2021年高考數(shù)學專題分類匯編：平面向量(含答案)

1、平面向量15 （2021?上海）在 abc 中，d 為 bc 中點， e 為 ad 中點，則以下結論：存在 abc，使得0； 存在三角形abc，使得（+） ；它們的成立情況是（）a成立， 成立b成立， 不成立c不成立， 成立d 不成立， 不成立19 （2021?甲卷）已知向量 （ 3，1） ，（1，0） ，+k若，則 k29 （2021?浙江）已知平面向量，（）滿足 |1，| 2，?0， （） ?0記平面向量在，方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值是30 （2021?乙卷）已知向量（ 1，3） ，（ 3，4） ，若（ ），則 31 （2021?甲卷）若向量，

2、滿足 |3，|5，?1，則 |32 （2021?乙卷）已知向量（ 2，5） ，（ ，4） ，若，則 53 （2021?新高考） 在正三棱柱abc a1b1c1中，abaa11，點 p 滿足+，其中 0，1， 0，1，則（）a當 1 時， ab1p 的周長為定值b當 1 時，三棱錐pa1bc 的體積為定值c當 時，有且僅有一個點p，使得 a1pbpd當 時，有且僅有一個點p，使得 a1b平面 ab1p55 （2021?新高考）已知o 為坐標原點，點p1（cos ， sin ） ，p2（cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1，0） ，則（）a|b|c?

3、d?15 （2021?上海）在 abc 中，d 為 bc 中點， e 為 ad 中點，則以下結論：存在 abc，使得0； 存在三角形abc，使得（+） ；它們的成立情況是（）a成立， 成立b成立， 不成立c不成立， 成立d 不成立， 不成立【解答】 解：不妨設a（2x， 2y） ，b（ 1，0） ，c（1，0） ，d（0，0） ，e（x，y） ，（ 12x， 2y） ，（ x 1，y） ，若0，則（ 1+2x） （x1） 2y2 0，即（ 1+2x） （x1） 2y2，滿足條件的（x，y）存在，例如（0，） ，滿足上式，所以 成立；f 為 ab 中點，（+） 2，cf 與 ad 的交點即為重心

4、g，因為 g 為 ad 的三等分點，e 為 ad 中點，所以與不共線，即 不成立故選： b29 （2021?浙江）已知平面向量，（）滿足 |1，| 2，?0， （） ?0記平面向量在，方向上的投影分別為x， y，在方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值是【解答】 解：令，因為，故（ 1，- 2）?（m，n） 0， m- 2n0，令，平面向量在，方向上的投影分別為x，y，設，則：，從而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化簡得，當且僅當，即時取等號，故 x2+y2+z2的最小值為方法二：則x2+y2+z2表示空間中坐標原點到平面上的點的距離的平方，由平面直角坐標系中點到直線距離公式推廣得到的

5、空間直角坐標系中點到平面距離公式可得：故答案為：30 （2021?乙卷）已知向量（ 1，3） ，（ 3，4） ，若（ ），則 【解答】 解：因為向量（ 1，3） ，（ 3， 4） ，則 （ 13 ，34 ） ，又（ ），所以（ ） ?3（13 ）+4（34 ） 1525 0，解得 故答案為：31 （2021?甲卷）若向量，滿足 |3，|5，?1，則 |【解答】 解：由題意，可得，因為 |3，?1，所以，所以故答案為：32 （2021?乙卷）已知向量（ 2，5） ，（ ，4） ，若，則 【解答】 解：因為（ 2，5） ，（ ，4） ，所以 85 0，解得 故答案為：53 （2021?新高考） 在

6、正三棱柱abc a1b1c1中，abaa11，點 p 滿足+，其中 0，1， 0，1，則（）a當 1 時， ab1p 的周長為定值b當 1 時，三棱錐pa1bc 的體積為定值c當 時，有且僅有一個點p，使得 a1pbpd當 時，有且僅有一個點p，使得 a1b平面 ab1p【解答】 解：對于a，當 1 時，+，即，所以，故點 p 在線段 cc1上，此時 ab1p 的周長為ab1+b1p+ap，當點 p 為 cc1的中點時， ab1p 的周長為，當點 p 在點 c1處時， ab1p 的周長為，故周長不為定值，故選項a 錯誤；對于 b，當 1 時，即，所以，故點 p 在線段 b1c1上，因為 b1c

7、1平面 a1bc，所以直線b1c1上的點到平面a1bc 的距離相等，又 a1bc 的面積為定值，所以三棱錐pa1bc 的體積為定值，故選項b 正確；對于 c，當 時，取線段bc，b1c1的中點分別為m，m1，連結 m1m，因為，即，所以，則點 p 在線段 m1m 上，當點 p 在 m1處時， a1m1 b1c1，a1m1b1b，又 b1c1b1bb1，所以 a1m1平面 bb1c1c，又 bm1? 平面 bb1c1c，所以 a1m1bm1，即 a1pbp，同理，當點p 在 m 處， a1pbp，故選項c 錯誤；對于 d，當 時，取 cc1的中點 d1，bb1的中點 d，因為，即，所以，則點 p

8、 在線的 dd1上，當點 p 在點 d1處時，取ac 的中點 e，連結 a1e，be，因為 be平面 acc1a1，又 ad1? 平面 acc1a1，所以 ad1be，在正方形acc1a1中， ad1a1e，又 bea1ee，be，a1e? 平面 a1be，故 ad1平面 a1be，又 a1b? 平面 a1be，所以 a1b ad1，在正方體形abb1a1中， a1bab1，又 ad1ab1a，ad1，ab1? 平面 ab1d1，所以 a1b平面 ab1d1，因為過定點a 與定直線a1b 垂直的平面有且只有一個，故有且僅有一個點p，使得 a1b平面 ab1p，故選項d 正確故選： bd55 （2021?新高考）已知o 為坐標原點，點p1（cos ， sin ） ，p2（cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1，0） ，則（）a|b|c?d?【解答】 解： p1（cos ， sin ） ，p2（ cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1， 0） ，（ cos ，sin ） ，（ cos ， sin ） ，（ cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，（ 1，0） ，則，則 |，故a 正確；，|，故 b錯誤；1 cos