高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。第六節(jié)第六節(jié) 高階線性微分方程高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu) 二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) *四、常數(shù)變易法（略）四、常數(shù)變易法（略） 一、高階線性微分方程的概念一、高階線性微分方程的概念 第七章 第1頁/共15頁第二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程. 時時, 稱為非齊次方程稱為非齊次方程 ; 時時, 稱為齊次方程稱為齊次方程.一、高階線性微分方程的概念一、高階線性微分方程的概念復(fù)習(xí)復(fù)

2、習(xí): 一階線性方程一階線性方程通解通解:非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Y第2頁/共15頁第三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。證畢證畢是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程的兩個解的兩個解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:代入方程左邊代入方程左邊, 得得(疊加原理疊加原理) 定理定理1.第3頁/共15頁第四頁，編輯于星期三：八點 五十四分。不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解也是齊次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是則則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性

3、相關(guān)與下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念線性無關(guān)概念. 第4頁/共15頁第五頁，編輯于星期三：八點 五十四分。是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個函數(shù)個函數(shù),使得使得則稱這則稱這 n個函數(shù)在個函數(shù)在 I 上上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如，例如， 在在( , )上都有上都有故它們在任何區(qū)間故它們在任何區(qū)間 I 上都上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，又如，若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,必需全為必需全為 0 ,可見可見在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都上都 線性無關(guān)線性無關(guān).若存在若存在不全為不全為

4、 0 的常數(shù)的常數(shù)第5頁/共15頁第六頁，編輯于星期三：八點 五十四分。線性相關(guān)線性相關(guān)存在不全為存在不全為 0 的的使使( 無妨設(shè)無妨設(shè)線性無關(guān)線性無關(guān)常數(shù)常數(shù)思考思考:中有一個恒為中有一個恒為 0, 則則必線性必線性相關(guān)相關(guān)第6頁/共15頁第七頁，編輯于星期三：八點 五十四分。是二階線性齊次方程的兩個線是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解性無關(guān)特解, 則則數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常數(shù)常數(shù),故方程的通解為故方程的通解為推論推論. 是是 n 階齊次方程階齊次方程 的的 n 個線性無關(guān)解個線性無關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為第7頁/共15頁

5、第八頁，編輯于星期三：八點 五十四分。是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個特解的一個特解, Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 .證證: 將將代入方程代入方程左端左端, 得得第8頁/共15頁第九頁，編輯于星期三：八點 五十四分。是非齊次方程的解是非齊次方程的解,又又Y 中含有中含有兩個獨立任意常數(shù)兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程方程有特解有特解對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為證畢證畢因而因而 是通解是通解 .第9頁/共15頁第十頁，編輯于星期三：八點 五十四分。分別是方程分別是

6、方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程. 第10頁/共15頁第十一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。是對應(yīng)齊次方程的是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性個線性無關(guān)特解無關(guān)特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程是非齊次方程的特解是非齊次方程的特解,則非齊次方程則非齊次方程的通解為的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解第11頁/共15頁第十二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).設(shè)線性無關(guān)函數(shù)設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程的解的解, 是任意是任意提示提示:都是對應(yīng)齊次方程的解都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān)二者線性無關(guān) . (反證法可證反證法可證)(89 考研考研 )第12頁/共15頁第十三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。 已知微分方程已知微分方程個解個解求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件的特解的特解 .解解:是對應(yīng)齊次方程的解是對應(yīng)齊次方程的解,且且常數(shù)常數(shù)因而線性無關(guān)因而線性無關(guān),故原方程通解為故原方程通解為代入初始條件代入初始條件故