泰勒展開式與洛朗展開式PPT

1、泰勒泰勒 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 洛朗洛朗 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)張紅英張紅英& 1. 問題的引入問題的引入4.3 泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)& 2. 泰勒級(jí)數(shù)展開定理泰勒級(jí)數(shù)展開定理& 3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式& 4. 小結(jié)小結(jié) 一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。1. 問題的引入問題的引入DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf如圖如圖:r0z.K.rz

2、 0 圓圓周周 0: Kzr：定理（泰勒級(jí)數(shù)展開定理）定理（泰勒級(jí)數(shù)展開定理）000( ),f zDzD RzDzzR設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的處在Taylorzzf0)(2. 泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開定理級(jí)數(shù)展開定理00( )0( )()(1)1:()0,1,2,!nnnnnf zczzcfznn其中Dk 0z( )010011( )( )!2:nnnkfcfzdnizkzr 代入代入(1)分析：分析：( )00000()()()!nnnnnnfzc zzzzn01001( )()2()nnknfdzziz01001( )()(I)2()nnknfzzd

3、izDk 0z0100()()() (*)()nnnffzzzz需證1( )( )(II)2kff zdiz又z000001111,()1zzzzzzzz001,zzqz聯(lián)合聯(lián)合(I),(II)20000000111()()(2)nz zz zz zzzzzz 0000()()()()nnnzzffzzz故(*)式式0100()()()nnnfzzz證明：證明：00:,:kzrzrDzkCauchy 設(shè)為 內(nèi)任一點(diǎn)由積分公式001,zzqz000001111()1zzzzzzzz0100()(3)()nnnzzz1( )( )2kff zdiz0020010( )00001( )1( )( )

4、22( )2()()( )2()()()()()!kkknnknnfff zddizizzzfdizzzfdizfzf zfzzzn #0( )f zzTalor函數(shù)在 處的級(jí)數(shù)00( ).f zzTaylorzD在解析點(diǎn) 處的級(jí)數(shù)收斂半徑至少等于從 到 的邊界上各點(diǎn)的最短距離000( )Rzf zzRz為從到的距最近的一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離，即該奇點(diǎn)在收斂圓周上。( (1 1) )注注：(2) 展開式的唯一性1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010分析：分析：設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)

5、( )01()0,1,2,!nnafznn直接法直接法間接法：間接法：由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù) 運(yùn)算、分析運(yùn)算和運(yùn)算、分析運(yùn)算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法級(jí)數(shù)的方法：00( )( )f zzDf zzD 在點(diǎn)(區(qū)域解析在(3的鄰域 (區(qū)域內(nèi)可以展開成)冪級(jí)數(shù)。( )0023()1(0,1,2,)12!3!.znzzznzzeenzzzezneR 在復(fù)平面上解析 該級(jí)數(shù)的收斂半徑3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzz

6、ezfz 例例1 解：解：直直接接法法001()()sin22!zizinnnneeziziziinn242cos(sin) 1( 1)2!4!(2 )!nnzzzzzn 又sin ,coszzR 故在全平面上解析，它們的半徑21211211112( 1)2(21)!(21)!kkkkkkizzikk間間接接法法例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):211(1)( )(2)( )(3)( ) ln(1)1(1)f zf zf zzzz解：解：21(1)111nzzzzz 111( 1)111 ()nnzzzzz (2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：2

7、12211111( 1)(1)11 23( 1)1nnnnddzzzzdzzdzzznzz (3)10(1):zz zcc在收斂圓內(nèi)任意取一條從的曲線 ，沿 逐項(xiàng)積分得2131ln(1)( 1)1231nnzzzzzzn 0000( 1)1zzzznndzdzzdzz dzz注注:通過奇點(diǎn)判斷收斂范圍通過奇點(diǎn)判斷收斂范圍。0(1)( )f zz 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)。4. 小結(jié)：小結(jié)：F(z)在在z0點(diǎn)解析點(diǎn)解析0(2)( )f zzCR 的實(shí)部和虛部在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足方程。0(4)( )f zz 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)。0(3)( )0f zz 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)

8、連續(xù)且沿鄰域內(nèi)的任一條正向封閉路線的積分為 。& 1. 引入引入 4.4 羅朗羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)& 2. 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)& 3. Laurent級(jí)數(shù)展開定理級(jí)數(shù)展開定理& 4. 函數(shù)的函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式& 5 小結(jié)小結(jié)回顧：回顧：f (z) 在在z0解析解析思考思考：若若 f (z) 在在z0點(diǎn)不解析點(diǎn)不解析，但在圓環(huán)域，但在圓環(huán)域 : R1z - z0R2 內(nèi)解析，那么，內(nèi)解析，那么，f (z)能能 否用否用級(jí)數(shù)表示呢級(jí)數(shù)表示呢？1. 1. 引入引入 f (z)在z0的某一個(gè) 圓域z - z0R 內(nèi)展開成 z -

