天津市和平區(qū)2020屆高考三模數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、和平區(qū) 2019-2020 學(xué)年度第二學(xué)期高三年級第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一?選擇題1.集合0,1,2,3,4,5u，1,2a，2|30 xxbxn，則uba（）a. 0,1,2,3b. 0,4,5c. 1,2,4d. 4,5【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算得解.【詳解】由題意得0,1,2,3b，所以0,1,2,3ab所以4,5uab故選 d.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知3:,:11p xk qx，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）a. 2,)b. (2,)c. 1,)d. (, 1【答案】 b 【解析】由題意可得q:x2

2、,由p是q的充分不必要條件，得2k，選 b. 3.函數(shù)21lnfxxx的圖像大致為（）a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】取特值1e判斷正負(fù)，即可得出答案【詳解】122=01111ln2feeee故選 b【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)圖象的識別，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性及特值是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4.三棱錐的棱長均為4 6，頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（）a. 36b. 72c. 144d. 288【答案】 c 【解析】試題分析：因?yàn)槿忮F的棱長均為4 6，所以該三棱錐為正四面體，其外接球的半徑64 6=64r，所以其外接球的表面積為22446144sr，故

3、選 c. 考點(diǎn)： 1.正多面體的外接球與內(nèi)切球；2.球的表面積與體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查正多面體的外接球與內(nèi)切球、球的表面積與體積，屬中檔題；與球有關(guān)的組合體的類型及解法有：1.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常通過作出它們的軸截面解題；2.球與多面體的組合，通常通過多面體的一條側(cè)棱和不球心，或切點(diǎn)、接點(diǎn)作出軸截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 5.設(shè)正實(shí)數(shù), ,a b c分別滿足2321, log1, log1aabbcc，則, ,a b c的大小關(guān)系為 ( ) a. abcb. bacc. cbad. acb【答案】 c 【解析】【分析】把, ,a b c看作方程的根， 利用數(shù)形結(jié)合思想把方程的根轉(zhuǎn)化

4、為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可以利用圖象比較大小 .【詳解】由已知可得231112 ,log,log,abcabc作出函數(shù)232 ,log,logxyyx yx的圖象，它們與函數(shù)1yx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為, ,a b c，如圖所示，易得cba.故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，基本初等函數(shù)的圖象.對于含有指數(shù)、對數(shù)等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.6.已知雙曲線22221(0)xyabab的右焦點(diǎn)為f，虛軸的上端點(diǎn)為bp，為左支上的一個動點(diǎn)，若pbf周長的最小值等于實(shí)軸長的3倍，則該雙曲線的離心率為（）a. 102b. 105c. 10d

5、. 2【答案】 a 【解析】【分析】先 通 過 分 析 得 到 當(dāng) 且 僅 當(dāng)bpf， ，共 線 ，pbf周 長 取 得 最 小 值 ， 且 為2222,abc可 得22622,aabc解方程即得解. 【詳解】由題意可得00bbf c（ ， ），（ ， ），設(shè)0fc（ ， ），由雙曲線的定義可得2pfpfa，2pfpfa，22,bfbfbc則bpf的周長為|222pbpfbfpbpfabfbfa，當(dāng)且僅當(dāng)bpf， ，共線，取得最小值，且為2222,abc由題意可得22622,aabc即2222242abcca，即2252ac，則10,2cea故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)

6、，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.7.如果函數(shù)( )cos(2)f xx的圖象關(guān)于點(diǎn)4(,0)3成中心對稱，且22，則函數(shù)()3yf x為a. 奇函數(shù)且在(0,)4上單調(diào)遞增b. 偶函數(shù)且在(0,)2上單調(diào)遞增c. 偶函數(shù)且在(0,)2上單調(diào)遞減d. 奇函數(shù)且在(0,)4上單調(diào)遞減【答案】 d 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f （ x）=cos（2x+）的圖象關(guān)于點(diǎn)4(,0)3對稱，那么可知4232k，得到6，( )cos(2)6f xx，因此可知()cos2()cos(2)sin 23362f xxxx，故可知函數(shù)為奇函數(shù)，且在(0,)4遞減，故選d 8.

