備考2022年中考數(shù)學專題復習：用函數(shù)的觀點看方程與不等式

1、用函數(shù)的觀點看方程與不等式 知識互聯(lián)網(wǎng) 題型一：方程思想思路導航拋物線與軸的交點拋物線與軸必有一個交點.拋物線與軸的交點當時，拋物線與軸有兩個不同的交點.當時，拋物線與軸有一個交點.當時，拋物線與軸沒有交點.直線（或直線或直線）與拋物線的交點問題，可運用方程思想聯(lián)立方程（或或）求出方程組的解，從而得到交點坐標. 比如拋物線與軸的交點聯(lián)立方程組為，其中的是一元二次方程的兩根，則拋物線與軸交于兩點.例題精講【引例】 已知關于的二次函數(shù)探究二次函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù)，并寫出相應的的取值范圍.【解析】 令時，得：，以下分三種情況討論：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即，此時，的圖象與軸有兩個交點當

2、時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即，此時，的圖象與軸只有一個交點當時，方程沒有實數(shù)根，即，此時，的圖象與軸沒有交點綜上所述：當時，的圖象與x軸有兩個交點；當時，的圖象與軸只有一個交點；當時，的圖象與軸沒有交點典題精練【例1】 1. 拋物線與軸的交點.二次函數(shù)與軸的兩個交點坐標為、，則一元二次方程的兩根為 已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解是 2. 拋物線與直線的交點.圖中拋物線的解析式為，根據(jù)圖象判斷下列方程根的情況 方程的兩根分別為 方程的兩根分別為 方程的根的情況是 方程的根的情況是 3. 拋物線與直線的交點直線與拋物線只有一個交點，則 當取何值時，拋物線與直線： 有公共

3、點； 沒有公共點【解析】 1.，；2. 用圖象求解 ， ，直線與拋物線只有一個交點，故有兩個相等實根， 直線與拋物線有兩個交點，故原方程有兩個不相等的實根 直線與拋物線無交點，故原方程無實根3. 或； 聯(lián)立方程組即，若有公共點，解得；當時，沒有公共點 【例2】 在平面直角坐標系xoy中，拋物線與x軸交于、兩點，點的坐標為(1) 求點坐標；(2) 直線經(jīng)過點. 求直線和拋物線的解析式； 點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為將拋物線在直線上方的部分沿直線翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象請結合圖象回答：當圖象與直線只有兩個公共點時，的取值范圍是 【解析】(1) 證明：當時，方程為，所以，

4、方程有實數(shù)根. 當時，所以，方程有實數(shù)根綜上所述，無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根 (2) 令，則解關于的一元二次方程，得 ， 二次函數(shù)的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)， (3) 由(2)得拋物線的解析式為配方得拋物線的頂點直線od的解析式為于是設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），平移后的拋物線解析式為當拋物線經(jīng)過點c時，c（0，9），解得  當 h 時，平移后的拋物線與射線cd只有一個公共點 當拋物線與直線cd只有一個公共點時，由方程組，   得， 解得此時拋物線與射線cd唯一的公共點為，符

5、合題意綜上：平移后的拋物線與射線cd只有一個公共點時，頂點橫坐標的值或取值范圍是 或 h【例3】 已知關于m的一元二次方程=0.(1) 判定方程根的情況；(2) 設m為整數(shù)，方程的兩個根都大于且小于，當方程的兩個根均為有理數(shù)時，求m的值【解析】(1) 所以無論m取任何實數(shù)，方程=0都有兩個不相等的實數(shù)根. (2) 設 的兩根都在和之間， 當時，即： 當時，即： 為整數(shù)， 當時，方程，此時方程的根為無理數(shù)，不合題意當時，方程，不符合題意當時，方程，符合題意 綜合可知， 題型二：函數(shù)思想思路導航 拋物線的重要結論當時，圖象落在軸的上方， 無論為任何實數(shù)，都有. 當時，圖象落在軸的下方，

