淺談數(shù)學分析中的數(shù)學思想

1、淺談數(shù)學分析中的數(shù)學思想李靜赤峰學院10級 數(shù)學與統(tǒng)計學院 數(shù)學與應用數(shù)學2班10041100332摘要：在學習數(shù)學分析屮，首先接觸到的就是關于數(shù)學名詞的概念問題，那么亳無疑問，深入了解概念是 學習拿握數(shù)學分析的第一耍務;在學握了概念z后,接卜來就是運算能力以及對數(shù)學符號的熟識程度;然 后就是在學習過程中及做題中學習實踐的做題技巧，這就逐漸形成了數(shù)學思憩方法。數(shù)學知識中蘊含的思 想方法是極其豐富的，尤其是隱藏于數(shù)學知識背后的數(shù)學思想的價值不可忽視.本文對數(shù)學分析內容中的函 數(shù)思想、極限思想、連續(xù)思想、數(shù)形結介思想、化歸思想進行初步的分析.關鍵詞：數(shù)學分析；數(shù)學思想；分析一、函數(shù)思想函數(shù)概念和函

2、數(shù)思想的提出和運用,使得變量數(shù)學誕生了，常量數(shù)學發(fā)展到變量數(shù)學，函 數(shù)思想起了決定性作用.函數(shù)是數(shù)學分析的硏究對象.函數(shù)思想就是運用函數(shù)的觀點,把常量 視作變量、化靜為動、化離散為連續(xù)，將待解決的問題轉化為函數(shù)問題,運用函數(shù)的性質加以 解決的一種思想方法.在數(shù)學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個 數(shù)、級數(shù)問題、數(shù)列極限等.分析這是一個不等式證明問題,直接證明有一定難度，但是將此問題轉化為函數(shù)問題 的單調性，即可解決問題.證明 構造輔助函數(shù)/(x) = ln(l + x)-a： + ，則/'(%)= 1 + x,可證當%>()時,廣(兀)0,因此單調遞增又因為

3、/(0)= 0,所以當兀>0時,/(x)>/(o)= o,ep原 不等式成立.分析這是一個級數(shù)問題，該級數(shù)為交錯級數(shù)從函數(shù)的觀點出發(fā),化離散為連續(xù)，轉化為 函數(shù)問題，運用函數(shù)的性質，從而解決問題.解 該級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值"是否單調減少_h能于為0 為此，將冷連續(xù)化，設/（兀）= w（x + l）,由于 h+lx+1廣（x）= i（e），當x9吋，廣（x）0, bp f（x）在（9,+00）內單調遞減.將特殊值 （1 + 兀）x = n （ n為大于9 ）的白然數(shù)代入知,un=f（n）也遞減且極限為0,故此級數(shù)收斂.二、

4、極限的思想極限的思想方法是近代數(shù)學的一種重要思想方法，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎、極 限理論為主要丄具來研究初等函數(shù)的一門學科極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了 常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統(tǒng)一的關系極限的思想 方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終，-方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、 無窮?。ù螅┝俊⒓墧?shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、 曲線弧長、曲面積分等的概念，數(shù)學分析中兒乎所有的概念都離不開極限的思想.另一方面在 閉區(qū)間列上的區(qū)間套足理體現(xiàn)了極限的思想,泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式兩數(shù)去 逼近己知函數(shù)等學

5、習者以”極限理論”為丄具，以現(xiàn)實具休的問題為背景，從具體到抽象, 特殊到一般的去理解概念及定理的木質，町以增強分析和解決問題的能力.對所求量，先構造與其相關的變量，前提是該變量無限變化的結果就是所求量，此時采 用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是釆用了極限 的思想。例3如果物體做非勻速直線運動，其運動規(guī)律的函數(shù)是$ = /（/）,其中f為時間，$是 距離，求它在時刻的瞬時速度。解 物體從時刻到時刻這段時間內的平均速度是:一v =ar/co 十a(chǎn)r,當很小時，時刻0的瞬時速度”0因此當無限趨近于0（&工0）時，就無限趨近于心，即vn = lim soli

6、m / "o仏）亠 toa/三、連續(xù)的思想在數(shù)學分析中，把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當函數(shù)的口變量在某點鄰域內作微小變動時， 相應函數(shù)值也在對應點的函數(shù)值鄰域內作微小變動。這種思想應用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形，就可以把極限的復雜問題轉化為求函數(shù)值的問 題，從而大大簡化了運算。如果給立的函數(shù)不連續(xù)，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其 轉化為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法求其極限。例 4 求 lim 。&（1 + 兀）,（ao,d#l）xtox解 將給定的函數(shù)變形為log“（l + x）； ,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，冇lim(l + x)x = log,/ e._2() j lim 噸&qu

7、ot;° + 兀）=lim log（l += logxto xx-（）四、數(shù)形結合的思想數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，而空間形式和數(shù)量關系之間往往存在密切的聯(lián) 系，又冇各自特點.數(shù)形結合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形 的聯(lián)系轉化來研究數(shù)學對象和解決數(shù)學問題.具體包括:數(shù)轉化為形的思想；形轉化為數(shù)的思 想這種方法使得復雜問題簡單-化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到 最優(yōu)解決方案.數(shù)形結合的思想在數(shù)學分析課程中的應用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種兒何意義, 借助兒何圖形，對抽象問題進行兒何解釋，使抽象問題結合圖形更容易深入理解，更容易

