與a 的方向 ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.共線向量定理 ；當(dāng) 0 時(shí),a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 為一個(gè)非零向量,如存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得 b a,就向量b 與非零向量a 共線 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1 向量的兩要素向量具有大小和方向兩個(gè)要素用

4、有向線段表示向量時(shí),與有向線段起點(diǎn)的位置沒有關(guān)系同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量或者說長(zhǎng)度相等.方向相同的向量為相等的向量只有相等或不等,而沒有誰大誰小之說,即向量不能比較大小2 向量平行與直線平行的區(qū)分向量平行包括向量共線和重合的情形,而直線平行不包括共線的情形因而要利用向量平行證明向量所在直線平行,必需說明這兩條直線不重合1 課本改編題 化簡(jiǎn) op qp ms mq 的結(jié)果為 2在平行四邊形abcd 中,e 為 dc 邊的中點(diǎn), 且 ab a, ad b,就 be .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3以下命題：平行向量肯定相等；不相等的向量肯定不平行；平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)

5、向量為共線向量；相等向量肯定共線其中不正確命題的序號(hào)為 4已知 d 為三角形abc 邊 bc 的中點(diǎn),點(diǎn)p 滿意 pa bp cp 0, ap pd ,就實(shí)數(shù)的值為 5已知 o 為 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn),d 為 bc 邊中點(diǎn), 且 2 oa ob oc 0,那么 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. ao odb. ao 2od精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c. ao 3 odd 2ao od精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型一平面對(duì)量的概念辨析例精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 給出

6、以下命題：如 |a| |b|,就 a b；如a,b, c, d 為不共線的四點(diǎn),就ab dc 為四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；如 a b,b c,就 a c； ab 的充要條件為 |a| |b|且 a b.其中正確命題的序號(hào)為 探究提高1 正確懂得向量的相關(guān)概念及其含義為解題的關(guān)鍵(2) 相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性(3) 共線向量即為平行向量,它們均與起點(diǎn)無關(guān)(4) 向量可以平移,平移后的向量與原向量為相等向量解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖像移動(dòng)混為一談(5) 非零向量a 與 a 的關(guān)系為：a 為 a 方向上的單位向量|a|a|判定以下命題為否正確,不正確的請(qǐng)說明理由(1

7、) 如向量 a 與 b 同向,且 |a|>|b|,就 a>b；(2) 如|a | |b|,就 a 與 b 的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3) 如|a | |b|,且 a 與 b 方向相同,就a b；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(4) 由于零向量的方向不確定,故零向量不與任意向量平行；(5) 如向量 a 與向量 b 平行,就向量a 與 b 的方向相同或相反；(6) 如向量 ab 與向量 cd 為共線向量,就a, b, c,d 四點(diǎn)在一條直線上；(7) 起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的幾個(gè)向量為相等向量；(8) 任一向量與它的相反向量不相等題型二向量的線性運(yùn)算例2 如圖

8、,在 abc 中, d .e 分別為bc.ac 邊上的中點(diǎn),g 為 be 上一點(diǎn),且gb 2ge,設(shè) ab a, ac b,試用 a,b 表示 ad , ag.探究提高1 解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問題間的相互關(guān)系,能嫻熟地找出圖形中的相等向量,并能嫻熟運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化2 用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀看各向量的位置；查找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法就找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab 的如圖,在 abc 中, e. f 分別為 ac.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中

9、點(diǎn), be 與 cf 相交于 g 點(diǎn),設(shè) ab a, ac b,試用 a,b 表示 ag .題型三平面對(duì)量的共線問題例精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 設(shè)兩個(gè)非零向量a 與 b 不共線,(1) 如 ab a b, bc 2a 8b, cd 3a b,求證： a.b. d 三點(diǎn)共線；(2) 試確定實(shí)數(shù)k,使 kab 和 a kb 共線探究提高1 證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線2 向量 a.b 共線為指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使 1a 2b 0 成立,如1a 2b 0,當(dāng)且僅當(dāng)1 2 0 時(shí)成

