2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第8講　第2課時　高效演練分層突破

1、 基礎(chǔ)題組練 1直線 l 與拋物線 c：y22x 交于 a，b 兩點，o 為坐標(biāo)原點，若直線 oa，ob 的斜率分別為 k1，k2，且滿足 k1k223，則直線 l 過定點( ) a(3，0) b(0，3) c(3，0) d(0，3) 解析：選 a設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為 k1k223，所以y1x1y2x223.又 y212x1，y222x2，所以 y1y26.將直線 l：xmyb 代入拋物線 c：y22x 得 y22my2b0，所以 y1y22b6，得 b3，即直線 l 的方程為 xmy3，所以直線 l 過定點(3，0) 2以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題： 設(shè) a，b 為兩個

2、定點，k 為正數(shù)，若|pa|pb|k，則動點 p 的軌跡是雙曲線； 方程 2x25x20 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； 雙曲線x225y291 與橢圓x235y21 有相同的焦點； 已知拋物線 y22px，以過焦點的一條弦 ab 為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切 其中真命題為_(寫出所有真命題的序號) 解析：a，b 為兩個定點，k 為正數(shù)，|pa|pb|k，當(dāng) k|ab|時，動點 p 的軌跡是兩條射線，故錯誤； 方程 2x25x20 的兩根為12和 2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故正確； 雙曲線x225y291 的焦點坐標(biāo)為( 34，0)，橢圓x235y21 的焦點坐標(biāo)為( 34，

3、0)，故正確； 設(shè) ab 為過拋物線焦點 f 的弦，p 為 ab 中點，a，b，p 在準(zhǔn)線 l 上的射影分別為 m，n，q， 因為 apbpambn，所以 pq12ab， 所以以 ab 為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線 l 相切，故正確 故正確的命題有. 答案： 3(2020 福建五校第二次聯(lián)考)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，上頂點m 到直線 3xy40 的距離為 3. (1)求橢圓 c 的方程； (2)設(shè)直線 l 過點(4，2)，且與橢圓 c 相交于 a，b 兩點，l 不經(jīng)過點 m，證明：直線ma 的斜率與直線 mb 的斜率之和為定值 解：(1)由題意可得，eca32，|

4、b4|23，a2b2c2，解得a4，b2， 所以橢圓 c 的方程為x216y241. (2)證明：易知直線 l 的斜率恒小于 0，設(shè)直線 l 的方程為 y2k(x4)，k0 且 k1，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 聯(lián)立y2k(x4)，x216y241 得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0， 則 x1x216k(2k1)14k2，x1x264k(k1)14k2， 因為 kmakmby12x1y22x2 (kx14k4)x2(kx24k4)x1x1x2， 所以 kmakmb2k(4k4)x1x2x1x22k4(k1)16k(2k1)64k(k1) 2k(2k1)1(為定值)

5、 4(2019 高考全國卷)已知曲線 c：yx22，d 為直線 y12上的動點，過 d 作 c 的兩條切線，切點分別為 a，b. (1)證明：直線 ab 過定點； (2)若以 e0，52為圓心的圓與直線 ab 相切，且切點為線段 ab 的中點，求該圓的方程 解：(1)證明：設(shè) dt，12，a(x1，y1)，則 x212y1. 由于 yx，所以切線 da 的斜率為 x1，故y112x1tx1. 整理得 2tx12y110. 設(shè) b(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直線 ab 的方程為 2tx2y10. 所以直線 ab 過定點0，12. (2)由(1)得直線 ab 的方程為 ytx

6、12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21. 設(shè) m 為線段 ab 的中點，則 mt，t212. 由于emab，而em(t，t22)，ab與向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0. 解得 t0 或 t 1. 當(dāng) t0 時，|em|2，所求圓的方程為 x2y5224； 當(dāng) t 1 時，|em| 2，所求圓的方程為 x2y5222. 綜合題組練 1(2020 廣州市調(diào)研測試)已知動圓 c 過定點 f(1，0)，且與定直線 x1 相切 (1)求動圓圓心 c 的軌跡 e 的方程； (2)過點 m(2，0)的任一條直線 l 與軌跡 e 交于

7、不同的兩點 p，q，試探究在 x 軸上是否存在定點 n(異于點 m)，使得qnmpnm？若存在，求點 n 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：(1)法一：依題意知，動圓圓心 c 到定點 f(1，0)的距離，與到定直線 x1 的距離相等， 由拋物線的定義，可得動圓圓心 c 的軌跡 e 是以 f(1，0)為焦點，x1 為準(zhǔn)線的拋物線，其中 p2. 所以動圓圓心 c 的軌跡 e 的方程為 y24x. 法二：設(shè)動圓圓心 c(x，y)，依題意得(x1)2y2|x1|， 化簡得 y24x，即為動圓圓心 c 的軌跡 e 的方程 (2)假設(shè)存在點 n(x0，0)滿足題設(shè)條件 由qnmpnm 可知，直線 pn 與

8、 qn 的斜率互為相反數(shù)，即 kpnkqn0. 易知直線 pq 的斜率必存在且不為 0，設(shè)直線 pq：xmy2， 由y24x，xmy2得 y24my80. 由 (4m)2480，得 m 2或 m 2. 設(shè) p(x1，y1)，q(x2，y2)，則 y1y24m，y1y28. 由得 kpnkqny1x1x0y2x2x0 y1(x2x0)y2(x1x0)(x1x0)(x2x0)0， 所以 y1(x2x0)y2(x1x0)0 即，y1x2y2x1x0(y1y2)0. 消去 x1，x2，得14y1y2214y2y21x0(y1y2)0， 即14y1y2(y1y2)x0(y1y2)0. 因為 y1y20，

9、所以 x014y1y22， 所以存在點 n(2，0)，使得qnmpnm. 2 已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦點分別為 f1(1， 0)， f2(1， 0)， 點 a1，22在橢圓 c 上 (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)是否存在斜率為 2 的直線，使得當(dāng)直線與橢圓 c 有兩個不同交點 m，n 時，能在直線 y53上找到一點 p，在橢圓 c 上找到一點 q，滿足pmnq？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由 解：(1)設(shè)橢圓 c 的焦距為 2c，則 c1， 因為 a1，22在橢圓 c 上， 所以 2a|af1|af2|2 2， 所以 a 2，b2a2c21， 所以橢圓 c 的方程為x22y21. (2)不存在滿足條件的直線，證明如下： 設(shè)直線的方程為 y2xt， 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，px3，53，q(x4，y4)，mn 的中點為 d(x0，y0)， 由y2xt，x22y21消去 x， 得 9y22tyt2