9、 z0的冪級(jí)數(shù)。例：例：1( )0,1(1):01011f zzzzzzz在都不解析，但在圓環(huán)域及內(nèi)處處解析。1211znzzzz 01,111( )(1)1zf zzzzz當(dāng)時(shí)011,111( )(1)11(1)zf zzzzz當(dāng)時(shí) nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解析, , f (z) 可可以展開成含有負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)以展開成含有負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù),即即2111(1)(1)(1)111(1)(1)1nnzzzzzzz 1 1z 本節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析為

10、中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)留數(shù)數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。2. 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)-含有負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)含有負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng)包括常數(shù)項(xiàng))部分部分 是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 收斂

11、域：收斂域：z - z0= =R2 。01zz令1nnncRR設(shè)收斂半徑為 ，收斂域：。011()nnnnnnczzc0011()nnnczzzzR收斂域： 收斂。00()nnnc zz收斂域：收斂域：z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 121020()nnnRRRzzRczz當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)有公共收斂區(qū)域即圓環(huán)域：，稱收斂。.)()4(2010以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求積積和和逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的而而且且可可內(nèi)內(nèi)的的在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)RzzRzzcnnn 注注： 02100)3(zzRR：，收收斂斂域域?yàn)闉榇舜藭r(shí)時(shí)可可以以可

12、可以以。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnzzcRR)()1(021(2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂，有有些些點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些)(03. 洛朗級(jí)數(shù)展開定理洛朗級(jí)數(shù)展開定理定理定理1020100( ):,( )()(5)1( ):(0, 1, 2,) (5)2().nnnnncf zD RzzRf zczzf zcdz nizzcDz設(shè)在內(nèi)解析 則其中系數(shù)是 內(nèi)繞 的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為L(zhǎng)aurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為L(zhǎng)aurent

13、RzzRDzf201:)( .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)czfnzfccnnnn 但但 (2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點(diǎn)在奇點(diǎn) z0的去心鄰域內(nèi)解析，需要把的去心鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成洛朗展成洛朗 （ Laurent ）級(jí)數(shù)來展開。）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。(3)(3) 展開式的唯一性展開式的唯一性 一個(gè)在某一一個(gè)在

14、某一圓環(huán)域內(nèi)解析圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f (z)的洛朗級(jí)數(shù)。的洛朗級(jí)數(shù)。分析：分析：)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0101(),()PPzc為任一整數(shù)并沿 的正向積分得：Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級(jí)級(jí)

15、數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 由唯一性，將函數(shù)展開成由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)，主要級(jí)數(shù)，主要用間接法用間接法。例例1解解210sin1( 1)(21)!nnnzzzzn0z 3524113!5!3!5!zzzzzzsin0zzz求在展開成洛朗級(jí)數(shù)。4 4 函數(shù)的函數(shù)的LaurentLaurent級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式2333011(1)!2!znnnezzzzzznzn例例2解解例例3解解21112!tnetttn 在復(fù)平面上，121111,12!zntezzzn z令)0( z3211112!3!4!nzzz

16、zzn30zezLaurentz將在 內(nèi)展開成級(jí)數(shù)。10zezLaurent 將 在內(nèi)展成級(jí)數(shù)。例例4xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（01( )(1)(2) 01;( )12;() 20f zzziziiziiizzLaurent 將在以下圓環(huán)域（內(nèi)展開成點(diǎn)的級(jí)數(shù)。解解:11( )12f zzz111( )1212f zzz故( )0112ziz 2101371(1)2482nnnzzz221(1)(1)224nzzzzz 無無奇奇點(diǎn)點(diǎn)111111( )1122112f zzzzzz 212zz 又1( )121iizz 221101111(1)(

17、1)22412nnnnnzzzzzzz 2()21iiizz 111 11 1( )121211f zzzzzzz1221nnnz2223411112411137zz zzz zzzz 注意首項(xiàng)注意首項(xiàng)解解 (1) 在(最大的)去心鄰域例例5yxo121( )(1)(2)1,2f zzzzzLaurent將在以點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)展開成級(jí)數(shù)。021(1)111 (1)(2)1nnzzzzz 011z (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域021zxo121111( )122 1 (2)f zzzzz021( 1) (2)211 (2)(2)2nnnzzzzz 2225( )(2)(1)(1)1

18、2(2) 025zzf zzzzz將在以下區(qū)域； 內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)。練習(xí)：練習(xí)：(2) 同一個(gè)函數(shù)有不同的級(jí)數(shù)展式，這是因?yàn)樵诓煌?的區(qū)域上的展式，這與唯一性并不矛盾。 (1) Laurent級(jí)數(shù)與Taylor 級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)： Taylor級(jí)數(shù)先展開求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級(jí)數(shù)先求 f(z) 的奇點(diǎn)，然后以 z0為中心 奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使 f(z) 解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)。5 5 小結(jié)小結(jié)(3)(3)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級(jí)數(shù)。(1)(1)對(duì)于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可對(duì)于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