第02講 旋轉(zhuǎn)問(wèn)題專題-備考2022年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國(guó)通用)原卷板

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)的理解 1. 將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，如圖所示；2. 旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，即旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形；狀如aoba1ob1；3. 圖形的旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)上是圖形上的點(diǎn)在同心圓上作同步運(yùn)動(dòng)；4. 以每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰aoa1等腰bob'1；5. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為特殊角時(shí)，如60°、90°等，會(huì)出現(xiàn)特殊等腰三角形，如等邊三角形、等腰直角三角形等；6. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不大于90°時(shí)，對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，如ab與a

2、1b1所在直線的夾角等于aoa1；7. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不大于90時(shí)，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在直線（如aa1與bb1)的夾角等于aob。 圖1 圖2二、位似的理解1. 如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比，如圖2所示；2. 位似前后的兩個(gè)圖形相似，即位似不改變圖形的形狀，它可以將一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮?。?. 圖形的位似，本質(zhì)上是圖形上的點(diǎn)在共頂點(diǎn)的直線上的同步運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<1>：共頂點(diǎn)模型的旋轉(zhuǎn)全等1. 如圖1-1，abc繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)到ab1c1，則有abb1acc1（sas

3、）；2. 如圖1-2，若abc與aed式等邊三角形，則abeacd（sas）；3. 如圖1-3，若abc與aed式等腰直角三角形，則abdace（sas）； 圖1-1 圖1-2 圖1-3旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<2>：角含半角旋轉(zhuǎn)模型1. 如圖2-1，在正方形 abcd中，若ebf=45°，將bae繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)至bcg，則有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.2. 如圖2-2，在四邊形abcd中，若ba=bc， abc+d=180°，且ebf=abc， 圖2-1則有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.3. 如圖2-3，在等腰rtabc中，若交dae

4、=45°，可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，則有de2=bd2+ce2；4. 如圖2-4，在等腰rtabc中，若交dae=45°，可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，仍有de2=bd2+ce2；5. 如圖2-5，在等腰rtabc中，若交dae=135°， 圖2-2可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，則有de2=bd2+ce2；圖2-3 圖2-4 圖2-5旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<3>：對(duì)角互補(bǔ)模型1. 如圖3-1，已知四邊形abcd中，bdc=bac=90°，且db=dc，則有ab+ac=ad；2. 如圖3-2，已知四邊形abcd中，bdc=bac=90°，且db

5、=dc，則有ab-ac=ad； 圖3-1 圖3-23. 如圖3-3，已知等邊abc，且bpc=120°，則有pa=pb+pc；4. 如圖3-4，已知等邊abc，且bpc=30°，則有pa2=pb2+pc2； 圖3-3 圖3-45. 如圖3-5，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=60°，則有pb+pc=pa；6. 如圖3-6，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=120°，則有pc-pb=pa； 圖3-5 圖3-6旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<4>：旋轉(zhuǎn)相似模型1. 如圖4-1，已知等腰abc，ab=ac，將abd旋轉(zhuǎn)至ac

6、e，則有adeabc；2. 如圖4-2，若adeabc，則有adeabc； 圖4-1 圖4-2旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<5>：費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)模型1. 如圖5-1，在abc中找一點(diǎn)p，使得ap+bp+cp的值最小，將apc繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至aqe，則有ap+bp+cp=pq+bp+qebe，當(dāng)且僅當(dāng)b、p、q、e四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為be，且此時(shí)有apb=bpc=apc=120°. 圖5-1 2. 如圖5-2，等腰abc中，bac=120°，p是abc內(nèi)部一點(diǎn)，且ap=1，cp=，apc=120°，求bp的長(zhǎng)。（將apb繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至ad

7、c，連接pd計(jì)算可得bp=）3. 如圖5-3，等腰rtabc中，bac=90°，p是abc內(nèi)部一點(diǎn)，且cp=1，ap=，bp=，求apc的度數(shù)。（將apb繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至adc，連接pd計(jì)算可得apc=135°） 圖5-2 圖5-3 【例題1】（1）如圖1，已知acbdce90°,acbc6，cdce，ae3,cae45°,求ad長(zhǎng)（2）如圖2，已知acbdce90°，abccedcae30°，ac3，ae8，求ad長(zhǎng)【例題2】（1）如圖1，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=45°，b

8、d=4，cd=，求ad的長(zhǎng).（2） 如圖2，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=75°，bd=6，ad=，求cd的長(zhǎng).（3） 如圖3，在四邊形abcd中，bc=cd，bcd=90°，若ab=4，ad=3，求對(duì)角線ac的最大值. 圖1 圖2 圖3【例題3】如圖，在abc中，bac=90°，ab=，ac=，將abc繞著點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)得到ade，連接db、ec，直線db、ec相交于點(diǎn)f，點(diǎn)p是ac中點(diǎn)，線段pf的最大值為_(kāi).【例題4】（1）如圖1，ac，bd是四邊形abcd的對(duì)角線，若acbacdabdadb60°，則線段bc，cd，ac三者之間

