橢球大地測(cè)量學(xué) 第七章

1、第七章第七章 大地問題微分公式大地問題微分公式7 7- -1 1 微分公式的分類和應(yīng)用微分公式的分類和應(yīng)用7 7- -2 2 大地問題反解微分公式大地問題反解微分公式7-3 7-3 大地問題正解微分公式大地問題正解微分公式7-5 7-5 球級(jí)近似的大地問題微分公式球級(jí)近似的大地問題微分公式7-6 7-6 常常系數(shù)大地問題微分公式系數(shù)大地問題微分公式 本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：7-4 7-4 大地問題正反解微分公式的關(guān)系大地問題正反解微分公式的關(guān)系7 7- -1 1 微分公式的分類和應(yīng)用微分公式的分類和應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)增量公式為：（1）（2）(1)式和(2)式叫做平面坐標(biāo)計(jì)算微分公

2、式。橢球面上的大地問題解算也有類似的問題。 我們知道，點(diǎn)的大地坐標(biāo)是依據(jù)大地線長(zhǎng)度和方位角逐點(diǎn)推算出來的d大地線兩端點(diǎn)的坐標(biāo)B1、L1、B2、L2，大地線在兩端點(diǎn)的方位角A1、A2和大地線長(zhǎng)度S這七個(gè)參數(shù)，通過大地問題正解和反解公式，建立起相應(yīng)的聯(lián)系。如果七個(gè)參數(shù)中的一部分參數(shù)發(fā)生變化，必然會(huì)引起其他參數(shù)也發(fā)生變化。這些變化可以通過大地問題正解計(jì)算求出。但是這樣作不太經(jīng)濟(jì)。我們關(guān)心的是，當(dāng)這些變化量不太大時(shí)，設(shè)法直接求得它們之間的關(guān)系式。這就是常用的通過微分求改正數(shù)的方法。 有兩種情況，相應(yīng)的有兩組微分公式：有兩種情況，相應(yīng)的有兩組微分公式：1大地問題反解微分公式大地問題反解微分公式，即已知大

3、地線兩端點(diǎn)坐標(biāo)的，即已知大地線兩端點(diǎn)坐標(biāo)的變化，求邊長(zhǎng)和方位角的變化，變化，求邊長(zhǎng)和方位角的變化，2大地問題正解微分公式大地問題正解微分公式，即已知大地線一端點(diǎn)坐標(biāo)，即已知大地線一端點(diǎn)坐標(biāo)，以及邊長(zhǎng)和方位角的變化，以及邊長(zhǎng)和方位角的變化，求求另一端點(diǎn)坐標(biāo)和方位角的變另一端點(diǎn)坐標(biāo)和方位角的變化。化。 兩組微分公式有密切的聯(lián)系，實(shí)際上它們是可以互逆的兩組微分公式有密切的聯(lián)系，實(shí)際上它們是可以互逆的(74)。大地問題微分公式有重要的用途。 如果在橢球面上按間接觀測(cè)法平差天文大地網(wǎng)，要用到大地問題反解微分公式，正象平面上的間接觀測(cè)平差要用到平面坐標(biāo)微分公式一樣。此時(shí)，坐標(biāo)改正數(shù)dB、dL是待求的未知數(shù)

4、。通過dS、dA與dB、dL的關(guān)系式，組成邊長(zhǎng)誤差方程式和方位角誤差方程式。 如果由于某種原因，大地起算數(shù)據(jù)(B。、L。、A。)和長(zhǎng)度基準(zhǔn)(S)發(fā)生變化，相應(yīng)的，其他大地點(diǎn)的坐標(biāo)也必然發(fā)生變化。這時(shí)既要用到大地問題正解微分公式。 大地問題微分公式，還可用于同一橢球面上不同大地網(wǎng)之間的換算，通過微分公式，使一個(gè)三角網(wǎng)平移(dB、dL)、旋轉(zhuǎn)(dA)和縮放(dS)，從面達(dá)到同另一三角網(wǎng)相符合的目的。這種換算也叫做三角網(wǎng)的配合。 通過大地問題微分公式計(jì)算改正數(shù)，是橢球面大地計(jì)算的一項(xiàng)基本內(nèi)容。計(jì)算是在同一參考橢球面L進(jìn)行的，這里不考慮橢球參數(shù)的變化，也不考慮橢球定位和定向的變化。當(dāng)然，橢球參數(shù)、定位