8、掌握 其最本質的知識.比如:極限、曲線的漸近線、導數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導數(shù)與全微分、定積 分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數(shù)的單調性、函數(shù)的凹凸性等概念的兒何意 義,對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了 多樣化的方法.乂比如：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質（介值性定理、根的存在定理）、微分中值 定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費馬定理、隱函數(shù)存在唯一性 定理等兒何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發(fā)證明定理結論方而有很人幫助.例5下而僅談談兒何圖形對拉格朗日定理的內容的理解及證明所起的作用.為了敘述的方便，首先將拉格朗日定

9、理陳述如下：若函數(shù)/滿足如下：（1） /在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） f在開區(qū)間（a,b）內可導，則在仏b）內至少存在一點0,使得fm =b-a它的兒何意義是若一條曲線在a,列上連續(xù)，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少 存在一點0（0/）,過點0的切線平行于割線ab （圖1）.此定理的證明關鍵在于運用 其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構造輔助函數(shù)使其滿足羅爾定理的 要求，即滿足函數(shù)在端點的取值相同，最厲用羅爾定理得出最后的結論.因此，想辦法構造一 個輔助函數(shù)f（x）,使得在a問上連續(xù)，在（a,b）內可導并且f（a） = f（b）.觀察圖1可知, 割線與曲線有兩個交點4與b，

10、要使f（a） = f（b）,只需使f（x）的圖像經(jīng)過4,3兩 點，f（x） nj取為曲線縱朋標與割線縱朋標z差.其中，曲線的方程為y = /（x）,割線ab的 方程為），=/） +丿少）7 ）（無_a）,町見,幾何圖形在此立理的證明起到關鍵的作用.b a圖五、化歸思想在研究數(shù)學問題時，將所|僑臨的未解決或待解決的原問題，通過某種轉化過程，歸結到類已經(jīng)解決的新問題中去，最終原問題得到解答的-種思維方法稱為化歸思想，基本思維過程如圖:原問題新問題解答化歸的思想在數(shù)學分析中應用十分廣泛，挖掘出隱藏于數(shù)學知識背后的化歸的數(shù)學思想, 可深化理解數(shù)學分析中知識體系間的關系以及處理一些問題的方法,提高數(shù)學綜

11、合能力. 如：（1）海涅定理（heine揭示了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系，一方面可利川海涅定理和數(shù) 列極限的有關性質得出并證明函數(shù)極限的所有性質，另一方面將數(shù)列極限問題轉化為兩數(shù)極 限問題來處理，把某些數(shù)列不等式極限轉化為函數(shù)不等式極限，進而用洛比達法則或兩個重 sin r（1要極限（lim =0, lim 1 + - =幺）求出其極限.（2）微分屮值定理揭示函數(shù)與其導 xto xxt81x）數(shù)關系，將函數(shù)問題轉化為導數(shù)問題，進而以導數(shù)為工具學習函數(shù)的單調性、凹凸性、極值、 最值，解決有關最值與極值的實際問題（3）微積分基本定理實現(xiàn)了微分與積分的轉化.（4） 重積分、曲線積分、曲面積分、廣義積分

12、的計算問題都轉化為定積分的計算問題，另外求定 積分及不定積分的兩種基本方法換元法和分步積分法都體現(xiàn)了化歸的思想（5）極限與 級數(shù)z間的轉化，如:數(shù)列的極限問題可轉化為級數(shù)收斂的必要條件、級數(shù)收斂的定義轉化為 極限的方式來定義.數(shù)項級數(shù)問題轉化為函數(shù)項級數(shù)問題，進而運用逐項求導、逐項求積等性 質計算（6）格林公式揭示出平而區(qū)域上的二重積分與沿著該區(qū)域的閉曲線的第二型曲線積 分可以相互轉化等.化歸思想的關鍵在于選擇“轉化的方向”，下面舉例說明化歸思想的應用.例6求數(shù)列極限lim ."too 2"分析這是一個數(shù)列極限問題,利用數(shù)列極限的理論方向來解決這個問題有一定難度.由 海涅定

13、理可知將此問題轉化為函數(shù)極限問題，rh洛比達法則可求出結杲.n2y22x2解 lim = lim - = lim -=lim=0.2“8 2x xtoc 2x in 2 geo 2x （n 2）例7求數(shù)項級數(shù)工/:=1n(/? + !)!分析利用數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)z間的關系,將無法直接求和的數(shù)項級數(shù)問題轉化為 求幕級數(shù)和函數(shù)的問題，進而用熟悉的逐項求導、求積分方法加以解決.00s + l)!解設/w=en=l8/(0) = 0>/(i) = zn=l00又吃n-崙帀疋利在(00,+00)內一致收斂心e冷"xn,f (%) = teldt = xel 一 k +1,00zn=l參考文獻：1 李福興.解讀數(shù)學分析中的數(shù)學思想方法j廣西賀州學院學報,2010, 26(3): 109-112.2 林遠華.數(shù)學分析課程中的數(shù)學思想方法研究j.廣西河池師專學報,2001, 21(2):31-34.3 復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第二版)(上、下冊)m.北京:高等教育出版社，2007.