備考2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程與不等式

1、用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程與不等式 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 題型一：方程思想思路導(dǎo)航拋物線與軸的交點(diǎn)拋物線與軸必有一個(gè)交點(diǎn).拋物線與軸的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn).直線（或直線或直線）與拋物線的交點(diǎn)問題，可運(yùn)用方程思想聯(lián)立方程（或或）求出方程組的解，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo). 比如拋物線與軸的交點(diǎn)聯(lián)立方程組為，其中的是一元二次方程的兩根，則拋物線與軸交于兩點(diǎn).例題精講【引例】 已知關(guān)于的二次函數(shù)探究二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫出相應(yīng)的的取值范圍.【解析】 令時(shí)，得：，以下分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，此時(shí)，的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)

2、時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，此時(shí)，的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，即，此時(shí)，的圖象與軸沒有交點(diǎn)綜上所述：當(dāng)時(shí)，的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象與軸沒有交點(diǎn)典題精練【例1】 1. 拋物線與軸的交點(diǎn).二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、，則一元二次方程的兩根為 已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解是 2. 拋物線與直線的交點(diǎn).圖中拋物線的解析式為，根據(jù)圖象判斷下列方程根的情況 方程的兩根分別為 方程的兩根分別為 方程的根的情況是 方程的根的情況是 3. 拋物線與直線的交點(diǎn)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則 當(dāng)取何值時(shí)，拋物線與直線： 有公共

3、點(diǎn)； 沒有公共點(diǎn)【解析】 1.，；2. 用圖象求解 ， ，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故有兩個(gè)相等實(shí)根， 直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)，故原方程無(wú)實(shí)根3. 或； 聯(lián)立方程組即，若有公共點(diǎn)，解得；當(dāng)時(shí)，沒有公共點(diǎn) 【例2】 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1) 求點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 直線經(jīng)過點(diǎn). 求直線和拋物線的解析式； 點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為將拋物線在直線上方的部分沿直線翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)圖象與直線只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是 【解析】(1) 證明：當(dāng)時(shí)，方程為，所以，

4、方程有實(shí)數(shù)根. 當(dāng)時(shí)，所以，方程有實(shí)數(shù)根綜上所述，無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根 (2) 令，則解關(guān)于的一元二次方程，得 ， 二次函數(shù)的圖象與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)， (3) 由(2)得拋物線的解析式為配方得拋物線的頂點(diǎn)直線od的解析式為于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），平移后的拋物線解析式為當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)c時(shí)，c（0，9），解得  當(dāng) h 時(shí)，平移后的拋物線與射線cd只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)拋物線與直線cd只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由方程組，   得， 解得此時(shí)拋物線與射線cd唯一的公共點(diǎn)為，符

5、合題意綜上：平移后的拋物線與射線cd只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是 或 h【例3】 已知關(guān)于m的一元二次方程=0.(1) 判定方程根的情況；(2) 設(shè)m為整數(shù)，方程的兩個(gè)根都大于且小于，當(dāng)方程的兩個(gè)根均為有理數(shù)時(shí)，求m的值【解析】(1) 所以無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. (2) 設(shè) 的兩根都在和之間， 當(dāng)時(shí)，即： 當(dāng)時(shí)，即： 為整數(shù)， 當(dāng)時(shí)，方程，此時(shí)方程的根為無(wú)理數(shù)，不合題意當(dāng)時(shí)，方程，不符合題意當(dāng)時(shí)，方程，符合題意 綜合可知， 題型二：函數(shù)思想思路導(dǎo)航 拋物線的重要結(jié)論當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方， 無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有. 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，

6、無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)， 或時(shí)，則；當(dāng)或時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)，或時(shí)，則；當(dāng)或時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.例題精講【引例】1. 如圖，函數(shù)的圖象如圖所示： 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 2. 如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于、兩點(diǎn) 二次函數(shù)的解析式為 當(dāng)自變量 時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨增大而增大 當(dāng)自變量 時(shí)，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值 當(dāng)自變量 時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于【解析】 1. 或； 或； 2. ； ； ； 典題精練【例4】 下列命題：若，則；若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若

