圓錐曲線復(fù)習(xí)總結(jié)——橢圓(教師版)

1、 圓錐曲線復(fù)習(xí)橢圓高考對(duì)橢圓的考查趨勢(shì)：1） 橢圓定義的靈活應(yīng)用。2） 利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)尤其是離心率求值問(wèn)題。3） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。4） 橢圓與平面向量、數(shù)列等知識(shí)交匯題。1、 橢圓的定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之和為定值（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。焦點(diǎn)：兩定點(diǎn), ； 焦距：兩焦點(diǎn)的距離（）集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集【例題1】：若橢圓上一點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi).（4）【解析】：由橢圓的定義可知：所以點(diǎn)p到其另一個(gè)

2、焦點(diǎn)的距離為：=10-6=4.【例題2】：已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6C4 D12【例題3】(湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:OxyDPABC

3、Q(1),此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面2、 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形范圍對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）A1（0，-a），A2（0，a）B1（-b，0），B2（b，0） 軸長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為2a，短軸的長(zhǎng)為2b 焦距離心率a，b，c的關(guān)系c2a2b2【例題1】已知方程,討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，當(dāng)時(shí)，方程表

4、示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓【例題2】已知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4，則m=_.【解析】由題意知：m-2>10-m>0,所以6<m<10,且2c=4c=2.,.【例題3】已知點(diǎn)是橢圓（，）上兩點(diǎn),且,則= 解析 由知點(diǎn)共線,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,【例題4】(2011·青島模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_.【解析】由題意可知：PF1F2是直角三角形，且PF1F2的面積為9，則可得：，整理可得=，由此可得3 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：定義法和待定系數(shù)法。1. 定義法：根據(jù)橢圓

5、的定義，確定a,b的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程。2. 待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b的值；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種情況：1） 已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，和a?！纠}1】焦點(diǎn)在（-3,0）和（3,0），橢圓上每一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10.解：由題意可知由可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2） 已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，和a與b之間的關(guān)系?！纠}2】已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 解：已知為所求；3） 已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，和橢圓上一點(diǎn)坐標(biāo)?！纠}3】求過(guò)點(diǎn)（），且與橢圓有相同焦

6、點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！窘馕觥糠椒ㄒ唬簷E圓的焦點(diǎn)為（0，-4），（0,4），即c=4.由橢圓定義可知：。解得。由。由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：方法二：橢圓的焦點(diǎn)為（0，-4），（0,4），焦點(diǎn)在y軸上，且c=4.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。因?yàn)閏=4，且又點(diǎn)（）在所求橢圓上，所以，聯(lián)立方程可得b=2，a=2。4） 未知焦點(diǎn)坐標(biāo)，只知橢圓上兩點(diǎn)坐標(biāo)。【例題4】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(1，)，B(2，0).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！窘馕觥浚寒?dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免討論和繁雜的計(jì)算。也可設(shè).5） 其他類(lèi)型【例題】設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)

7、與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來(lái)解析設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況【訓(xùn)練】(1)求長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)M，N與F構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(ab0)，橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，a3， 2a3·2b，b1，方程為y21.若橢圓的

8、焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，b3， 又2a3·2b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓方程為y21或1.(2)由FMN為正三角形，則c|OF|MN|×b1.b.a2b2c24.故橢圓方程為1.四、橢圓的最值問(wèn)題【例題1】是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值與最小值解析 當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值【例題2】已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=7【例題3】橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 解析設(shè)內(nèi)接矩形的一個(gè)頂

9、點(diǎn)為，矩形的面積【例題4】已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是_解析 設(shè)，則五、橢圓的綜合問(wèn)題。1) 直線與橢圓位置關(guān)系的判定。（或直線與橢圓有幾個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題）； 把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理成形如的形式。則 直線與橢圓的位置關(guān)系 >0直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn) =0直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn) <0直線與橢圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)【例題】對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線與橢圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。2） 直線被橢圓所截；（注：直線y=kx+b被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式為：設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則：【例題2】已知點(diǎn)（4,2）是直線L被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線L

10、的方程?！痉椒ā吭O(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，與橢圓方程聯(lián)立求出一個(gè)關(guān)于x，k的二元一次方程，再利用韋達(dá)定理求出k的取值?！纠}3】 已知直線yx2和橢圓1(ab0)相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若|AB|2，直線OM的斜率為，求橢圓的方程嘗試解答設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)則 得：.kAB×. 又kOM， 由得a24b2.由得：x24x82b20，x1x24，x1·x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24.故所求橢圓方程為：1.3） 橢圓與向量、解三角【例題1】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原

11、點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，選A.【例題2】設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)F1PF2面積為1時(shí)，的值為A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0， 【例題3】如圖，在RtABC中，CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過(guò)A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A

12、（1，0），B（1，0）由題設(shè)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，則曲線E方程為（2）直線MN的方程為由方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根MBN是鈍角即 解得：又M、B、N三點(diǎn)不共線綜上所述，k的取值范圍是【例題4】設(shè)橢圓C:的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，直線L的傾斜角為60°，,如果,求橢圓c的方程?！窘馕觥恐本€L的方程為聯(lián)立，得，可解出上海高考題：1.某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過(guò)該海域（船

13、只的大小忽略不計(jì)），在船上測(cè)得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為1、2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .【答案】【解析】依題意， ；2、AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且，若AB=4，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_(kāi)【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得3.）已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】3【解析】依題意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。4、（07年）已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，（1）若三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。是否存在實(shí)數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說(shuō)明理由。yO.Mx【解析】（1） ， 于是，所求“果圓”方程為 ， （2