5、和定向的變化，也會(huì)引起坐標(biāo)、邊長(zhǎng)和方位角的變化。但是，這是另一類性質(zhì)不同的變化。討論這些變化之間的關(guān)系叫橢球變換，見第十二章。 大地問題微分公式有的文獻(xiàn)也叫做大地線微分公式。但是，應(yīng)當(dāng)注意不要把它同大地線微分方程混同起來。 一般文獻(xiàn)講到兩類微分公式?！暗谝活愇⒎止健敝傅氖蔷W(wǎng)的配合，包括上面提到的種情況。“第二類微分公式”指的是橢球變換。但是，早先的橢球變換只是考慮到橢球參數(shù)化的影響，而沒有考慮到定位、定向變化的影響，本質(zhì)上是兩維變換，或叫平展法變換?，F(xiàn)代大地測(cè)量學(xué)處理橢球變換時(shí)，要求沿橢球法線方向建立點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上是三維變換，或叫投影變換。兩維變換的“第二類微分公式”，不符合現(xiàn)代大

6、地測(cè)量的要求，本書不擬討論。7-2 大地問題反解微分公式 設(shè)大地線兩端點(diǎn)大地線兩端點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)變化的坐標(biāo)變化dB1、dL1，、，、dB2：、：、dL2：，求兩點(diǎn)間的長(zhǎng)度變化：，求兩點(diǎn)間的長(zhǎng)度變化dS方位角變化方位角變化dA1、dA2。寫出下列微分關(guān)系式。寫出下列微分關(guān)系式下面推求各偏導(dǎo)數(shù)下面推求各偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)P2點(diǎn)沿子午線方向變化到點(diǎn)沿子午線方向變化到P2，緯差為，緯差為dB2，P2P2=M2dB2。相應(yīng)的大地線長(zhǎng)度變化為。相應(yīng)的大地線長(zhǎng)度變化為P2P2-dS方位角變化為方位角變化為dA1和和dA2。由圖可知由圖可知式中式中m為大地線歸化長(zhǎng)。為大地線歸化長(zhǎng)。dB2與與dS、dA1、dA2有

7、以下關(guān)系：有以下關(guān)系：因此有因此有12222221221221c o s,s in()s inAMSMAABBmAMd mBmd S （3）如果將如果將P P1 1，P P2 2對(duì)調(diào)，視對(duì)調(diào)，視m m1 1=m=m2 2=m=m（以下不區(qū)分（以下不區(qū)分m m1 1和和m m2 2）。則有）。則有211111111212cos,sin() sinAMSMAABBmAMdmBmdS （4 4）122222222AASdSdLdAdLdAdLLLL、（5）由微小三角形由微小三角形P2P2P2可得可得222221222sin,cosLLdSrA dL mdArA dL 而在微小三角形而在微小三角形P

8、P1 1P P1 1PP1 1中中因此因此 于是得到于是得到21222212221222121112111sin,cos ,cos,sin,cos,cosAArSrrAAALLmLmP PAArSrrAAALLmLm 對(duì)調(diào)得（6）（7）1112112dL ,mdAr 22112cosLmdArAdL將（將（3 3）、（）、（4 4）、（）、（6 6）、（）、（7 7）帶入（）帶入（1 1）式，得到）式，得到根據(jù)大地線克萊勞方程根據(jù)大地線克萊勞方程111222cossincossinNBANBA 上式第一式可以化上式第一式可以化(9)(9)式就是所求的大地問題反解微分方式。式中大地線式就是所求的

9、大地問題反解微分方式。式中大地線歸化長(zhǎng)歸化長(zhǎng)m m按下式計(jì)算按下式計(jì)算( (4 410)10)，式中式中R R是是P P1 1、P P2 2兩點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑。兩點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑。 (9) (9)式表示橢球面上點(diǎn)的坐標(biāo)變化對(duì)邊長(zhǎng)和方位角的影響。它是橢球面間式表示橢球面上點(diǎn)的坐標(biāo)變化對(duì)邊長(zhǎng)和方位角的影響。它是橢球面間接觀測(cè)平差的基礎(chǔ)。我國天文大地網(wǎng)整體平差是在橢球面上按間接觀測(cè)平差法接觀測(cè)平差的基礎(chǔ)。我國天文大地網(wǎng)整體平差是在橢球面上按間接觀測(cè)平差法進(jìn)行的。平差計(jì)算中的邊長(zhǎng)誤差方程式和方向誤差方程式就是按進(jìn)行的。平差計(jì)算中的邊長(zhǎng)誤差方程式和方向誤差方程式就是按(9)(9)式列