7、已知直線:1lxy與圓22:2210 xyxy相交于,a c兩點(diǎn) , 點(diǎn),b d分別在圓上運(yùn)動 , 且位于直線l兩側(cè) , 則四邊形abcd面積的最大值為（）a. 30b. 2 30c. 51d. 2 51【答案】 a 【解析】試題分析： 把圓22:2210 xyxy化為標(biāo)準(zhǔn)方程22(1)(1)3xy， 圓心(1, 1)， 半徑3r，直線與圓相交，由點(diǎn)到直線的距離公式的弦心距221 1 1 ( 1)1221( 1)d，由勾股定理的半弦長為22103()22，弦長為102102ab，又,b d兩點(diǎn)在圓上， 并且位于直線l的兩側(cè)， 四邊形abcd的面積可以看出是兩個三角形abc和abd的面積之和，

8、如圖所示，當(dāng),b d為如圖所示的位置，即bd為弦ac的垂直平分線時（即為直徑時），兩三角形的面積之和最大，即四邊形abcd的面積最大，最大面積為11130222sabceabdeabcd，故選 a考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用9.已知函數(shù)12log,0115,024x xfxa xx，函數(shù)3g xx，若方程g xxfx有 4 個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）a. 5,b. 155,2c. 3,5d. 3,5【答案】 b 【解析】【分析】方程g xxfx，化為3xxfx，即0 x或2xfx，要使方程g xxfx有 4 個不同實(shí)根，則需方程2xfx有3 個不同根，當(dāng)0 x時，方程g xfx有

9、1個根，則只需：0 x時，11524ya x與2g xx有兩個交點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合可得到答案【詳解】解：方程g xxfx，化為3xxfx，即0 x或2xfx，要使方程g xxfx有 4 個不同實(shí)根，則需方程2xfx有 3 個不同根，如圖：而當(dāng)0 x時，方程g xfx有 1 個根，則只需：0 x時，11524ya x與2g xx有兩個交點(diǎn)即可當(dāng)12x時，11524ya x，過點(diǎn)115,24作2(0)g xxx的切線，設(shè)切點(diǎn)為2,m m（0m） ，切線方程為22ymm xm，把點(diǎn)115,24代入上式得52m或32m，因?yàn)?m，所以52m，切線斜率為25m，所以5a，即5a，當(dāng)102x時，11524y

10、a x，與y軸交點(diǎn)為1150,24a令115024a，解得152a故當(dāng)1552a時，滿足0 x時，11524ya x與2g xx有兩個交點(diǎn)，即方程g xxfx有 4 個不同實(shí)根故選 b.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題二?填空題10.若復(fù)數(shù)2(1)( +)( ,),iia bia br其中i是虛數(shù)單位，則b_【答案】12【解析】21+iia bi1222()()132babiabab iaba11.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5 名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)( 單位：件 ) 若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則xy的值為 _【答案】 8 【解析】【

11、分析】已知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，可以求出y；甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的定義可列式求出x.【詳解】由題意易知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由于兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得5y；甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以可得56626570745961676578=55x,3x,8xy.所以本題答案為8.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)莖葉圖求平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)求原始數(shù)據(jù)，考查了計算能力，屬基礎(chǔ)題.12.若33nxx的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為1024，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_. 【答案】90【解析】【分析】利用 “33nxx的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和” 與“33nxx的展開式中所有項(xiàng)

12、系數(shù)的絕對值之和” 之間的關(guān)系，求得n的值，進(jìn)而求得33nxx的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 【詳解】二項(xiàng)式33nxx展開式的通項(xiàng)公式為11513262313rn rnrrrn rrnncxxcx，由于 “33nxx的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和” 等于 “33nxx的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和”.由33nxx，令1x，可得41024n，解得5n.所以二項(xiàng)式533xx展開式的通項(xiàng)公式為55526513rrrrcx，令55026r，解得3r.所以二項(xiàng)式533xx展開式的常數(shù)項(xiàng)為35 3351390c.故答案為：90【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題.1

13、3.已知一個袋子中裝有4 個紅球和2 個白球，假設(shè)每一個球被摸到的可能性是相等的，若從袋子中摸出3個球，記摸到的白球的個數(shù)為，則1的概率是 _；隨機(jī)變量期望是 _.【答案】【解析】根據(jù)題意知=0，1，2，3140356cpc，213421356ccpc，211242356ccpc，所以1310121555e.故答案為315，.14.已知正數(shù)x，y滿足22464x yxyxyxy，則當(dāng)xy_時，4xyxy的最大值為 _. 【答案】(1). 4(2). 18【解析】【分析】令4txy，由題意得6txyt，且0t，由基本不等式可得216txy，解不等式，由此可求出答案【詳解】解：由22464x yx