7、，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是或若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根正確的是（ ）a b c d若、（）是關(guān)于的方程的兩根，且，則、的大小關(guān)系是（ ）a b c d 方程的根可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程的實(shí)根所在的范圍是（ ） a b cd 【解析】 c a b第題提示：1特殊值法2運(yùn)用法則比大小3二次函數(shù)圖象法方法一：與軸的交點(diǎn)為，把的圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，此圖象與軸的交點(diǎn)為，由圖象可得方法二：分析函數(shù) 可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則圖象可得點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)用函數(shù)思想討論方程問題，既直觀又簡(jiǎn)捷起到了簡(jiǎn)化解題過程和加快解題

8、速度的作用用函數(shù)圖象來解決方程問題起到了以形助數(shù)的作用在討論一元二次方程的解的個(gè)數(shù)、解的分布情況等問題時(shí)借助函數(shù)圖象可獲得直觀簡(jiǎn)捷的解答 【例5】 已知：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、（），若關(guān)于的另一個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都在和之間試比較：代數(shù)式、之間的大小關(guān)系【解析】 方程、分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)為和，顯然這兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸都為，即其中一個(gè)圖象可以通過上下平移得到另一個(gè)圖象，示意圖如圖所示：，即再因?yàn)榉匠逃懈?，則，【例6】 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并

9、且在這一段位于直線的下方，求該拋物線的解析式【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.拋物線對(duì)稱軸為（2）易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為則直線經(jīng)過、.沒直線的解析式為則，解得直線的解析式為（3）拋物線對(duì)稱軸為拋物體在這一段與在這一段關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在這一段位于直線的上方在這一段位于直線的下方；拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)（-1，4）當(dāng)時(shí)，拋物線解析為.【例題精講】針對(duì)例2例題精講【探究對(duì)象】二次函數(shù)中的“數(shù)形結(jié)合”.【探究方式】通過抓住直線同三角形、四邊形相交直線同拋物線相交直線同圓相交等情形的深入變化，來促使題目難度和層次差異化，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比、聯(lián)想、歸納等發(fā)散性思維，將問

10、題的結(jié)論向橫向、縱向拓展與深入，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合題型的本質(zhì)屬性，以達(dá)到深入淺出、以點(diǎn)串線的學(xué)習(xí)目的.【探究1】若點(diǎn)是四邊形邊上的點(diǎn)，且p點(diǎn)坐標(biāo)滿足，試 求z的最小值.分析：很顯然與函數(shù)平行，畫出函數(shù)的圖象，若直線 平行移動(dòng)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)符合題意，此時(shí)最小的值等于 【探究2】設(shè)二次函數(shù)的圖象與 軸交于兩點(diǎn)，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出的值.分析：設(shè)點(diǎn)c坐標(biāo)為(0，3)，注意數(shù)形結(jié)合，觀察圖象可知符合題意 的直線共有三條：分別是經(jīng)過點(diǎn)a、c的直線l1：；經(jīng)過點(diǎn)

11、b、c的直線l2：；經(jīng)過c點(diǎn)與拋物線相切的直線l3：.【探究3】設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為a，過點(diǎn)a作直線lx軸，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線 l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象. 請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)p(x0，y0)且時(shí)，求b的取值范圍.分析：點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0，)；數(shù)形結(jié)合可知，如圖所示b點(diǎn) 為縱坐標(biāo)最大時(shí)的點(diǎn)，最大值為7；則b點(diǎn)坐標(biāo)為(6，7)；直線l1：經(jīng)過b點(diǎn)時(shí)，可得；直線l2：經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)，可得；直線l3：與拋物線相切時(shí)，得；結(jié)合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為或【探究4】二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分(

