人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：不等式與線性規(guī)劃_20210103224737

1、不等式與線性規(guī)劃知識講解一、不等式的定義1.定義：用不等號（）連接的式子叫不等式2.同解不等式變形：一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，如果這兩個(gè)不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解不等式變形3.不等式的性質(zhì)1）（反身性或?qū)ΨQ性）2），（傳遞性）3）4），則5），則；如果，則6），則7），則8），則二、不等式的解法1.一元二次不等式的解集如下表判別式二次函數(shù)（）的圖像一元二次方程（）有兩個(gè)相異實(shí)根（）有兩個(gè)相異實(shí)根（）沒有實(shí)數(shù)根（）的解集或（）的解集2.分式不等式的解法1）2）且3）3.無理不等式的解法1）或2）4.絕對值不等式1）絕對值的幾何意義：是指數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；是指數(shù)軸上兩點(diǎn)間的

2、距離 2）當(dāng)時(shí)，或，；當(dāng)時(shí)，3）絕對值不等式的解法公式法或平方法分情況討論法4.高次不等式（穿線法：）一般高次不等式用數(shù)軸穿根法（或稱穿線法）求解，其步驟是：1）將最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；2）將分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式之積；3）將每個(gè)因式的標(biāo)在數(shù)周上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線（注意重根，偶次方穿而不過，奇次方根穿又過，即所謂的奇穿偶不穿）；三、基本不等式均值定理：定理：對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立推論：如果，是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有等號成立四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念1.約束條件：由未知數(shù)的不等式（或方程）組成的不等式組成為的約束條件不等式組就是的一個(gè)約束條件2.線性約

3、束條件：關(guān)于未知數(shù)的一次不等式（或方程）組成的不等式組成為的線性約束條件，不等式組就是的一個(gè)約束條件3.目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量的解析式如：已知滿足約束條件，分別確定的值，使取到最大值和最小值使達(dá)到最值，其中和均為目標(biāo)函數(shù)4.線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為變量的一次解析式如上例中，為線性目標(biāo)函數(shù)，而就不是線性目標(biāo)函數(shù)，只是一個(gè)目標(biāo)函數(shù)5.線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題6.可行解：滿足約束條件的解7.可行域：所有可行解組成的集合8.最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解五、線性規(guī)劃的圖解法1.畫：在直角坐標(biāo)平面上畫出可行域和直線（目標(biāo)函數(shù)為）2.移：平行移動直線，確定

4、使取得最大值或最小值的點(diǎn)3.求：求出取得最大值或最小值的坐標(biāo)（解方程組）及最大值和最小值經(jīng)典例題1 選擇題（共16小題）1已知0c1，ab1，下列不等式成立的是（）acacbbacbccaa-cbb-cdlogaclogbc【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于a、構(gòu)造函數(shù)y=cx，由于0c1，則函數(shù)y=cx是減函數(shù)，又由ab1，則有cacb，故a錯誤；對于b、構(gòu)造函數(shù)y=xc，由于0c1，則函數(shù)y=xc是增函數(shù)，又由ab1，則有acbc，故b錯誤；對于c、aa-cbb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)，又由0c1，ab1，則（ac）0、（bc

5、）0、（ba）0，進(jìn)而有aa-cbb-c0，故有aa-cbb-c，故c錯誤；對于d、logaclogbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb），又由0c1，ab1，則有l(wèi)gc0，lgalgb0，則有l(wèi)ogaclogbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb）0，即有l(wèi)ogaclogbc，故d正確；故選：d2若實(shí)數(shù)a、b、c同時(shí)滿足：a2b2；1+aca+c；logbac則a、b、c的大小關(guān)系是（）abacbcbaccabdabc【解答】解：實(shí)數(shù)a、b、c同時(shí)滿足：a2b2；1+aca+c；logbac由可得：a，b0，b1，又由可得ab0由可得

6、：（a1）（c1）0，則&a1&c1或&a1&c1由&a1&c1，及其可得，若ab1，則logba1，由c1，可得abc；若0b1，則logba0，c0，可得abc；由&a1&c1，及其可得logba1，可得ab1，與ab矛盾，綜上可得abc，故選：d3給出如下四個(gè)命題：e2e2ln22323ln22ln，正確的命題的個(gè)數(shù)為（）a1b2c3d4【解答】解：要證e2e2，只要證2eln2，即2eln2，設(shè)f（x）=elnxx，x0，f（x）=ex1=e-xx，當(dāng)0xe時(shí)，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xe時(shí)，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，

7、f（x）f（e）=elnee=0，f（2）=eln220，即2eln2，e2e2，因此正確3ln2=ln8ln2.82lne2=2ln223，因此正確，242=16，333=27，因此23，正確，22，ln22ln，正確；正確的命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：d4設(shè)x，y滿足約束條件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80，則z=|x+3y|的最大值為（）a15b13c3d2【解答】解：由約束條件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80作出可行域如圖，聯(lián)立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得a（3，4），由圖可知，z=|x

