全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科試卷湖南卷(解析版)

1、絕密啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖南卷數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)本試卷包括選擇題、填空題和解答題三局部，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，總分值150分。一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z=ig(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i 1,所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)(-1,1).選B選B 2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，那么宜

2、采用的抽樣方法是A抽簽法 B隨機(jī)數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法【答案】 D【解析】 因?yàn)槌闃拥哪康呐c男女性別有關(guān)，所以采用分層抽樣法能夠反映男女人數(shù)的比例。 選D 3.在銳角中DABC，角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.假設(shè)2asinB=,那么角A等于Ap12 Bp6 Cp4 Dp3【答案】 D【解析】 由2asinB=選D 3b得: 2sinA ×sinB = 3×sinBÞsinA = 3pp，A<ÞA = 223ìy£2xï4.假設(shè)變量x,y滿足約束條件íx+y£1，那么x+2y的最大值是&#

3、239;y³-1î555A- B0 C D 232【答案】 C【解析】 區(qū)域?yàn)槿切危本€u = x + 2y 經(jīng)過(guò)三角形頂點(diǎn)(,)時(shí)，u=選C 12335最大 35.函數(shù)f(x)=2lnx的圖像與函數(shù)g(x)=x2-4x+5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A3 B2 C1 D0【答案】 B【解析】 二次函數(shù)g(x)=x-4x+5的圖像開(kāi)口向上，在x軸上方，對(duì)稱(chēng)軸為x=2，2g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4&gt;1.所以g(2) &lt; f(2), 從圖像上可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2選B b=0.假設(shè)向量c滿足c-a-b=1,那么c的取值范圍是 6. a,b是單

4、位向量，agAùùû Bûéù Céùë1û Dë1û【答案】 A【解析】Qa,b是單位向量，|a+b|=2,|c-a-b|=|(a+b)-c|=1.即一個(gè)模為2的向量與c向量之差的模為1，可以在單位圓中解得2-1£|£選A 2+1。 7棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積不可能等于 A1 BC【答案】 C【解析】 由題知，正方體的棱長(zhǎng)為1， D正視圖的高為1，寬在區(qū)間1,2上，所以正視圖的面積也在區(qū)間1,2上.而。選

5、C 2-1<12 8.在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC,CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P如圖1.假設(shè)光線QR經(jīng)過(guò)DABC的中心，那么AP等A2 B1 84C D 33【答案】 D【解析】 使用解析法。244設(shè)P(x,0),BC的中點(diǎn)D(2,2).QDABC的重心O在中線的處，O(,). 3334444(k+2)4(2k+1)設(shè)直線RQ的斜率為k,那么其方程為y=k(x-)+ÞR(0,(1-k),Q(,)3333(k+1)3(k+1)。kRP=4(k-1)4(2k+1),kQP=,由題知k+kRP=0,k×kQP=1&#

6、222;(2k-1)(k-1)=034(k+2)-3x(k+1)ìk=ïìk=1ïÞí，íx=0(舍îïx=ïî選D 12 43 二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每題5分，共35分.一選做題請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，那么按前兩題計(jì)分ìx=t,ìx=3cosj,l:í(t為參數(shù))過(guò)橢圓C:í9.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，假設(shè)îy=t-aîy=2sinj(j為參數(shù))的右頂點(diǎn)，那么常數(shù)a的值為

7、3.【答案】 3【解析】x2y2直線l方程:y=x-a,橢圓方C+=1的右頂點(diǎn)(-3,0)Þ-3=0-aÞa=3 94 10.a,b,cÎ,a+2b+3c=6,那么a2+4b2+9c2的最小值為12【答案】 12【解析】 考察柯西不等式.2(12+12+12)×(a2+(2b)2+(3c)2)³1×a+1×2b+1×3c=36Þa2+4b2+9c2³12 2且當(dāng)a=2,b=1,c=時(shí)，取最小值. 3 11.如圖2的gO中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,PA=PB=2, PD=1，那么圓心O到弦CD的距

8、離為【答案】【解析】 3 2由相交弦定理得AP×PB=DP×PCÞPC=4,DC=5，圓心到CD的距離d=r2-( PC23)=22一 必做題12-16題12.假設(shè)òx2dx=9,那么常數(shù)T的值為 3 . 0T【答案】 3【解析】òT0x3xdx=32T0T3=9ÞT=3 3 13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入a=1,b=2,那么輸出的a的值為.【答案】 9【解析】 a=1+2+2+2+2=9 x2y214設(shè)F1,F2是雙曲線C:2-2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，假設(shè)abPF+PF2=6a,且DP