10、出的式列出的。 (9) (9)式是嚴(yán)密公式，可以認(rèn)為不受距離的限制。但是，公式僅顧及坐標(biāo)變式是嚴(yán)密公式，可以認(rèn)為不受距離的限制。但是，公式僅顧及坐標(biāo)變化的一次項(xiàng)。因此，要求這些變量不能太大。計(jì)算的精度取決于自變量的大小化的一次項(xiàng)。因此，要求這些變量不能太大。計(jì)算的精度取決于自變量的大小。另外，它們的系數(shù)也應(yīng)充分精確。另外，它們的系數(shù)也應(yīng)充分精確。 歐美的一些文獻(xiàn)常常采用稍微簡(jiǎn)化的公式歐美的一些文獻(xiàn)常常采用稍微簡(jiǎn)化的公式(12)(12)式也可用更簡(jiǎn)單的方法直接得出，式也可用更簡(jiǎn)單的方法直接得出，參考參考【242242】設(shè)設(shè)dBdBl l、dBdB2 2：、：、dLdLl l、dLdL2 2部是微

11、小量，將橢球面視作平面，如圖部是微小量，將橢球面視作平面，如圖7-37-3于是證明了于是證明了(12)(12)式。式。7 73 3 大地問題正解微分公式大地問題正解微分公式寫出寫出下列微分關(guān)系式下列微分關(guān)系式; ;(1)(1)現(xiàn)在推求各偏導(dǎo)數(shù)。為敘述方便，先討論現(xiàn)在推求各偏導(dǎo)數(shù)。為敘述方便，先討論dS、的影響，后討論、的影響，后討論dB1、dL1 1的影響。的影響。一、dS的影響 設(shè)P1不變，方位角A1也不變，僅有S變化dS，P2點(diǎn)移至P2。依據(jù)大地線微分方程：（2 2）（3）或者寫或者寫成成： 二、二、dAdA1 1的影響的影響 設(shè)僅有設(shè)僅有A A變化變化dAdA1 1，P P2 2移至移至

12、P P2 2，如圖，如圖7 75 5。P P2 2P P2 2m m1 1dAdA1 1。過。過P P2 2作作子午線，過子午線，過P P1 1作平行圈，它們交于作平行圈，它們交于P P2 2”。在微小三角形。在微小三角形P P2 2P P2 2P P9 9”中，中，P P2 2P P2 2”N N2 2cosBcosB2 2dLdL2 2，P P2 2”P P2 2”-M-M2 2dBdB2 2。由此得由此得(4)(4)1 1(4)(4)2 2, ,由此得到由此得到2 2、P P2 2”沿子午線移動(dòng)沿子午線移動(dòng)d d至至P2P2，方位角變化為，方位角變化為dA2”dA2”。已知極印系中大地線

13、。已知極印系中大地線微分方程為微分方程為( (4-4)4-4)合并合并dAdA1 1、dAdA2 2兩式，得兩式，得(4)(4)3 3(4)(4)式也可寫成：式也可寫成：（5 5） 三、dB1的影響 設(shè)P1點(diǎn)沿子午線方向移動(dòng)至P1，緯度變化dB1，而S和A1都不變化。此時(shí)P2點(diǎn)移至P2,相應(yīng)的緯度變化為dB2，圖7-7。對(duì)照?qǐng)D對(duì)照?qǐng)D7-8可知，在這里可知，在這里(8)式代入式代入(7)式，得到式，得到而而P P2 2P P2 2的方位角近于的方位角近于A A2 2180180。，P P2 2”P P2 2的方位角近于的方位角近于A A2 29090。因此，因此，依據(jù)依據(jù)(6)(6)式式求得求得

14、P P2 2 P P2 2之間的緯差為之間的緯差為P2”、P2之間的經(jīng)差由之間的經(jīng)差由(9)式求得式求得因此，因此，P2與與P2”之間的經(jīng)差為之間的經(jīng)差為(11)2. P2移至移至P2，設(shè)相應(yīng)的方位角變化為，設(shè)相應(yīng)的方位角變化為dA，由大地線微，由大地線微分方程有分方程有即即3. 以以P P1 1中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使P P2 2移至移至P2，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角角，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角角為為- -dA1。設(shè)第二。設(shè)第二點(diǎn)點(diǎn)相應(yīng)的相應(yīng)的方位角變化為方位角變化為dA。仿照。仿照(4)式，有式，有顧及（顧及（8）式，有）式，有綜合綜合dA2、dA”、dA，最后有，最后有即即(12)(10)、(11)

