2018版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案新人教A版必修5

1、3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)用作差法比較兩實(shí)數(shù) 的大小 3 掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.訂知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一不等關(guān)系與不等式1不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中，不等關(guān)系主要有以下幾種類型：(1) 用不等式表示常量與常量之間的不等關(guān)系，如“神舟”十號(hào)飛船的質(zhì)量大于“嫦娥”探月器的質(zhì)量；(2) 用不等式表示變量與常量之間的不等關(guān)系，如兒童的身高小于或等于1.4 m ;(3) 用不等式表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，如當(dāng)xa時(shí)，銷售收入f(x)大于成本g(x)；(4) 用不等式表示一組變量之間的不等關(guān)系，如購(gòu)置課桌的費(fèi)用60

2、x與購(gòu)置椅子的費(fèi)用 30y的和不超過(guò) 2 000 元.2 .不等式(1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號(hào)“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.關(guān)于ab和ab應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是ab或a=b,等價(jià)于“a不小于b”， 即若ab或a=b中有一個(gè)正確，則ab正確.2不等式awb應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是avb或a=b,等價(jià)于“a不大于b”， 即若avb或a=b中有一個(gè)正確，則awb正確.知識(shí)點(diǎn)二比較大小的依據(jù)(1)比較實(shí)數(shù) a,b大小的文字?jǐn)⑹?如果a-b是正數(shù)，那么ab；2如果a-b等于 0，那么a三b；3如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a 0?ab；

3、2a-b= 0?a二b；23a-b0?a1 時(shí)，x2-x_0(填“”或“V”)(2)_ ( y6 +曲：10 + 4 迥填“”或“V”)答案(2)V解析xx=x(x 1)x 1 時(shí)，x 1 0,x 0,2 x(x 1) 0,二xx0.(2) ( 6+2)2=8+2 12=8+4 3V10+4 3.知識(shí)點(diǎn)三常用的不等式的基本性質(zhì)(1)ab?bb, bc?ac(傳遞性);(3)ab?a+cb+c(可加性);ab, c0?acbc;ab,c0?acb, cd?a+cb+d；ab0,cd0?acbd；(7)ab0?anbn(n N,n1)；(8)ab0? 龜聽(tīng)(n N,n2)題型探究題型一 用不等式（

4、組）表示不等關(guān)系例 1鐵路旅行常識(shí)規(guī)定：一、隨同成人旅行，身高在 1.11.4 米的兒童享受半價(jià)客票（以下稱兒童票），超過(guò) 1.4 米的應(yīng)買全價(jià)票，每一名成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.1 米的兒童，超過(guò)一名時(shí)，超過(guò)的人數(shù)應(yīng)買兒童票.十、旅客免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長(zhǎng)、寬、高尺寸之和不得超過(guò)160 厘米，桿狀物品不得超過(guò) 200 厘米，重量不得超過(guò) 20 千克重點(diǎn)突確3設(shè)身高為h（米）,物品外部長(zhǎng)、寬、高尺寸之和為 R 厘米），請(qǐng)用不等式表示下表中的不等關(guān)系.文字表述身咼在 1.11.4米身高超過(guò) 1.4 米身咼不足 1.1 米物體長(zhǎng)、寬、高尺寸之和不得超過(guò) 160 厘米付號(hào)表

5、示解 由題意可獲取以下主要信息：（1）身高用h（米）表示，物體長(zhǎng)、寬、高尺寸之和為P（厘米）；（2）題中要求用不等式表示不等關(guān)系.解答本題應(yīng)先理解題中所提供的不等關(guān)系，再用不等式表示.身高在 1.11.4 米可表示為 1.1whw1.4 ,身高超過(guò) 1.4 米可表示為h 1.4 ,身高不足 1.1 米可表示為h 1.4h 4WL 0,W 0.題型二比較實(shí)數(shù)(式)的大小例 2 (1)比較x6+ 1 與X4+x1 2的大小，其中x R；設(shè)x,y,zR,比較 5x2+y3+z2與 2xy+ 4x+ 2z 2 的大小.解(1) x6+ 1 (x4+x2)642“=xxx+ 1422=x(x 1) (x

