河南省平頂山市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、20192020學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)（理科）一?選擇題1.已知命題p:( 1,1)x，21x，則p為（）a. ( 1,1)x，21xb. 0( 1,1)x，201xc. 0, 11,xu，201xd. , 11,xu，21x【答案】 b 【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題求解即可. 【詳解】解：因為命題p:( 1,1)x，21x，則p為0( 1,1)x，201x，故選： b. 【點睛】本題考查了特稱命題與全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題. 2.已知0a， 設(shè)p:3axa；q:16x.若p是q的充分不必要條件， 則實數(shù)a的取值范圍是 （）a. (1,2)b. 1,2c. (0,1)d

2、. 0,1【答案】 c 【解析】【分析】利用集合間的包含關(guān)系，即條件p對應(yīng)的集合為條件q對應(yīng)的集合的真子集， 可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式組，解出即可 .【詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以條件p對應(yīng)的集合為條件q對應(yīng)的集合的真子集.所以需1,36,0.aaa解得01a.故選： c.【點睛】本題考查充分條件與必要條件，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系.3.記等差數(shù)列na的前n項和為ns.若212a，520s，則公差 d（）a. -8b. -4c. 4d. 8【答案】 a 【解析】【分析】利用520s可求得3a，再根據(jù)等差數(shù)列中的任意兩項

3、，即可求得公差. 【詳解】由題意得53520sa，所以34a，所以公差324128daa.故選： a.【點睛】本題考查等差數(shù)列中基本量法運算、公差d的求解，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題 . 4.雙曲線22221xyab(0a，0b)的一條漸近線方程為0 xy，則該雙曲線的離心率為（）a. 52b. 2c. 2d. 4【答案】 b 【解析】【分析】先由雙曲線漸近線方程求得ab，再結(jié)合雙曲線離心率2222abea求解即可 . 【詳解】解：由雙曲線22221xyab(0a，0b)的一條漸近線方程為0 xy可得ab，則2222222222cabaeaaa，所以2e.故選： b.【點

4、睛】本題考查了雙曲線漸近線方程，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題. 5.已知實數(shù)x，y滿足20,220,220,xyxyxy則2zxy 的最大值為（）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】 c 【解析】【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)2zxy 的幾何意義求解即可. 【詳解】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由目標(biāo)函數(shù)2zxy 的幾何意義，平移直線20 xy至點(0,2)時，2zxy 取得最大值，所以max0224z.故選： c.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，重點考查了作圖能力，屬中檔題. 6.不等式265xx的解集是（）a. 2,3b. , 16

5、,c. ,02,3ud. 0,23,u【答案】 c 【解析】【分析】分別討論當(dāng)0 x時，當(dāng)0 x時，結(jié)合二次不等式的解法求解即可. 【詳解】解：當(dāng)0 x時，不等式265xx可化為2560 xx，解得23x；當(dāng)0 x時，不等式265xx可化為2560 xx，此時，解得0 x.所以原不等式的解集為(,0)2,3u.故選： c.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題. 7.如圖，在正方體1111abcda b c d中，以d為原點建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，e，f分別在棱1bb，1cc上，且12b eeb，12cffc，則下列向量中，能作為平面aef的法向量的

6、是（）a. (1, 1,3)b. (1, 1, 3)c. (2, 3,6)d. ( 2,3,6)【答案】 a 【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為1，平面aef的法向量為( , , )nx y zr，求出,ae efuuu r uu u r，令00n aen efuuu vvuuu vv，即可得答案. 【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，平面aef的法向量為, ,nx y zr.則(1,0,0)a，11,1,3e，20,1,3f，所以10,1,3aeuuu r，11,0,3efuuu r，則00n aen efuuu vvuuu vv，即10,310.3yzxz不妨取1x，則1y，3z，故(1, 1,3)

7、nr.故選： a.【點睛】本題考查空間中平面法向量的求解，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 8.一艘輪船以18 海里 /時的速度沿北偏東40的方向直線航行，在行駛到某處時，該輪船南偏東20方向 10海里處有一燈塔，繼續(xù)行駛20 分鐘后，輪船與燈塔的距離為（）a. 17 海里b. 16 海里c. 15 海里d. 14 海里【答案】 d 【解析】【分析】先閱讀題意，再在cab中利用余弦定理求解即可. 【詳解】解：記輪船行駛到某處的位置為a，燈塔的位置為b，20 分鐘后輪船的位置為c，如圖所示 .則10ab，6ac，120cab，所以22211062 1061962bc，所以14b