6、無論為任何實數(shù)，都有當，時，則；當時，則.當，時，則；當時，則.當， 或時，則；當或時，則；當時，則.當，或時，則；當或時，則；當時，則.例題精講【引例】1. 如圖，函數(shù)的圖象如圖所示： 當 時， ； 當 時， ； 當 時， 2. 如圖，在同一直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于點、點和點，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于、兩點 二次函數(shù)的解析式為 當自變量 時，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨增大而增大 當自變量 時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值 當自變量 時，兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于【解析】 1. 或； 或； 2. ； ； ； 典題精練【例4】 下列命題：若，則；若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；若

7、，則二次函數(shù)的圖象與坐標軸的公共點的個數(shù)是或若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根正確的是（ ）a b c d若、（）是關于的方程的兩根，且，則、的大小關系是（ ）a b c d 方程的根可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實根所在的范圍是（ ） a b cd 【解析】 c a b第題提示：1特殊值法2運用法則比大小3二次函數(shù)圖象法方法一：與軸的交點為，把的圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，此圖象與軸的交點為，由圖象可得方法二：分析函數(shù) 可知，當時，當時，與軸有兩個交點，則圖象可得點評：本題是運用函數(shù)思想討論方程問題，既直觀又簡捷起到了簡化解題過程和加快解題

8、速度的作用用函數(shù)圖象來解決方程問題起到了以形助數(shù)的作用在討論一元二次方程的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時借助函數(shù)圖象可獲得直觀簡捷的解答 【例5】 已知：關于的方程有兩個實數(shù)根是、（），若關于的另一個方程的兩個實數(shù)根都在和之間試比較：代數(shù)式、之間的大小關系【解析】 方程、分別對應的函數(shù)為和，顯然這兩個函數(shù)的圖象的對稱軸都為，即其中一個圖象可以通過上下平移得到另一個圖象，示意圖如圖所示：，即再因為方程有根，則，【例6】 在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，其對稱軸與軸交于點（1）求點，的坐標；（2）設直線與直線關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并

9、且在這一段位于直線的下方，求該拋物線的解析式【解析】（1）當時，.拋物線對稱軸為（2）易得點關于對稱軸的對稱點為則直線經(jīng)過、.沒直線的解析式為則，解得直線的解析式為（3）拋物線對稱軸為拋物體在這一段與在這一段關于對稱軸對稱結合圖象可以觀察到拋物線在這一段位于直線的上方在這一段位于直線的下方；拋物線與直線的交點橫坐標為；當時，則拋物線過點（-1，4）當時，拋物線解析為.【例題精講】針對例2例題精講【探究對象】二次函數(shù)中的“數(shù)形結合”.【探究方式】通過抓住直線同三角形、四邊形相交直線同拋物線相交直線同圓相交等情形的深入變化，來促使題目難度和層次差異化，引導學生運用類比、聯(lián)想、歸納等發(fā)散性思維，將問

10、題的結論向橫向、縱向拓展與深入，從而幫助學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中的數(shù)形結合題型的本質屬性，以達到深入淺出、以點串線的學習目的.【探究1】若點是四邊形邊上的點，且p點坐標滿足，試 求z的最小值.分析：很顯然與函數(shù)平行，畫出函數(shù)的圖象，若直線 平行移動時，可以發(fā)現(xiàn)當直線經(jīng)過點時符合題意，此時最小的值等于 【探究2】設二次函數(shù)的圖象與 軸交于兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象恰好有三個公共點時，求出的值.分析：設點c坐標為(0，3)，注意數(shù)形結合，觀察圖象可知符合題意 的直線共有三條：分別是經(jīng)過點a、c的直線l1：；經(jīng)過點

11、b、c的直線l2：；經(jīng)過c點與拋物線相切的直線l3：.【探究3】設拋物線與y軸的交點為a，過點a作直線lx軸，將拋物線在y軸左側的部分沿直線 l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象. 請你結合新圖象回答：當直線與新圖象只有一個公共點p(x0，y0)且時，求b的取值范圍.分析：點a的坐標為(0，)；數(shù)形結合可知，如圖所示b點 為縱坐標最大時的點，最大值為7；則b點坐標為(6，7)；直線l1：經(jīng)過b點時，可得；直線l2：經(jīng)過a點時，可得；直線l3：與拋物線相切時，得；結合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為或【探究4】二次函數(shù)的圖象與軸交于點(點在點的左側)，將二次函數(shù)的圖象在點間的部分(