15、、(12)各式也可寫成：各式也可寫成： (13) (14)(14) 將將(3)(3)、(5)(5)、13)13)、(14)(14)各式代入各式代入(1)(1)式，最后得到式，最后得到(15)(15)(15)式是大地問題正解微分公式的完整公式。它的圖解意義見圖式是大地問題正解微分公式的完整公式。它的圖解意義見圖7 79 9。 大地大地問題反解和正解微分公式最初是由赫爾默特導(dǎo)出的問題反解和正解微分公式最初是由赫爾默特導(dǎo)出的(1880(1880年年) )，因此也叫做赫爾默特微分公式。，因此也叫做赫爾默特微分公式。原始的赫爾默特微分公式還含有橢球參數(shù)的變化原始的赫爾默特微分公式還含有橢球參數(shù)的變化da

16、和和d。 7 7- -1 1已經(jīng)說明它屬于兩維變換，這里我們不作討論。橢球參數(shù)已經(jīng)說明它屬于兩維變換，這里我們不作討論。橢球參數(shù)變化對(duì)點(diǎn)位坐標(biāo)的影將在第十二章討論。變化對(duì)點(diǎn)位坐標(biāo)的影將在第十二章討論。(1)(1)(1)式證明如下：式證明如下：7-4 7-4 大地問題正反解微分公式的關(guān)系大地問題正反解微分公式的關(guān)系另外，由大地線克萊勞方程：另外，由大地線克萊勞方程： (2) (2)得得由上節(jié)知由上節(jié)知因此因此(3)比較比較(2)(2)式和式和(3)(3)式，即可證明式，即可證明(1)(1)式式。下面討論如何將反解微分公式變換為正解微分公式。下面討論如何將反解微分公式變換為正解微分公式。(5)(5

17、)(6)(6)(4)(4)、(5)、(6)各式就是各式就是73所講的正解微分公式，于是證明了兩組微分公所講的正解微分公式，于是證明了兩組微分公式的一致性。式的一致性。同樣同樣,也可由正解微分公式證明反解微分公式，可參閱文獻(xiàn)也可由正解微分公式證明反解微分公式，可參閱文獻(xiàn)13。7-5 球級(jí)近似的大地問題微分公式 前面導(dǎo)出的兩組微分公式是嚴(yán)密公式。它們的系數(shù)比較復(fù)雜，使用前面導(dǎo)出的兩組微分公式是嚴(yán)密公式。它們的系數(shù)比較復(fù)雜，使用不太方便。當(dāng)距離較短、精度要求較低時(shí)，可以將橢球視作球，公式不太方便。當(dāng)距離較短、精度要求較低時(shí)，可以將橢球視作球，公式大為簡(jiǎn)化。大為簡(jiǎn)化。 對(duì)于球級(jí)近似，有對(duì)于球級(jí)近似，有

18、(1)(1)R R是兩點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑是兩點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑。（。（1 1）式代入）式代入7 72 2（9 9）式，）式， 得得 (2)(2)( (1)1)式代入式代入7 73(15)3(15)式，得式，得(3)(3)而而（五元素公式）經(jīng)過整理，得到而而(正弦定理)因此下面利用大地問題正解公式推導(dǎo)大地問題微分公式。下面利用大地問題正解公式推導(dǎo)大地問題微分公式。設(shè)地球半徑為R，取高斯平均引數(shù)大地問題正解公式的主項(xiàng)，寫為 (4)式中B是兩研究點(diǎn)的平均緯度，A為大地線在兩點(diǎn)前進(jìn)方位角的平均值。由(4)式取微分，得(5)顧及（4）式，并且注意到(5)式可以寫成(6)（6）式稍加整理，可化為更簡(jiǎn)單的形式：(7) 容易想到，球級(jí)近似的大地問題微分公式(5)，也可在球面上仿照72、73的方法導(dǎo)出，這里不再給出了。7-6 常系數(shù)大地問題微分公式 上面導(dǎo)出的兩組微分公式，它們的系數(shù)與大地線起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，與大地線的長(zhǎng)度和方位角也有關(guān)。對(duì)于不同的起算點(diǎn)，這些系數(shù)部是不同的，因此，計(jì)算工作贊重。 1942年赫里斯托夫?qū)С隽艘唤M新的公式。212121,180BBB LLL AAA 設(shè)寫出全微分公式： 121221BBBdB(1+)0SBSAdBdLLLLdL= 1SdSBSAdASAAA0S1+dAB