8、c，即 20 分鐘后，輪船與燈塔的距離為14 海里 .故選： d.【點睛】本題考查了余弦定理，重點考查了解斜三角形，屬中檔題. 9.已知拋物線c:22ypx(0p)的焦點為f， 點p在拋物線c上， 且3|2ppf， 則cos pfx（）a. 12b. 32c. 13d. 33【答案】 c 【解析】【分析】由拋物線的定義可得3|2ppf，則有1cossin3pfxpfe，得解 . 【詳解】解：過p作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于d，過f作pd的垂線，交pd于e，依題得|2ppe，3|2ppf，因為12sin332ppfep，所以1cossin3pfxpfe.故選： c.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

9、重點考查了拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10. 棱長為 1 的正四面體abcd中，點e，f分別是線段bc，ad上的點，且滿足13bebcuuu ruu u r，14afadu uu ru uu r，則ae cfuu u r uuu r（）a. 1324b. 12c. 12d. 1324【答案】 a 【解析】【分析】設(shè)abauuu rr，acbuuu rr，adcuuu rr，以這 3 個向量為空間中的基底，將ae cfuuu r uuu r轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積運算，即可得答案 . 【詳解】設(shè)abauuu rr，acbuuu rr，adcuuu rr，由題意可得121()333aeabbeabaab

10、uuu ruuu ruuu rrrrrr，14cfcbuuu rrr，則211334ae cfabcbuuu r uuu rrrrr2121163123a ca bb cbr rr rr rr11211111316232122324.故選： a.【點睛】本題考查空間向量基本定理的運用、數(shù)量積運算，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意基底思想的運用. 11. 已知遞增數(shù)列na中，11a，且121 1nnnaaa(*nn)，則20a（）a. 360b. 362c. 364d. 366【答案】 b 【解析】【分析】根 據(jù) 遞 推 關(guān) 系1211nnnaaa可 得1111nnaa， 從 而 證

11、明 數(shù) 列1na是 以110a為首項， 1 為公差的等差數(shù)列，求出通項公式，即可得答案. 【詳解】由121 1nnnaaa，得111211nnnaaa.因為數(shù)列na是遞增數(shù)列，且11a，所以得221111nnaa，所以111 1nnaa，即1111nnaa.所以數(shù)列1na是以110a為首項， 1 為公差的等差數(shù)列.所以10(1)nan，即222nann，所以220202202362a.故選： b.【點睛】本題考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意遞推關(guān)系的變形. 12.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)， 已知( 1,0)a， (1,

12、0)b以及動點c是abc的三個頂點， 且sinsincos0abc，則動點c的軌跡的離心率是（）a. 3b. 2c. 32d. 22【答案】 d 【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式將條件化成12acbckk，設(shè)點( , )c x y代入斜率公式，求得軌跡的方程，再利用離心率公式，即可得答案. 【詳解】由sinsincos0abc可得sinsincos()0abab，即sinsincoscossinsin0ababab.因為,(0,)a b，易知coscos0ab，所以1tantan2ab，所以12acbckk，設(shè)( , )c x y，所以1112yyxx，即22112yx(1x)，所以21a

13、，212b，則22212cab，則軌跡的離心率22cea.故選： d.【點睛】本題考查三角恒等變換、斜率公式、軌跡方程求解、離心率計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力. 二?填空題13. 橢圓222125xyb(0b)與雙曲線2218xy有公共的焦點，則b_ .【答案】 4【解析】【分析】由題意得兩條曲線的2c值相等，從而得到關(guān)于b的方程，解方程即可得答案. 【詳解】由題意得兩條曲線的2c值相等，2258 1b，求得216b，則4b.故答案為：4. 【點睛】本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 14. 已知數(shù)列n

14、a是公比為2 的等比數(shù)列， 且345,2,a aa成等差數(shù)列， 則數(shù)列na的前 5項和5s_ .【答案】 31【解析】【分析】利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列通項公式，求得1a，再利用等比數(shù)列的前n項和公式，即可得答案. 【詳解】由題意可得43522aaa，即32411122222aaa，1112 82416aaa，解得11a.所以55123112s.故答案為：31. 【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)、等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列的前n項和，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 15. 已知x，y均為正實數(shù)，且滿足1131xyxy，則xy的最小值為 _ .【答案】 6【解