8、+3y|=x+3y，化為y=x3+z3當(dāng)直線y=x3+z3過a時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為15故選：a5設(shè)x，y滿足約束條件&2x-y0&x+13y1&y0，若z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為（）a2或3b3或2c13或12d13或2【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分oab）由z=yax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大若a=0，此時(shí)y=z，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)只在a處取得最大值，不滿足條件，若a0，目標(biāo)函數(shù)y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=ax+z與直線2xy=0平行，此

9、時(shí)a=2，若a0，目標(biāo)函數(shù)y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=ax+z與直線x+13y=1平行，此時(shí)a=3，綜上a=3或a=2，故選：a6設(shè)x，y滿足約束條件&x-2y-2&3x-2y3&x+y1，若x2+4y2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）a12b34c45d56【解答】解：設(shè)a=x，b=2y，則不等式x2+4y2m等價(jià)為a2+b2m，則約束條件等價(jià)為&a-b-2&3a-b3&2a+b2，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=a2+b2，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖象知o到直線2a+b

10、=2的距離最小，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離d=|2|22+1=25，則z=d2=45，即m45，即實(shí)數(shù)m的最大值為45，故選：c7設(shè)x，y滿足約束條件&y12x&x+y-30&xt且z=y-x的最大值是1，則t的值為（）a1b1c2d2【解答】解：由約束條件作出可行域如，z=yx的斜率為1，截距最大，所以只有目標(biāo)函數(shù)z=yx過a時(shí)取最大值是1，由&x+y=3&y-x=1，解得a（1，2）此時(shí)，t=1；故選：b8已知x，y滿足&x0&x+2y3&2x+y3，z=xy的最小值、最大值分別為a，b，且x2kx+10對xa，b上恒成立，則k的取

11、值范圍為（）a2k2bk2ck2dk14572【解答】解：x，y滿足&x0&x+2y3&2x+y3的可行域如圖：z=xy，當(dāng)x一定，y最大時(shí)，z最大，y一定則x最大時(shí)，z最大，所以，最大值一定在線段2x+y=3上取得，最小值在（0，1.5）處取得z=x（32x）=2x2+3x，x0，1，所以z的最大值為：-2×(34)2+3×34=98，最小值為：0，x2kx+10對x0，98上恒成立，可得kx+1x，因?yàn)閤+1x2，此時(shí)x=1，10，98，所以則k的取值范圍為：k2故選：b9已知變量x，y滿足&x-y+30&x+y-50&x

12、2，則目標(biāo)函數(shù)z=12x-y的最值是（）azmin=4，zmax=2bzmax=2，zmin=3czmax=72，z無最小值dz既無最大值，也無最小值【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=12xy得y=12xz，平移直線y=12xz，則由圖象可知當(dāng)直線y=12xz經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)，直線y=12xz的截距最小，此時(shí)z最大，由&x-y+3=0&x+y-5=0，解得&x=1&y=4，即a（1，4），此時(shí)zmax=12×14=72，z無最小值，故選：c10已知不等式組&y-x+2&ykx+1&y0所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于94的三角形

13、，則實(shí)數(shù)k的值為（）a1b2c1或2d-29【解答】解：不等式組&y-x+2&ykx+1&y0所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于94的三角形，如圖：平面為三角形所以過點(diǎn)（2，0），y=kx+1，與x軸的交點(diǎn)為（1k，0），y=kx+1與y=x+2的交點(diǎn)為（1k+1，2k+1k+1），三角形的面積為：12×（2+1k）×2k+1k+1=94，解得：k=1故選：a11設(shè)不等式組&x+y4&y-x0&x-10表示的平面區(qū)域?yàn)閐，若圓c：（x+1）2+y2=r2（r0）不經(jīng)過區(qū)域d上的點(diǎn)，則r的取值范圍為（）a（0，5）（13，+）b（13，

14、+）c（0，5）d5，13【解答】解：作出不等式組&x+y4&y-x0&x-10表示的平面區(qū)域，得到如圖的mnp及其內(nèi)部，其中m（1，1），n（2，2），p（1，3）圓c：（x+1）2+（y+1）2=r2（r0）表示以c（1，1）為圓心，半徑為r的圓，由圖可得，當(dāng)半徑滿足rcm或rcp時(shí)，圓c不經(jīng)過區(qū)域d上的點(diǎn)，cm=(1+1)2+(1+1)2=22，cp=(1+1)2+(3+1)2=25當(dāng)0r22或r25時(shí)，圓c不經(jīng)過區(qū)域d上的點(diǎn)，故選：a12已知實(shí)數(shù)x，y滿足&x+4y+20&4x+y-70&x-y+20，則z=3x+y的最大值與最小值之和為

15、（）a7b2c1d6【解答】解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足&x+4y+20&4x+y-70&x-y+20的可行域如圖所示：作直線l0：3x+y=0，再作一組平行于l0的直線l：3x+y=z，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)，z=3x+y取得最大值，由&x+4y+2=0&x-y+2=0，得點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2，0），所以zmax=3×（2）+0=6直線經(jīng)過b時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由&4x+y-7=0&x+4y+2=0，解得b（2，1）函數(shù)的最小值為：61=7z=3x+y的最大值與最小值之和為：1故選：c13若實(shí)數(shù)x，y滿足&x-y-10&