9、有何等量關(guān)系？（2）如圖2，如果把“acbacdabdadb60°”改為“acbacdabdadb45°”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？（3）如圖3，如果把“acbacdabdadb60°”改為“acbacdabdadb”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？ 圖1 圖2 圖3【例題5】【操作】bd是矩形abcd的對(duì)角線，ab4，bc3將bad繞著點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（0°360°）得到bef，點(diǎn)a、d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為e、f若點(diǎn)e落在bd上，如圖，則de【探究】當(dāng)點(diǎn)e落在線段df上時(shí)，cd與be

10、交于點(diǎn)g其它條件不變，如圖（1）求證：adbedb；（2）cg的長(zhǎng)為【拓展】連結(jié)cf，在bad的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)cef的面積為s，直接寫出s的取值范圍【例題6】如圖，在abc中，abac2，bac120°，點(diǎn)d、e都在邊bc上，dae60°若bd2ce，則de的長(zhǎng)為【例題7】如圖，如四邊形abcd中，ad=cd，abc=75°，adc=60°，ab=2，bc=，求四邊形abcd的面積.1如圖，p為等邊三角形abc內(nèi)的一點(diǎn)，且p到三個(gè)頂點(diǎn)a，b，c的距離分別為3，4，5，則abc的面積為（）abcd2（2019巴中）如圖，等邊三角形abc內(nèi)有一點(diǎn)p，分別連結(jié)

11、ap、bp、cp，若ap6，bp8，cp10則sabp+sbpc3（2019綿陽(yáng)）如圖，abc、bde都是等腰直角三角形，babc，bdbe，ac4，de2將bde繞點(diǎn)b逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得bde，當(dāng)點(diǎn)e恰好落在線段ad上時(shí)，則ce4（2019十堰）如圖，正方形abcd和rtaef，ab5，aeaf4，連接bf，de若aef繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，當(dāng)abf最大時(shí)，sade5（2019營(yíng)口）如圖，abc是等邊三角形，點(diǎn)d為bc邊上一點(diǎn)，bddc2，以點(diǎn)d為頂點(diǎn)作正方形defg，且debc，連接ae，ag若將正方形defg繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)ae取最小值時(shí)，ag的長(zhǎng)為6如圖，rtabc中，acb90°，

12、將abc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ebd，連接dc并延長(zhǎng)交ae于點(diǎn)f，若cf1，cd2，則ae的長(zhǎng)為7如圖，點(diǎn)c在以ab為直徑的半圓上，ab8，cba30°，點(diǎn)d在線段ab上從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b，點(diǎn)e與點(diǎn)d關(guān)于ac對(duì)稱，dfde于點(diǎn)d，并交ec的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f（1）求證：cecf；（2）求線段ef的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)d從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，試求線段ef掃過(guò)的面積（直接寫出結(jié)果）8類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”（1）如圖1，在四邊形abcd中添加一個(gè)條件使得四邊形abcd是“等鄰邊四邊形”請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件（2）問(wèn)題探究：小紅提出了一個(gè)

13、猜想：對(duì)角線互相平分且相等的“等鄰邊四邊形”是正方形她的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖2，“等鄰邊四邊形”abcd中，abad，bad+bcd90°，ac，bd為對(duì)角線，試探究線段bc，cd，bd之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論9如圖1，已知abc為等邊三角形，點(diǎn)d，e分別在邊ab、ac上，adae，連接dc，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)（1）觀察猜想：在圖1中，線段pm與pn的數(shù)量關(guān)系是，mpn的度數(shù)是；（2）探究證明：把a(bǔ)de繞點(diǎn)a逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，判斷pmn的形狀，并說(shuō)明理由；求mpn的度數(shù)；（3）拓展延伸：若abc為直角三角形，bac90°，abac12，點(diǎn)de分別在邊ab，ac上，adae4，連接dc，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)把a(bǔ)de繞點(diǎn)a在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3pmn的是三角形直接利用中的結(jié)論，求pmn面積的最大值10在abc中，abc60°.（1）abac，pa5，pb3如圖1，若點(diǎn)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，且pc4，求bpc的度數(shù)如圖2，若點(diǎn)p是abc外一點(diǎn)，且apb60°，求pc的長(zhǎng)（2）如圖3，abac，點(diǎn)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，ab6，bc8，則pa+p