15、析】【分析】將 等 式 進(jìn) 行 變 形 得3xyxy， 利 用 基 本 不 等 式 ， 將 求xy的 最 小 值 ， 轉(zhuǎn) 化 成 解 不 等 式2()4()120 xyxy，即可得答案. 【詳解】由1131xyxy可得3xyxy.又因為22xyxy，所以232xyxy，即2()4()120 xyxy，(6)(2)0 xyxy，2xy或6xy又x，y均為正實數(shù)，6xy(當(dāng)且僅當(dāng)3xy時，等號成立)，即xy的最小值為6.故答案為：6. 【點睛】本題考查基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意驗證等號成立的條件. 16.在abc中，角a，b，c

16、的對邊分別為a，b，c，已知22 (sincos)10aabb，2b，則abc的面積為 _ .【答案】134【解析】【分析】把22 (sincos)10aabb看 成 關(guān) 于a的 二 次 方 程 ， 由0結(jié) 合 正 弦 函 數(shù) 的 有 界 性 可 得2sin14b，從而求得b的值，再利用正弦定理求得a的值，最后利用誘導(dǎo)公式可求sinc并代入面積公式，即可得答案. 【詳解】把22 (sincos)10aabb看成關(guān)于a的二次方程，則由0，即22(sincos)40bb得2sin14b，而2sin14b，則2sin14b.由于0b，可得5444b，可得42b，即4b，代入方程22 (sincos)

17、10aabb，可得2210aa，所以1a.由正弦定理可得，12sin22a，所以1sin2a.又因為ab，所以6a.易知62sinsin()sin()644cab.所以112613sin122244abcsabc.故答案為：134. 【點睛】本題考查三角恒等變換、正弦定理、面積公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意兩邊夾定理的運用. 三?解答題17. 已知p:方程2222mxym表示焦點在x軸上的橢圓 .；q:不等式2210mxx有解 .（1）若q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若 “pq” 為假命題， “pq” 為真命題，求實數(shù)m的取值范圍

18、.【答案】（ 1）( 1,)（2）( 1,02,)u【解析】分析】（1）分別討論當(dāng)0m時，當(dāng)0m時，利用方程有解求實數(shù)m的取值范圍即可；（2）先求出,p q均為真命題時實數(shù)m的取值范圍，再結(jié)合p與q必然一真一假，求解即可得解.【詳解】 （1）當(dāng)0m時，不等式顯然有解，當(dāng)0m時，210 x -有解 .當(dāng)0m時，因為2210mxx有解，所以440m，所以10m.所以當(dāng)q為真命題時，m的取值范圍為( 1,).（2）因為 “pq” 為假命題， “pq” 為真命題，所以p與q必然一真一假.若p:方程2222mxym表示焦點在x軸上的橢圓為真命題，方程可化為2212xym，則需02m.由(1)知，若q為真

19、，則1m.所以021mm或0?21mmm或，解得10m或2m.所以實數(shù)m的取值范圍為( 1,02,)u.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、重點考查了不等式以及常用邏輯用語，屬基礎(chǔ)題.18. 已知拋物線c:22ypx(0p)的準(zhǔn)線過雙曲線2211xyaa(01a)的左焦點 .（1）求拋物線c的方程；（2）設(shè)拋物線c的焦點為f，直線l:2yx與c交于不同的兩點a，b，求11|fafb的值 .【答案】（ 1）24yx（2）1013【解析】【分析】【（1）由題意可知，雙曲線的左焦點為( 1,0)，所以12p，求出p的值，即可得答案；（2）設(shè)11,a x y，22,b xy，利用焦半徑公式代入計算，即可得

20、答案. 【詳解】（ 1）由題意可知，雙曲線的左焦點為( 1,0)，所以12p，即2p.所以拋物線的方程為24yx.（2）把直線l的方程2yx代入24yx得2840 xx.所以2( 8)16480.設(shè)11,a x y，22,b xy.所以128xx，124x x.所以121212122111110|11113xxfafbxxx xxx.【點睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、拋物線焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力. 19. 記等差數(shù)列na的前n項和為ns，已知數(shù)列nb是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且13a，11b，3428bs，4222aba.（1）