9、F1F2的最小內(nèi)角為30o，那么C的離心率為_(kāi)?！敬鸢浮?3 【解析】 設(shè)P點(diǎn)在右支上，m=|PF1|,n=|PF2|,那么íìm+n=6aÞm=4a,n=2aîm-n=2a16a2+4c2-4a213ac3由題知，DPF1F2中，ÐPF1F2=30°.由余弦定理得:cos30°=(+)=2×8ac4ca2 Þe=c=3 a15設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn=(-1)nan-1a3=_；2S1+S2+×××+S100=_?！敬鸢浮?1*,nÎN,那么 n23

10、36;m+n=6aÞm=4a,n=2aîm-n=2a【解析】 設(shè)P點(diǎn)在右支上，m=|PF1|,n=|PF2|,那么í 16設(shè)函數(shù)f(x)=a+b-c,其中c>a>0,c>b>0. xxx且a=b，那么1記集合M=(a,b,c)a,b,c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，(a,b,c)ÎM所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)(0，1_?！敬鸢浮?(0，1【解析】acln2 由題知c>a,c³a+b=2a，令f(x)=2ax-cx=cx2()x-1=0Þ()x=2Þx=calnaccln2ln2ln2&

11、#222;³2.又Qln³ln2>0Þ³>0,x=Î(0，1。 ccaaln2lnlnaa所以f(x)的零點(diǎn)集合為(0，1 2假設(shè)a,b,c是DABC的三條邊長(zhǎng)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 .寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)"xÎ(-¥,1),f(x)>0; $xÎR,使xax,bx,cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；假設(shè)DABC為鈍角三角形，那么$xÎ(1,2),使f(x)=0.【答案】 【解析】ababababa+b-cf(x)=cx()x+()x-1,Q<1,<1,&qu

12、ot;xÎ(-¥,1),()x+()x-1>()1+()1-1=>0ccccccccc1所以正確。 假設(shè)三角形為鈍角三角形，那么令a2+b2-c2<0;f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0 ÞxÎ(1,2),使f(x)=0。所以正確。 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17本小題總分值12分 函數(shù)f(x)=sin(x-ppx)+cos(x-).g(x)=2sin2。 632g(a)的值； I假設(shè)a是第一象限角，且f(a)=II求使f(x)³g(x)成立

13、的x的取值集合?！敬鸢浮?I【解析】 I1 5II2kp,2kp+2p,kÎZ 3f(x)=311333. sinx-cosx+cosx+sinx=3sinxÞf(a)=3sina=222253p4a1Þsina=,aÎ(0,)Þcosa=,且g(a)=2sin2=1-cosa= 52525 IIf(x)³g(x)Þ3sinx³1-cosxÞ31p1sinx+cosx=sin(x+)³ 2262Þx+ p6Î2kp+p6,2kp+5p2pÞxÎ2kp,2k

14、p+,kÎZ.(完) 63 18本小題總分值12分某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn)處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y單位：kg與它的“相近作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：這里，兩株作物“相近是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。I從三角形地塊的 E(Y)=46 9【解析】 () 由圖知，三角形邊界共有12個(gè)格點(diǎn),內(nèi)部共有3個(gè)格點(diǎn).從三角形上頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始，分別有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1對(duì)格點(diǎn)，共8對(duì)格點(diǎn)恰好“相近。 【答案】 p=所以，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)

15、選取一株作物，它們恰好“相近的概率 P=82= 12×39 見(jiàn)下 【解析】 () 21 7QABCD-A1B1C1D1是直棱柱BB1面ABCD,且BDÌ面ABCDÞBB1AC 又QACBD,且BDÇBB1=B,AC面BDB1。QB1DÌ面BDB1，ACB1D. (證畢)QB1C1/BC/AD,直線B1C1與平面ACD1的夾角即直線AD與平面ACD1的夾角q。建立直角坐標(biāo)系，用向量解題。設(shè)原點(diǎn)在A點(diǎn)，AB為Y軸正半軸，AD為X軸正半軸。設(shè)A(0,0，0),D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，那么=(1,y,0

16、),=(3,-y,0),QAC×BD=0Þ3-y2+0=0,y>0Þy=3.AC=(1,3,0),AD1=(3,0,3). ìïn×AC=0設(shè)平面ACD1的法向量為,那么íÞ.平面ACD1的一個(gè)法向量=-313,AD=3，0，3ïî×AD1=0 平面ACD1的一個(gè)法向量=-313,=3，0，0Þsinq=|cos<,>|= 3321=77×3所以BD1與平面ACD1夾角的正弦值為21。(完) 720本小題總分值13分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)

17、M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑。如圖6所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處?，F(xiàn)方案在x軸上方區(qū)域包含x軸內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。 I寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式不要求證明；II假設(shè)以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑長(zhǎng)度值和最小?！敬鸢浮?d= |x 3| + |y 20|，y³0,xÎR.當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿足P(3,1)