6、 1)24=(x1)(x 1)2 2 2=(x 1) (x+1) 0.當(dāng)x=1時(shí)，x6+1=x4+x2；當(dāng)x工1時(shí)，x6+1x4+X2.綜上所述，x6+1x4+X2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào). (5x2+y2+Z2) (2xy+ 4x+ 2z 2)=4x2 4x+ 1 +x2 2xy+y2+z2 2z+ 12 2 2=(2x 1) + (xy) + (z 1) 0,2 2 21當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 2 且z= 1 時(shí)取等號(hào).反思與感悟比較大小的方法(1) 作差法：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，可以根據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行判斷，一方面注意題目本身提供的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數(shù)式的差進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為

7、多個(gè)因式相乘，或通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和，然后判斷正負(fù).作差法的一般步驟：作差一一變形一一判號(hào)一一定論.(2) 作商法：作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號(hào)的情形，然后比較它們的商與1 的大小.作商法的一般步驟： 作商變形與 1 比較大小一一定論.(3)單調(diào)性法：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小， 通常先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)， 把變量化歸到同一單調(diào)區(qū)間,5 5x+y+z 2xy+ 4x+ 2z 2,6再利用單調(diào)性進(jìn)行判斷.跟蹤訓(xùn)練 2 若ab0, 0c1，則()A. logaclogbcB . logcalogcbC. accb答案 B|gcIgc解析 對(duì) A： logac=, logbC=,v0c1， Igc

8、b0,所以 Igalgb,Igalgblga但不能確定 lga、lgb的正負(fù)，所以它們的大小不能確定，所以A 錯(cuò)；對(duì)于 B：logca=石一clgb1logcb=，而 lgalgb,兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B 正確；lgclgc對(duì) C：由y=xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可得到acbc，所以 C 錯(cuò)；對(duì) D：由y=cx在 R 上為減函數(shù)，得cab0，cvdv0，ev0，求證：ac bd證明 /cvdv0，cd0，又vab0，二a+ ( c) b+ ( d) 0,11即acbd0，0v v,，ac bd反思與感悟利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可

9、以證明一些不等式.解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上, 記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.跟蹤訓(xùn)練 3 已知ab，mn，p0，求證：napvm- bp.證明vab，又p0，.apbp.apv bp，又mn，即nvm又vev0，e eacbd7napvm- bp.8易錯(cuò)點(diǎn)忽視性質(zhì)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤例 4 已知K abw2且 2Wa+b4,求 4a 2b的取值范圍.錯(cuò)解K ab200C. 5x+ 4y= 200 D . 5x+ 4y 200答案 D解析 據(jù)題意

10、知，500 x+ 400y 20 000，即卩 5x+ 4y 200,故選 D.2.設(shè)xa0,則下列不等式一定成立的是()八2222A.xaxaxa2 2 2 2C. xaaax答案 B解析/xaa2.2 2/ xax=x(xa)0 xax.又axa2=a(xa)0，二axa2.xxaa.3 .設(shè)M=x2,N= x 1,貝 UM與N的大小關(guān)系是()A.M NB .M= NC.MkND .與x有關(guān)答案 A2123解析Ml- N=x+x+ 1 = (x+ 2)+ 4 0. M N4 .已知f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一a,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)1|)f( 2)，則a的取值范圍是答案 解析利用偶函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)單調(diào)性的定義將函數(shù)值大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式求解./ f(x)是偶函數(shù)，且在(a,0)上單調(diào)遞增，在(0，+a)上單調(diào)遞減，f( 2) =f( .2)，自查自糾400 元，現(xiàn)有)a滿足f(2|a111f(2|aT)f( .2)，2|a1| 2 = 2?，11113二丨a1| 2，即一 2a_12，即 2a