21、求數(shù)列na和nb的通項公式 .；（2）設(shè)nnncab，求數(shù)列nc的前n項和nt.【答案】（ 1）21nan，12nnb（2）nt(21) 21nn【解析】【分析】（1）先設(shè)數(shù)列na的公差為d，數(shù)列nb的公比為q(0q)，再結(jié)合已知條件求解即可.（2）由數(shù)列nc為等差比數(shù)列，則用錯位相減法求和即可得解. 【詳解】（ 1）設(shè)數(shù)列na的公差為d，數(shù)列nb的公比為q(0q).由3428bs，4222aba，得24 3122823323qddqd，解得2,2,dq(負(fù)值舍去 )所以32(1)21nann，12nnb，（2）由（ 1）可知，1(21) 2nnnncabn，所以0121325272(21)

22、2nntnl.所以1232325272(21) 2nntnl.由 -可得12132222(21) 2nnntnl12 1232(21) 21 2nnn(21) 21nn.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項，重點考查了錯位相減法求和，屬中檔題.20. 在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知1cos2b.（1）若sinsin2 sinbbaacc，求ac的值 .；（2）若abc的平分線交ac于d，且1bd，求4ac的最小值 .【答案】（ 1）1（2）9【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊可得2222bac，再結(jié)合余弦定理可得2cac，得解；（2）由三角形面積公式可得111a

23、c，再結(jié)合基本不等式的應(yīng)用求解即可. 【詳解】解： （1）由正弦定理，得2222bac，即2222bac.由余弦定理得2222cosbacacb，又1cos2b，所以2cac.所以1ac.（2）由題意得abcabddbcsss，即111sin120sin 60sin 60222acac.所以acac，即111ac.則114(4)acacac445529cacaacac，當(dāng)且僅當(dāng)2ca，即3c，32a時取等號 .故4ac的最小值為9.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理，重點考查了三角形面積公式及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.21. 如圖，在三棱錐pabc中，paac，bcpb，且1abbcpa，

24、3pc.（1）證明 :平面pab平面pbc；（2）若點e為pc的中點，求二面角abec的大小 .【答案】（ 1）證明見解析； （2）120o. 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理證明paab，從而證得pa平面abc，進(jìn)一步證明bc 平面pab，再利用面面垂直的判定定理，可證得面面垂直；（2）由（ 1）有pa平面abc，abbc，故以b為坐標(biāo)原點，bcuuu r的方向為x軸正方向，bauu u r的方向為y軸正方向，過點b且與平面abc垂直的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面abe的法向量(1,0, 1)mu r，平面ebc的法向量(0,1, 1)nr，求出法向量夾角的余

25、弦值，即可得答案 . 【詳解】（ 1）因為bcpb，3pc，1bc，所以222pbpcbc.又1paab，所以222pbpaab，即paab.又因為paac，且acaba，ac平面abc，ab平面abc，所以pa平面abc因為bc平面abc，所以pabc.又因為bcpb，pbpapi，pa平面pab，pb平面pab，所以 bc 平面pab，bc平面pbc，.所以平面pab平面pbc.（2）由（ 1）有pa平面abc，abbc，故以b為坐標(biāo)原點，bcuuu r的方向為x軸正方向，bauu u r的方向為y軸正方向，過點b且與平面abc垂直的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則(0,

26、0,0)b，(1,0,0)c，(0,1,0)a，(0,1,1)p，1 1 1,2 2 2e.所以(0,1,0)bauu u r，1 1 1,2 2 2beuuu r，(1,0,0)bcuuu r.設(shè)平面abe的法向量為( , , )mx y zu r，則00m bam beuu u vvuuu vv，即0,1110.222yxyz令1x，則(1,0, 1)mu r.設(shè)平面ebc法向量為000,nxyzr，則00n bcn beu uu vvu uu vv，即00000,1110.222xxyz令01y，則(0,1,1)nr.所以11cos,222m nm nmnu r ru r ru rr.由圖可知，二面角abec是鈍角，所以二面角abec的大小為120o.【點睛】本題考查空間中線面垂直、面面垂直的證明、向量法求二面角的大小，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意坐標(biāo)系建立之前，要證明三條直線兩兩互相垂直 . 22. 已知橢圓c:22221xyab(0ab)的離心率為32， 設(shè)直線l過橢圓c的上頂點和右頂點， 坐標(biāo)原點o到直線l的距離為2 55.（1）求橢圓c的方程 .的（2）過點(3,0)d且斜率不為零的直線l交橢圓c于a，b兩點，在x軸的正半軸上是否存在定點q，使得直線aq，