14、yxyxy得464xyxyxy，令4txy，則6txyt，且0t，又4244xyxyxy，當(dāng)且僅當(dāng)4xy即4xy時等號成立，216txy，即2616ttt，化簡得2616280tttt，2t，或8t（舍去），11468xyxyt，故答案為： 4；18【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查計算能力，屬于中檔題15.如圖所示， 在四邊形abcd中， 已知2ab，cd與以ab為直徑的半圓o相切于點(diǎn)d， 且/ /bcad ，若1ac bd，則bd_；此時ad od_. 【答案】(1). 1(2). 32【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算化簡1ac bd，由此求得

15、bd，即bd.再利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，求得ad od.【詳解】依題意1ac bdabbcbdab bdbc bd,因?yàn)?bc ad，ab是半圓o的直徑，則adbd，所以bdbc，所以0bc bd，故1ab bd.而cosbdabdab，所以cosab bdabbdabd21bdabbdbdab，所以1bd，即1bd.ad odabbdobbd12abbdabbd221322abbdab bd2133411222故答案為：1；32.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.三?解答題.16.在abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，且22 cosacbc.(1

16、)求sin2acb的值；(2)若3b，求ca的取值范圍 .【答案】 (1)32； (2)3,3【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cosb，進(jìn)而求得b和a c，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將ca表示為2sin2sinca，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin3c，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合c的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（ 1）由正弦定理可得：2sinsin2sincosacbcabcsinsinabc2sinsin2sincos2cossinsin2sincosbccbcbccbc即2cossinsinbcc0,csin0c1cos

17、2b0,b3b23ac23sinsin232acb（2）由（ 1）知：3sinsin32b32sinsinsin32acbacb2sincc，2sinaa2sin2sin2sin2sin2sin2sincos2cossincacacbccbcbc2sin3 cossinsin3cos2sin3cccccc23ac203c,333c2sin3,33c，即ca的取值范圍為3,3【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，進(jìn)而利用正

18、弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.17.如圖甲所示的平面五邊形pabcd中，pdpa，5accdbd，1ab，2ad，pdpa，現(xiàn)將圖甲所示中的pad沿ad邊折起， 使平面pad平面abcd得如圖乙所示的四棱錐pabcd.在如圖乙所示中（1）求證：pd平面pab；（2）求二面角apbc的大??；（3）在棱pa上是否存在點(diǎn)m使得bm與平面pcb所成的角的正弦值為13？并說明理由. 【答案】（ 1）證明見解析. （2）23. （3）存在，理由見解析【解析】【分析】(1)推導(dǎo)出 abad， ab平面 pad，ab pd，pdpa，由此能證明pd平面 pab；(2)取 ad 的中點(diǎn) o,連結(jié) op, oc

19、，由 ac=cd 知 ocoa,以o為坐標(biāo)原點(diǎn)， oc 所在的直線為x軸， oa 所在的直線為y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角a-pb-c 的大小；(3)假設(shè)點(diǎn) m 存在，其坐標(biāo)為(x, y, z)，bm 與平面 pbc 所成的角為，則存在 (0, 1)，有amap,利用向量法能求出在棱pa上滿足題意的點(diǎn)m 存在 .【詳解】（ 1）1ab，2ad，5bd，222abadbd，abad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，ab平面pad，又pd平面pad，abpd，又pdpa，paaba，pd平面pab. （2）取ad的中點(diǎn)o，連結(jié)op，oc，由平面pad平面ab

20、cd知po平面abcd，由accd知ocoa，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc所在直線為x軸，oa所在的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則易得2,0,0c，0,0,1p，0, 1,0d，0,1,0a，1,1,0b，1,1, 1pb，2,0,1pc，0, 1, 1pd，設(shè)平面pbc的法向量為, ,ma b c，由00m pbm pc，得020abcac，令1a得1b，2c，1,1,2m，設(shè)二面角apbc大小，則123cos262m dpmdp，0，二面角apbc的大小23. （3）假設(shè)點(diǎn)m存在，其坐標(biāo)為, ,x y z，bm與平面pbc所成的角為，則存在，有amap，即,1,0, 1,1x yz，0,

21、1,m，則1,bm，從而化簡得2610，解得103的0,1，103在棱pa上滿足題意的點(diǎn)m存在 . 【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，利用向量求二面角，線面角，考查了推理運(yùn)算能力，空間想象力，屬于中檔題. 18.已知數(shù)列na滿足：11a，212a，且23122110nnnnaa，*nn. （1）求3a，4a，5a，6a的值及數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)212nnnbaa，求數(shù)列nb的前n項(xiàng)和ns. 【答案】（ 1）33a，414a，55a，618a，2,1,2nnn nan為奇數(shù)為偶數(shù)（2）2332nnns【解析】【分析】（1）分別令n= 1,2,3,能得到3a，4a，5a

