備考2022數(shù)學(xué)專(zhuān)題04 實(shí)數(shù)和二次根式的運(yùn)算（原卷版）

1、專(zhuān)題04 實(shí)數(shù)和二次根式的運(yùn)算一、實(shí)數(shù)1.實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。2有理數(shù)：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)叫做有理數(shù)。3無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來(lái)有四類(lèi)：（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡(jiǎn)后含有的數(shù)，如+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等。4.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。0的算術(shù)平方根為0；從定義可知，只有當(dāng)a0時(shí),a才有算術(shù)平方根。5平方根：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方

2、跟）。即若x2=a，則x叫做a的平方根。6一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0，；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。7一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a 的三次方根）。8一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。 二、二次根式1二次根式的定義：形如式子（0）叫做二次根式。（或是說(shuō)，表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子，叫做二次根式）。2二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)03.二次根式的性質(zhì)（1）是非負(fù)數(shù)；（0）（0）0 （=0）；（2）（）2= （0）； （3）（4）非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = · （a0,

3、b0）。（5）非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a0,b>0）。反之， 三、分母有理化1最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式； 被開(kāi)方數(shù)中不含分母； 分母中不含根式。2同類(lèi)二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類(lèi)二次根式。3分母有理化：分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。4分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。5有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如

4、果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。6找有理化因式的方法：（1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分。如： 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 。（2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分。即的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ，的有理化因式為 四、二次根式的運(yùn)算1二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類(lèi)二次根式分別合并。一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式（2）判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)二次根式結(jié)合成一組（3）合并同類(lèi)二次根式2 二次根式的乘法

5、兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）?！纠}1】（2020湖州）數(shù)4的算術(shù)平方根是（）a2b2c±2d2【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020泰州）9的平方根等于 【例題2】（2020臺(tái)州）無(wú)理數(shù)10在（）a2和3之間b3和4之間c4和5之間d5和6之間【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019甘肅慶陽(yáng)）下列整數(shù)中，與最接近的整數(shù)是（）a3b4c5d6【例題3】（2020達(dá)州）計(jì)算：22+（13）2+（-5）0+3-125【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020嘉興模擬）計(jì)算： 【例題4】（2020哈爾濱）計(jì)算24+616的結(jié)果是 【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019山

6、東省聊城市）下列各式不成立的是（）ab2c+5d【例題5】（2020濱州）若二次根式x-5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019甘肅）使得式子有意義的x的取值范圍是（）ax4bx4cx4dx4【例題6】（2020涼山州）下列等式成立的是（）a81=±9b|5-2|=-5+2c（-12）12d（tan45°1）01【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019湖南益陽(yáng))觀察下列等式：3(1)2，5()2，7()2，請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出第6個(gè)等式 【例題7】（2019山東威海）計(jì)算（3）0+（）1的結(jié)果是（）a1+b1+2cd1+4【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019廣東）先化簡(jiǎn)，再求值：

7、，其中x=一、選擇題1（2020達(dá)州）下列各數(shù)中，比3大比4小的無(wú)理數(shù)是（）a3.14b103c12d172.（2019四川省達(dá)州市）下列判斷正確的是（）a0.5b若ab0，則ab0c d3a可以表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的周長(zhǎng)3.（2019湖南常德）下列運(yùn)算正確的是（）a+b3c2d4.（2019山東省濟(jì)寧市 ）下列計(jì)算正確的是（）a3bc±6d0.65.（2019湖南益陽(yáng)）下列運(yùn)算正確的是（）a2b（2）26c+d×6.（2019湖北省荊門(mén)市）的倒數(shù)的平方是（）a2bc2d二、填空題7（2020河南）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)大于1，且小于3的無(wú)理數(shù)是 8（2020南充）計(jì)算：|1-2

8、|+20 9（2020自貢）與14-2最接近的自然數(shù)是 10（2020重慶）計(jì)算：（15）1-4= 11（2020遂寧）下列各數(shù)3.1415926，9，1.212212221，17，2，2020，34中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有 個(gè)12（2020寧波）實(shí)數(shù)8的立方根是 13（2020鳳山縣一模）計(jì)算：9-1 14（2020泰州）9的平方根等于 15（2020河南）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)大于1且小于2的無(wú)理數(shù) 16（2020遵義）計(jì)算：12-3的結(jié)果是17.（2019山東省濱州市 ）計(jì)算：（）2|2|+÷ 18.（2019江蘇揚(yáng)州）計(jì)算：（2）2018（+2）2019的結(jié)果是 19.(2019四川綿陽(yáng))單項(xiàng)

9、式x-|a-1|y與2xy是同類(lèi)項(xiàng)，則ab=_20.（2019貴州遵義）計(jì)算 的結(jié)果是 21.（2019南京）計(jì)算的結(jié)果是 22.（2019寧夏）計(jì)算： 23.（2019廣東廣州）代數(shù)式有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是 24（2019山東臨沂）一般地，如果x4a（a0），則稱(chēng)x為a的四次方根，一個(gè)正數(shù)a的四次方根有兩個(gè)它們互為相反數(shù)，記為±，若10，則m_25.（2019山東棗莊）觀察下列各式：1+1+（1），1+1+（），1+1+（），請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：+，其結(jié)果為 三、解答題26（2020瀘州）計(jì)算：|5|（2020）0+2cos60°+（13）127（2020連云港）計(jì)算（1）2020+（15）1-36428（2020蘇州）計(jì)算：9+（2）2（3）029（2020河南）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-1a+1）÷aa2-1，其中a=5+130（2020成都）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-1x+3）÷x+2x2-9，其中x3+231（2020哈爾濱）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（1