10、立,就向量a.b 不共線如下列圖,abc 中,在 ac 上取一點(diǎn)1n,使得 an 3ac,在 ab 上取一點(diǎn) m ,使得 am 1ab,在 bn 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)p,使得31np 2bn,在 cm 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)q,使得 mq cm 時(shí), ap qa,試確定的值11.用方程思想解決平面對(duì)量的線性運(yùn)算問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11試題： 13 分如下列圖,在abo 中, oc 4oa , od 2 ob,ad 與 bc 相交于點(diǎn)m ,設(shè) oa a, ob b.試用 a 和 b 表示向量 om .審題視角1 用已知向量來表示另外一些向量為用向量解題的基本要領(lǐng),要盡可能地轉(zhuǎn)化到

11、平行四邊形或三角形中去(2) 既然 om 能用 a.b 表示,那我們不妨設(shè)出om ma nb.(3) 利用共線定理建立方程,用方程的思想求解規(guī)范解答解設(shè)om ma nb,就am om oa manb a m 1a nb.11ad od oa 2 ob oa a 2b.3 分又 a.m . d 三點(diǎn)共線, am 與 ad 共線 存在實(shí)數(shù)t,使得 am tad ,1即m 1a nbt a 2b .5 分2 m 1a nb ta 1tb.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 1 tn t2,消去 t 得, m1 2n,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 m 2n 1. 7

12、分11又 cm om oc ma nb 4a m4 a nb,11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cb ob oc ba 44a b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 c.m . b 三點(diǎn)共線, cm 與 cb 共線10 分 存在實(shí)數(shù)t1,使得 cm t1 cb ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 m 111a nb t1 4ab ,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 4 4t1n t1,消去 t1 得, 4m n 1.12 分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1313精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 得

13、 m 7, n, om 77ab.13 分7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載批閱筆記1 此題考查了向量的線性運(yùn)算,學(xué)問要點(diǎn)清晰,但解題過程復(fù)雜,有肯定的難度 2 同學(xué)的易錯(cuò)點(diǎn)為,找不到問題的切入口,亦即想不到利用待定系數(shù)法求解3 數(shù)形結(jié)合思想為向量加法.減法運(yùn)算的核心,向量為一個(gè)幾何量,為有“形”的量,因此在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解決向量有關(guān)問題時(shí),多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判定求解,這為爭(zhēng)論平面對(duì)量最重要 的方法與技巧如此題同學(xué)易忽視a.m .d 共線和 b.m .c 共線這個(gè)幾何特點(diǎn)4 方程思想為解決此題的關(guān)鍵,要留意體會(huì)方法與技巧1將向量用其它向量特

14、殊為基向量線性表示,為非常重要的技能,也為向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ)2可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線問題如ab cd 且 ab 與 cd 不共線,就ab cd ；如 ab bc ,就 a. b.c 三點(diǎn)共線失誤與防范1解決向量的概念問題要留意兩點(diǎn)：一為不僅要考慮向量的大小,更重要的為要考慮向量的方向；二為考慮零向量為否也滿意條件要特殊留意零向量的特殊性2在利用向量減法時(shí),易弄錯(cuò)兩向量的次序,從而求得所求向量的相反向量,導(dǎo)致錯(cuò)誤精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.挑選題1給出以下命題：時(shí)間： 60 分鐘 a 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題

15、組精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,肯定為共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大?。籥 0 為實(shí)數(shù) ,就 必為零；, 為實(shí)數(shù),如a b,就 a 與 b 共線其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為a 1b 2c 3d 42設(shè) p 為 abc 所在平面內(nèi)的一點(diǎn),bc ba 2 bp ,就a. pa pb 0b. pc pa 0c. pb pc 0d. pa pb pc 03已知向量a, b 不共線, c ka b k r,d a b.假如 c d,那么 a k 1 且 c 與 d 同向b k 1 且 c 與 d 反向c k 1 且 c 與 d 同向d k 1 且 c

16、與 d 反向二.填空題4設(shè) a.b 為兩個(gè)不共線向量,ab 2a pb, bc a b, cd a 2b,如 a.b.d 三點(diǎn)共線,就實(shí)數(shù)p 的值為 5在平行四邊形abcd 中, e 和 f 分別為邊 cd 和 bc 的中點(diǎn),如 ac ae af ,其中, r ,就 .16.如圖,在 abc 中, an 3nc , p 為 bn 上的一點(diǎn),如ap m ab ac2 ,就實(shí)數(shù)m 的值為 11三.解答題117. 如圖,以向量oa a, ob b 為邊作 .oadb , bm 3 bc , cn 3cd ,用 a.b 表示 om . on .mn .18如 a, b 為兩個(gè)不共線的非零向量,a 與