22、，6a的值，分 n 為奇數(shù)偶數(shù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由2121212nnnnbaan知，利用錯位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（ 1）11a，212a，且23122110nnnnaa，則312240aa，解得33a，42420aa，解得414a，532240aa，解得55a，64420aa，解得618a，當(dāng)n為奇數(shù)時，22nnaa，nan；當(dāng)n為偶數(shù)時，212nnaa，212nna. 即有2,21,1,22nnn nkank（nn） ；（2）由于21n為奇數(shù)，則2121nan，由于2n為偶數(shù)，則212nna. 因此，2121212nnnnbaan. 23111111135232122222

23、nnnsnn，23411111111352321222222nnnsnn，兩式相減得2341111111112212222222nnnsn，11111114222112212nnn，化簡可得，2332nnns. 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求值、求解通項(xiàng)公式的方法和用錯位相減法求解通項(xiàng)公式的方法，解題時要認(rèn)真審題 , 仔細(xì)解答 , 注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題. 19.已知橢圓2222:1(0)xycabab離心率22e，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)1f的距離的最大值為21. （1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線:(0)lykxt k與橢圓c交于m、n兩點(diǎn) . 在y軸上是否存在點(diǎn)(0,)pm，使得| |

24、mpnp 且|2mn，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由. 【答案】（ 1）2212xy（2）22(,0)(0,)22m【解析】【分析】（1）橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)1f的距離最大值為a+c, 再結(jié)合離心率可得a 和 c 的值 ，再由222bac可得橢圓方程；（ 2）將直線方程代入橢圓方程，利用弦長公式求得丨mn 丨，由mpnp， p 在線段 mn 的中的垂線上，利用韋達(dá)定理求出mn中點(diǎn) d的坐標(biāo)，寫出 直線 pd 的方程，令x=0 得221tmk，平方后即可求得 m 范圍；【詳解】（ 1）由題設(shè)條件可得22ca，21ac，解得2a，1c，所以，2221bac，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：221

25、2xy（2）設(shè)11,mx y，22,n xy，則22,1,2ykxtxy整理得：222124220kxktxt，則2 222168 1210k tkt，則122412ktxxk，21222212tx xk，假設(shè)存在點(diǎn)0,pm滿足題意，22121214mnkxxx x，則22222 2121221kktmnk，化簡整理得2222121ktk，此時判別式228 21kt222218 21021kkk恒成立，所以kr且0k，設(shè)mn中點(diǎn)00,d xy，則12022221xxktxk，0221tyk，由mpnp，則p在線段mn的中垂線上 . 因?yàn)?k，直線pd的方程為：22122121tktyxkkk，

26、令0 x，則221tmk222221tmk22212 211mkk0k，20k，222111kk2102m202m或202m. 即：22,00,22m. 【點(diǎn)睛】 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理及弦長公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的綜合應(yīng)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題20.已知函數(shù)( )ln1f xxax，( )()xg xx ex（1）若直線2yx與函數(shù)( )f x 的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若存在1(0,)x，2(,)x，使120fxg x，且121xx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)1a時，求證：2( )( )f xg xx【答案】（ 1）1a； （

27、2）01a； （3）詳見解析 . 【解析】【分析】（1）由 f （x0）01xa可得切線方程為：y（01xa）x+lnx0，與直線 y 2x 完全相同， 可得01xa2，lnx00即可得出a（2）設(shè) t（x）exx，xrt （ x）ex1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得0 是函數(shù) t （x）的極小值點(diǎn)，可得0t x再由 g（x2）0，解得 x2，可得 x1的范圍 從而問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）lnx ax+1 在 x（1，+）上有零點(diǎn)由f （ x）1xa1axx對 a 分類討論，研究其單調(diào)性即可得出（3）構(gòu)造函數(shù)f（x） x2+g（x） f （x） ，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出【詳解】（ 1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為00,xfx，由1fxax，得001fxax，所以切線方程為：00001ln1yxaxaxxx，即001lnya xxx. 因?yàn)橹本€2yx與函數(shù)fx的圖象相切，所以00120axlnx，解得1a. （2）設(shè)xt xex，則1xtxe