16、x+2y+20&x-2，則z=y-3x-2的取值范圍是（）a34，+)b32，+)c34，2d32，2【解答】解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足&x-y-10&x+2y+20&x-2的可行域如圖陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)z=y-3x-2可以認(rèn)為是d（2，3）與可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）連線的斜率當(dāng)連線過點(diǎn)a時(shí)，其最小值為：0-3-2-2=34，連線經(jīng)過b時(shí)，最大值為：-1-30-2=2，則z=y-3x-2的取值范圍是：34，2故選：c14對于c0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足a22ab+2b2c=0，且使a+b最大時(shí)，則3a-4b+5c的最小值為（）a-14b14c12d-13【解答】解：

17、a22ab+2b2c=0，c=（ab）2+b2，由柯西不等式得，（ab）2+b2（1+4）（a+b）2，故當(dāng)a+b最大時(shí)，有ab=b2，a=32b，c=54b2，3a4b+5c=4b22b=4（1b14）214當(dāng)b=4時(shí)，取得最小值為14故選：a15已知變量x、y滿足約束條件&x+y-30&x-2y+30&x3，則yx+112的概率是（）a25b35c59d49【解答】解：由約束條件&x+y-30&x-2y+30&x3畫出可行域如圖，則yx+112的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與q（1，0）連線的斜率超過12，由圖形可知：直線x=3與直線x2y+1=0

18、的交點(diǎn)為：（3，2），直線x2y+3=0與x=3的交點(diǎn)（3，3），則yx+112的概率：ab2ac2=49，則yx+112的概率是：149=59故選：c16若x，y滿足&x0&x+y3&y2x+1，表示的平面區(qū)域?yàn)?，直線y=kxk與區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）a1，+）b（，71，+）c7，1d（，7【解答】解：作出x，y滿足&x0&x+y3&y2x+1對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：y=k（x1）過定點(diǎn)p（1，0），由&y=2x+1&x+y=3交點(diǎn)a（23，73），由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)a（23，73），時(shí)，直線的斜率最小，此時(shí)k

19、=73-023-1=7，由&x=0&y=2x+1解得b（0，1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)b時(shí)，直線的斜率最大，此時(shí)k=1，k的取值范圍是：7，1故選：c二填空題（共4小題）17設(shè)x，y滿足約束條件&2x-y+10&x-2y-10&x1，則z=2x+3y5的最小值為10【解答】解：由約束條件&2x-y+10&x-2y-10&x1作出可行域如圖，聯(lián)立&2x-y+1=0&x-2y-1=0，解得&x=-1&y=-1，即a（1，1）化目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y5為y=-23x+z3+53由圖可知，當(dāng)直線y=-23x+z3+5

20、3過a時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2×（1）+3×（1）5=10故答案為：1018若變量x，y滿足約束條件&2x+y+30&x-2y+40&x-20，則z=x+13y的最大值是3【解答】解：畫出變量x，y滿足約束條件&2x+y+30&x-2y+40&x-20表示的平面區(qū)域如圖：由&x=2&x-2y+4=0解得a（2，3）z=x+13y變形為y=3x+3z，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，當(dāng)直線過a（2，3）時(shí)，直線的縱截距最小，z最大，最大值為2+3×13=3，故答案為：319已知實(shí)數(shù)x，y滿足3

21、xyln（x+2y3）+ln（2x3y+5），則x+y=167【解答】解：由f（t）=lntt+1的導(dǎo)數(shù)為：f（t）=1t1=1-tt，當(dāng)t1時(shí)，f（t）0，f（t）遞增，當(dāng)0t1時(shí)，f（t）0，f（t）遞減，可得f（t）的最大值為f（1）=0，即有l(wèi)ntt1，則ln（x+2y3）+ln（2x3y+5）x+2y31+2x3y+51=3xy，當(dāng)且僅當(dāng)x+2y3=2x3y+5=1時(shí)，取得等號，則x=47，y=127，可得x+y=167，故答案為：16720在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，abc=120°，abc的平分線交ac于點(diǎn)d，且bd=1，則4a+c的最小值為9【解

22、答】解：由題意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c，得1a+1c=1，得4a+c=（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac+52ca4ac+5=4+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac，即c=2a時(shí)，取等號，故答案為：9三解答題（共4小題）21已知函數(shù)f（x）=|xa|，ar（1）當(dāng)a=5時(shí)，求不等式f（x）3的解集；（2）當(dāng)a=1時(shí)，若xr，使得不等式f（x1）+f（2x）12m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解答】解：（1）a=5時(shí)原不等式等價(jià)于|x5|3即3x53，即2x8，解集為x|2x8；（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x1|，令g（x）=f（x1）+f（2x）=|x2|+|2x1|=&3-3x，x12&x+1，12x2&3x-3，x2，由圖象知：當(dāng)x=12時(shí)，g（x）取得最小值32，由題意知：3212m，解得m14實(shí)數(shù)m的取值范圍為m1422已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4，c2+d2=16，證明ac+bd8【解答】證明：a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cos，b=2sin，c=4cos，d=4sinac+bd=8（cosco