淺析數(shù)值方法在求解物理方程中的應(yīng)用

1、    淺析數(shù)值方法在求解物理方程中的應(yīng)用    郝健翔摘 要：數(shù)值方法是從求解實(shí)際問(wèn)題中發(fā)展起來(lái)的。迭代是數(shù)值方法的核心，在滿足收斂準(zhǔn)則的條件下，數(shù)值方法通過(guò)迭代近似求解問(wèn)題。物理學(xué)中，對(duì)方程求解是非常普遍但又極其重要的任務(wù)。然而，許多物理方程很難解析求解或者沒(méi)有解析解，數(shù)值方法是求解這類(lèi)問(wèn)題的重要工具。關(guān)鍵詞：數(shù)值方法;二分法;歐拉法;超越方程;常微分方程：o175 ：a ：1671-2064（2019）02-0240-020 引言利用python語(yǔ)言去實(shí)現(xiàn)這兩類(lèi)重要的數(shù)值方法。選擇python語(yǔ)言的原因主要包括：第一，python軟件免費(fèi)，易安裝、

2、容易學(xué)習(xí);第二，python語(yǔ)言具有非常豐富的科學(xué)計(jì)算工具包，能夠滿足科學(xué)計(jì)算中的一般要求?；谶@兩點(diǎn)原因，本論文利用python語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)二分法和歐拉法，并給出了這兩類(lèi)方法在求解超越方程和常微分方程中的兩個(gè)物理實(shí)例：地月系統(tǒng)中l(wèi)1拉格朗日點(diǎn)的計(jì)算和落體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。1 二分法與歐拉法數(shù)值方法求解方程的根通常是一個(gè)迭代過(guò)程，在迭代之前我們首先需要一個(gè)初始解作為方程的近似解。隨著迭代次數(shù)的增多，近似解會(huì)越來(lái)越接近于真實(shí)解，當(dāng)達(dá)到一定的收斂要求時(shí)，停止計(jì)算過(guò)程，這是數(shù)值方法求解方程的一般思路。1.1 二分法利用二分法求解超越方程首先需要找一個(gè)有根區(qū)間，即方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)部至少有一個(gè)解，這就限定了

3、求解的范圍。如果能夠計(jì)算找出一個(gè)非常小的有根區(qū)間，區(qū)間的中點(diǎn)則是方程根的很好近似。求方程=0的零點(diǎn)，首先確定一個(gè)有根區(qū)間，使得在上是連續(xù)的，且。由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可以知道=0在區(qū)間上必然有解。求解=0的零點(diǎn)是通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法。設(shè)為r的閉區(qū)間，二分法就是造出如下的區(qū)間序列（）：，且對(duì)任一自然數(shù)n，要么等于，或者等于，其中cn表示的中點(diǎn)。對(duì)于給定的精確度，用二分法求函數(shù)=0的零點(diǎn)通常包括如下4個(gè)步驟：（1）確定一個(gè)有根區(qū)間，使得在上是連續(xù)的，且;（2）求區(qū)間的中點(diǎn)c;（3）若，則c就是函數(shù)的零點(diǎn);若，則令;否則;

4、（4）判斷是否達(dá)到給定的精確度：如果滿足，則得到的值a（或b）近似為方程的零點(diǎn)，否則重復(fù)步驟2-4。1.2 歐拉法微分方程是指含有參數(shù)，未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) （或微分）的方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)作常微分方程，一般的常微分方程具有（1）的形式，是微分方程的初始解，。（1）大多數(shù)常微分方程都無(wú)法求出解析解，只能得到解的數(shù)值近似。在物理學(xué)中，描述系統(tǒng)演化的過(guò)程通常需要由微分方程來(lái)描述，因此本部分給出歐拉法求解常微分方程的一般迭代表達(dá)式（2）：（2）其中，為區(qū)間的等分次數(shù)，的大小可以根據(jù)計(jì)算精度自己設(shè)定;，從（2）可知，知道該常微分方程的初始值和等分次數(shù)，即可求出微分方程在任意點(diǎn)的近似值