12、含點和點)向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將直線向上平移個單位. 請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象g有公共點時，的取值范圍.分析：向左平移后得到的圖象g的解析式為，；此時平移后的解析式為；由圖象可知，平移后的直線與圖象g有公共點，則兩個臨界的交點為b與c； 直線l1：經(jīng)過b點時，可得；直線l2：經(jīng)過c點時，可得；結合圖象可知，符合題意的n的取值范圍為.(本題需注意的是要排除平移后的直線與圖象g相切的情況，可以聯(lián)立方程組后，利用判別式等于0，解得n=0，與題意矛盾，故舍去)【探究5】二次函數(shù)與x軸有兩個交點o、a，連接這兩點間的線段，并以線段oa為直徑在x軸上方作半圓p，設直線l的解析式

13、為，若直線l與半圓p只有兩個交點時，求出b的取值范圍.分析：如圖所示：當直線l1經(jīng)過原點o時與半圓p有兩個交點，即b=0；當直線l2與半圓p相切于b點時有一個交點，如圖由題意可得rtbpc與rtcod都是等腰直角三角形，可得cp=，od=oc=；直線l1：經(jīng)過o點時，可得b=0；直線l2：與圓相切時，可得；結合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為 【總結】解答二次函數(shù)中的數(shù)形結合的題目大概步驟：(1)要對一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的各項參數(shù)所代表的幾何意義非常熟悉，根據(jù)給出的含參解析式盡最大可能確定出函數(shù)圖像的大概位置，例如，知道了一次函數(shù)的k，就應該能夠確定出直線的傾斜程度；(2)在平面直角坐標

14、系中盡可能地精確地畫出函數(shù)圖像；(3)明確導致函數(shù)圖像不確定的關鍵因素；分析隨著關鍵因素的變化，函數(shù)圖象的變化趨勢，例如：給定一條直線解析式為：，則影響該圖像的關鍵因素就是常數(shù)項c，二次函數(shù)的圖像隨著c的變化在上下平移.(4)根據(jù)函數(shù)圖像的變化趨勢，結合圖形，分析滿足題目要求的臨界圖形；(5)根據(jù)臨界圖形的函數(shù)解析式求出參數(shù)的取值范圍。臨界情形中經(jīng)常出現(xiàn)直線與圖形相切的情形，相切時解析式的求法：求過一點與圓相切的直線解析式，需連接圓心和切點，利用相似、三角函數(shù)等幾何知識求解；求過一點與拋物線相切的直線解析式，需將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程中，利用消元后產(chǎn)生的一元二次方程的判別式等于0來求解；過一點

15、(x0，y0)且與拋物線相切的直線的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求導的知識，不用細講，可以直接提供公式給學生)復習鞏固題型一 方程思想 鞏固練習【練習1】 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：寫出為何值時，的值大于；寫出為何值時，隨的增大而增大；若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍【解析】 當時，的值大于； 當時，隨的增大而增大； 由圖可知，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為由拋物線的對稱性可知拋物線與軸的另一個交點為可列方程組為解得 解析式為 ， 方程有兩個不相等的實數(shù)根，即解得【練習2】 如圖是二次函數(shù)的圖象，其頂點坐標為 求出圖象與軸的交點，的坐標；

16、在二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由； 將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍【解析】 因為是二次函數(shù)的頂點坐標，所以 令，解之得，兩點的坐標分別為， 在二次函數(shù)的圖象上存在點，使設，則，又，即二次函數(shù)的最小值為，當時，或故點坐標為或. 如圖，當直線經(jīng)過點時，可得當直線經(jīng)過點時，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為 題型二 函數(shù)思想 鞏固練習【練習3】 不論為何值時，永遠是正值的條件是（ ）a，b，c，d，若拋物線位于軸上方，則的取值范圍是（ ）a bc d二次函數(shù)對于的任何值都恒為負值的條件是（ ）a， b， c， d，【解析】 a； b； d【練習4】 已知關于的一元二次方程，如果，那么方程的根的情況是（ ）a有兩個不相等的實數(shù)根