17、b 起點(diǎn)相同,就當(dāng)t 為何值時(shí), a, tb, 3a b三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.挑選題b 組專項(xiàng)才能提升題組精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1已知 p 為 abc 所在平面內(nèi)的一點(diǎn), 如 cb pa pb ,其中 r,就點(diǎn) p 肯定在 a abc 的內(nèi)部b ac 邊所在直線上c ab 邊所在直線上d bc 邊所在直線上2已知 abc 和點(diǎn) m 滿意 ma mb mc 0,如存在實(shí)數(shù)m 使得 ab ac mam 成立,就 m 等于a 2b 3c 4d 53 o 為平面上肯定點(diǎn),a.b.c 為平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)p 滿意：

18、op oa 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab ac, 0 , ,就 p 的軌跡肯定通過abc 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ab | ac |a 外心b 內(nèi)心c重心d 垂心二.填空題4已知向量a, b 為兩個(gè)非零向量,就在以下四個(gè)條件中,能使a. b 共線的條件為 將正確的序號(hào)填在橫線上2a 3b4e,且 a2b 3e；存在相異實(shí)數(shù).,使 ·a ·b0；x·ay·b 0實(shí)數(shù) x, y 滿意 x y0；如四邊形abcd 為梯形,就 ab 與 cd 共線5. 如下列圖,在abc 中,點(diǎn) o 為 bc 的中點(diǎn)過點(diǎn)o 的直

19、線分別交直線 ab.ac 于不同的兩點(diǎn)m .n,如 ab mam , ac nan ,就mn 的值為 16在 abc 中,已知d 為 ab 邊上一點(diǎn),如ad 2db , cd 3 ca cb ,就 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7已知直線x y a 與圓 x2 y2 4 交于 a.b 兩點(diǎn),且|,其中 o 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載坐標(biāo)原點(diǎn),就實(shí)數(shù)a 的值為 三.解答題8已知點(diǎn)g 為 abo 的重心, m 為 ab 邊的中點(diǎn)|oaob|oaob精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1求 ga gb go ；2 如 pq過 abo的重心 g,且 a

20、, b, ma, nb,求證： 113.oaobopoq mn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案要點(diǎn)梳理1大小方向長(zhǎng)度模零01 個(gè)單位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2三角形平行四邊形1b a2 ab c三角形1|a |2 相同相反0a a aa b基礎(chǔ)自測(cè)2.b 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. os2a3.4. 25.a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型分類 ·深度剖析例 1變式訓(xùn)練1解1 不正確,由于向量只爭(zhēng)論相等和不等,而不能比較大小2 不正確,由于向量模相等與向量的方向無關(guān)3正確 4不正確,由于規(guī)定零向量與任意向

21、量平行 5不正確,由于兩者中如有零向量,零向量的方向?yàn)槿我獾?不正確,由于ab 與cd 共線,而ab 與 cd 可以不共線即ab cd .7 正確 8 不正確,由于零向量可以與它的相反向量相等1 11例 2解ad 2 ab ac 2a 2b；2ag ab bg ab 3 be1 ab 3 ba bc 21 3 ab 3 ac ab 1111精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 3 ab 3 ac a b.33精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式訓(xùn)練2解ag ab bg精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ab be ab ba bc 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

22、 - - - 歡迎下載 1 2 ab 2 ac ab 2 1 ab ac 1 a b.2又 ag ac cg ac mcfm ac 2 ca cb mm 1 mac 2 ab 2 a1 mb,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 m21 m2,解得 m2,3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載113 ag a b.3例 31證明ab a b, 2a 8b, 3ab,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bccd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 bd bc cd 2a 8b3 a b 2a8b 3a3b 5ab5 ab . ab . bd 共線,又 它們有公共點(diǎn)b, a.b.d 三點(diǎn)共線2 解 ka b 與 akb 共線, 存在實(shí)數(shù),使 ka ba kb, 即 ka b akb. k a k1b. a.b 為不共線的兩個(gè)非零向量, k k 1 0, k2 1 0. k ±1.變式訓(xùn)練312課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練a 組15.1 c2.b3.d4.4336.11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121 521精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載67.oma b, on 6a b, mn 332a 6b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載18 解設(shè) oa a, ob tb, oc