5、，因此以近似常微分方程的解。2 二分法與歐拉法在求解物理方程中的實(shí)例2.1 二分法在求解l1拉格朗日點(diǎn)拉格朗日點(diǎn)：地球和月球之間有一個(gè)神奇的點(diǎn)，稱(chēng)為l1拉格朗日點(diǎn)，l1拉格朗日點(diǎn)始終位于月球與地球的連線上。衛(wèi)星處于l1拉格朗日點(diǎn)時(shí)，衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心力由地球的向內(nèi)拉力和月球的向外拉力的合力提供。若假設(shè)衛(wèi)星的軌道是圓形軌道，并且假設(shè)地球比月球或衛(wèi)星大得多，此時(shí)衛(wèi)星的運(yùn)行方程可由方程（3）描述，其中分別是萬(wàn)有引力常數(shù)、地球質(zhì)量、月球質(zhì)量，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度，這些常數(shù)均可以查表獲取。（3）很明顯，方程（3）不能解析求解，但可以利用二分法來(lái)近似求解。令函數(shù)，即是求解方程

6、的零點(diǎn)。二分法求解方程（3）的python代碼如下：運(yùn)行整個(gè)程序，計(jì)算機(jī)求得的=297663863.44米，此時(shí)，可知二分法能夠很好的求解此方程的根。2.2 歐拉法求解物體的動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際問(wèn)題中的動(dòng)力學(xué)方程通常是微分方程，大多數(shù)微分方程通常不能解析求解，或者求解相對(duì)較麻煩。歐拉法是近似求解常微分方程的一類(lèi)重要方法。在高中物理教學(xué)中，落體運(yùn)動(dòng)常常忽略掉空氣阻力，然而實(shí)際的空氣阻力不可能避免。如果考慮物體下落的過(guò)程中所受的阻力與其下落速度成正比，比例系數(shù)為，那么初速度為零的落體運(yùn)動(dòng)的牛頓方程應(yīng)該滿足如下常微分方程（4）：（4）假設(shè)物體的質(zhì)量為2千克，g=9.8m/s，k=10，求解前5秒內(nèi)的速度變

7、化關(guān)系。根據(jù)歐拉法求解的迭代表示式（2），取，則常微分方程（4）的迭代表達(dá)式為式（5）。利用（5），可以迭代求得秒時(shí)對(duì)應(yīng)的速度。（5）為了更直觀的觀察到速度的變化，我們將速度和時(shí)間的關(guān)系可視化。對(duì)于微分方程（4），利用微積分的知識(shí)可以求得其精確解為（6）。因此，為了便于將歐拉法求得的近似解與精確解進(jìn)行比較，可將近似解與精確解在同一張圖上可視化。（6）歐拉法的求解過(guò)程與可視化可用如下python代碼實(shí)現(xiàn)：運(yùn)行結(jié)果如圖2。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，用歐拉法近似求得的值與解析解對(duì)應(yīng)的值符合的非常好，這說(shuō)明，用歐拉法求解常微分方程是可行的。3 總結(jié)與展望數(shù)值方法作為一種從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)展起來(lái)的方法，在現(xiàn)在的科

8、學(xué)與工程中具有重要的應(yīng)用。數(shù)值方法的用途也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止用于求解上述兩類(lèi)方程。從二分法求解超越方程和歐拉法求解常微分方程的研究案例中，我們發(fā)現(xiàn)，這兩類(lèi)方法雖然很簡(jiǎn)單，但是對(duì)我們高中生的物理學(xué)習(xí)卻非常有幫助。然而，在處理上述實(shí)際問(wèn)題中，二分法雖然能夠求解超越方程，但是使用二分法需要先找到一個(gè)有根區(qū)間，并且還需要在這個(gè)有根區(qū)間內(nèi)我們研究的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，這就為研究問(wèn)題帶來(lái)了不方便。很多時(shí)候，要找到有根區(qū)間和在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)很困難。歐拉法求解常微分過(guò)程中，我們需要指定的大小，通常情況下，的大小選擇對(duì)近似解的準(zhǔn)確性有影響。為了使近似解與真實(shí)解盡可能接近，一般做法是采用盡可能小的，這與研究的實(shí)際問(wèn)題有關(guān)?？偠灾址ê蜌W拉法作為兩類(lèi)數(shù)值方法，簡(jiǎn)單實(shí)用。將數(shù)值方法與計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度結(jié)合起來(lái)，同時(shí)利用好計(jì)算機(jī)的可視化功能，將有助于我們解決、理解更加復(fù)雜的物理問(wèn)題，有助于我們的物理學(xué)習(xí)。參考文獻(xiàn)1 關(guān)治，陸金甫.數(shù)值方法m.北京：清華大學(xué)出版社，2006.2 喻文健.數(shù)值分析與算法m.北京：清華大學(xué)出版社，2015.