18、時(shí), 其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑長(zhǎng)度值和最小為45【解析】 設(shè)點(diǎn)P(x,y),且y³0.() 點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,20)的“L路徑的最短距離d,等于水平距離+垂直距離，即d=|x - 3| + |y - 20|，其中y³0,xÎR. 本問(wèn)考查分析解決應(yīng)用問(wèn)題的能力，以及絕對(duì)值的根本知識(shí)。點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的“L路徑長(zhǎng)度之和的最小值d = 水平距離之和的最小值h + 垂直距離之和的最小值v。且h和v互不影響。顯然當(dāng)y=1時(shí)，v = 20+1=21；顯然當(dāng)xÎ-10,14時(shí)，水平 距離之和h=x (-10) + 14 x + |x-3| ³24,且當(dāng)x

19、=3時(shí)，h=24.因此,當(dāng)P(3,1)時(shí)，d=21+24=45. 所以，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿足P(3,1)時(shí),點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的“L路徑長(zhǎng)度之和d的最小值為45.21本小題總分值13分過(guò)拋物線E:x=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同的直線l1,l2，且2k1+k2=2，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓NM，N為圓心的公共弦所在的直線記為l。uuuuruuur2I假設(shè)k1>0,k2>0，證明；FMgFN<2P；II假設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為2，求拋物線E的方程。 【答案】 見(jiàn)下 x=16y【解析】

20、 () F(0,p ).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34)，2p直線l1方程：y=k1x+,與拋物線E方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得：-x2+2pk1x+p2=0 2x+xp22Þx1+x2=2k1p,x1×x2=-p2=0Þx12=12=k1p,y12=k1p+ÞFM=(k1p,-k1p)22x+xp22同理,Þx34=12=k2p,y34=k2p+ÞFN=(k2p,-k2p). 22ÞFM×FN=k1k2p2+k1k2p2=p2k1k2(k

21、1k2+1)Qk1>0,k2>0,k1¹k2,2=k1+k2³2k1k2Þk1k2£1,FM×FN=p2k1k2(k1k2+1)<p2×1×(1+1)=2p2所以，F(xiàn)M×FN<2p2成立. (證畢)221pp1p22設(shè)圓M、N的半徑分別為r1,r2Þr1=(+y1)+(+y2)=p+2(k1p+)=k1p+p,22222 Þr1=k1p+p,同理2r1=k2p+p, 22設(shè)圓M、N的半徑分別為r1,r2.那么M、N的方程分別為(x-x12)2+(y-y12)2=r12，

22、(x-x34)2+(y-y34)2=r2，直線l的方程為：2(x34-x12)x+2(y34-y12)y+x12-x34+y12-y34-r1+r2=0.Þ2p(k2-k1)x+2p(k2-k1)y+(x12-x34)(x12-x34)+(y12-y34)(y12-y34)+(r2-r1)(r2+r1)=0222222222 Þ2p(k2-k1)x+2p(k2-k1)y+2p2(k1-k2)+p2(k1-k2)(k1+k2+1)+p2(k2-k1)(k1+k2+2)=0Þx+2y-p-p(k1+k2+1)+p(k1+k2+2)=0Þx+2y=0 2222

23、2222222222112(-)2+(-)+1x+2y122k+k1+17p7點(diǎn)M(x12,y12)到直線l的距離d=|12|=p×|1|³p×=55558552Þp=8Þ拋物線的方程為x2=16y .(完) 22本小題總分值13分a>0，函數(shù)f(x)=x-a。 x+2aI；記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a),求g(a)的表達(dá)式；II是否存在a，使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4) (0,) 2ï1,當(dāng)aÎ(1,+¥)時(shí)ïî23aìx-a=1-,當(dāng)x<-2a,或x&#

24、179;a時(shí)，是單調(diào)遞增的。ïïx+2ax+2a【解析】a>0,f(x)=íï-x+a=-1+3a,當(dāng)-2a<x<a時(shí)，是單調(diào)遞減的。ïx+2aîx+2a()由上知，當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在xÎ0,4上單調(diào)遞減，其最大值為f(0)=-1+當(dāng)a£4時(shí)，f(x)在0,a上單調(diào)遞減，在a,4上單調(diào)遞增。3a1= 2a2令f(4)=1-3a1<f(0)=,解得：aÎ(1,4,即當(dāng)aÎ(1,4時(shí)，g(a)的最大值為f(0); 4+2a2當(dāng)aÎ(0,1時(shí)，g(a)的最大值為f(4)3aì1-,當(dāng)aÎ(0,1時(shí)ïï4+2a綜上，g(a)=