12、含點(diǎn)和點(diǎn))向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將直線向上平移個(gè)單位. 請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象g有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.分析：向左平移后得到的圖象g的解析式為，；此時(shí)平移后的解析式為；由圖象可知，平移后的直線與圖象g有公共點(diǎn)，則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為b與c； 直線l1：經(jīng)過b點(diǎn)時(shí)，可得；直線l2：經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)，可得；結(jié)合圖象可知，符合題意的n的取值范圍為.(本題需注意的是要排除平移后的直線與圖象g相切的情況，可以聯(lián)立方程組后，利用判別式等于0，解得n=0，與題意矛盾，故舍去)【探究5】二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)o、a，連接這兩點(diǎn)間的線段，并以線段oa為直徑在x軸上方作半圓p，設(shè)直線l的解析式

13、為，若直線l與半圓p只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求出b的取值范圍.分析：如圖所示：當(dāng)直線l1經(jīng)過原點(diǎn)o時(shí)與半圓p有兩個(gè)交點(diǎn)，即b=0；當(dāng)直線l2與半圓p相切于b點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，如圖由題意可得rtbpc與rtcod都是等腰直角三角形，可得cp=，od=oc=；直線l1：經(jīng)過o點(diǎn)時(shí)，可得b=0；直線l2：與圓相切時(shí)，可得；結(jié)合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為 【總結(jié)】解答二次函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合的題目大概步驟：(1)要對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的各項(xiàng)參數(shù)所代表的幾何意義非常熟悉，根據(jù)給出的含參解析式盡最大可能確定出函數(shù)圖像的大概位置，例如，知道了一次函數(shù)的k，就應(yīng)該能夠確定出直線的傾斜程度；(2)在平面直角坐標(biāo)

14、系中盡可能地精確地畫出函數(shù)圖像；(3)明確導(dǎo)致函數(shù)圖像不確定的關(guān)鍵因素；分析隨著關(guān)鍵因素的變化，函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，例如：給定一條直線解析式為：，則影響該圖像的關(guān)鍵因素就是常數(shù)項(xiàng)c，二次函數(shù)的圖像隨著c的變化在上下平移.(4)根據(jù)函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，結(jié)合圖形，分析滿足題目要求的臨界圖形；(5)根據(jù)臨界圖形的函數(shù)解析式求出參數(shù)的取值范圍。臨界情形中經(jīng)常出現(xiàn)直線與圖形相切的情形，相切時(shí)解析式的求法：求過一點(diǎn)與圓相切的直線解析式，需連接圓心和切點(diǎn)，利用相似、三角函數(shù)等幾何知識(shí)求解；求過一點(diǎn)與拋物線相切的直線解析式，需將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立方程中，利用消元后產(chǎn)生的一元二次方程的判別式等于0來求解；過一點(diǎn)

15、(x0，y0)且與拋物線相切的直線的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求導(dǎo)的知識(shí)，不用細(xì)講，可以直接提供公式給學(xué)生)復(fù)習(xí)鞏固題型一 方程思想 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：寫出為何值時(shí)，的值大于；寫出為何值時(shí)，隨的增大而增大；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍【解析】 當(dāng)時(shí)，的值大于； 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大； 由圖可知，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為可列方程組為解得 解析式為 ， 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即解得【練習(xí)2】 如圖是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 求出圖象與軸的交點(diǎn)，的坐標(biāo)；

16、在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍【解析】 因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以 令，解之得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使設(shè)，則，又，即二次函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，或故點(diǎn)坐標(biāo)為或. 如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為 題型二 函數(shù)思想 鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 不論為何值時(shí)，永遠(yuǎn)是正值的條件是（ ）a，b，c，d，若拋物線位于軸上方，則的取值范圍是（ ）a bc d二次函數(shù)對(duì)于的任何值都恒為負(fù)值的條件是（ ）a， b， c， d，【解析】 a； b； d【練習(xí)4】 已知關(guān)于的一元二次方程，如果，那么方程的根的情況是（ ）a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根