浙江省衢州市2016年中考數(shù)學(xué)(浙教版)專題訓(xùn)練：解直角三角形

1、浙江省衢州市2016年中考數(shù)學(xué)（浙教版）專題訓(xùn)練：解直角三角形一、選擇題（共5小題）1如圖，輪船從B處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東20°方向勻速航行，在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東50°方向上，輪船航行40分鐘到達(dá)C處，在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東10°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）A20海里B40海里C海里D海里2如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長(zhǎng)是（）A2海里B2sin55°海里C2cos55°海里D2tan55°海里3如圖，一

2、漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)40海里到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)，測(cè)得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD是（）A20海里B40海里C20海里D40海里4如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km、從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為（）A4kmB（2+）kmC2kmD（4）km5有一輪船在A處測(cè)得南偏東30°方向上有一小島P，輪船沿正南方向航行至B處，測(cè)得小島P在南偏東45°方向上，按原方向再航行10海

3、里至C處，測(cè)得小島P在正東方向上，則A，B之間的距離是（）海里A10B1010C10D1010二、填空題（共4小題）6如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為7如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里那么該船繼續(xù)航行海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置8如圖，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行

4、，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離為米9如圖，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A、B、C在同一條直線上），則河的寬度AB約為m（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）三、解答題（共21小題）10如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45

5、°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）11如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口O，同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給游船送去（1）快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的距離12如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時(shí)勻速航行

6、，在A處觀測(cè)到燈塔C在北偏西60°方向上，航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)觀察到燈塔C在北偏西30°方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時(shí)漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：1.732）13（2015濟(jì)寧）閱讀材料：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等， =，利用上述結(jié)論可以求解如下題目：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c若A=45°，B=30°，a=6，求b解：在ABC中， =b=3理解應(yīng)用：如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙

7、船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里（1）判斷A1A2B2的形狀，并給出證明；（2）求乙船每小時(shí)航行多少海里？14如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時(shí)刻航行到A處，測(cè)得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時(shí)的速度繼續(xù)航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得該島在北偏東75°方向，求此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：1.414，結(jié)果精確到0.1）15為保護(hù)漁民的生命財(cái)產(chǎn)安全，我國(guó)政府在南海海域新建了一批觀測(cè)點(diǎn)和避風(fēng)港某日在觀

8、測(cè)點(diǎn)A處發(fā)現(xiàn)在其北偏西36.9°的C處有一艘漁船正在作業(yè)，同時(shí)檢測(cè)到在漁船的正西B處有一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)正以每小時(shí)40海里的速度向正東方向移動(dòng)，于是馬上通知漁船到位于其正東方向的避風(fēng)港D處進(jìn)行躲避已知避風(fēng)港D在觀測(cè)點(diǎn)A的正北方向，臺(tái)風(fēng)中心B在觀測(cè)點(diǎn)A的北偏西67.5°的方向，漁船C與觀測(cè)點(diǎn)A相距350海里，臺(tái)風(fēng)中心的影響半徑為200海里，漁船的速度為每小時(shí)18海里，問漁船能否順利躲避本次臺(tái)風(fēng)的影響？（sin36.9°0.6，tan36.90.75，sin67.50.92，tan67.52.4）16如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)碼頭，A在B的正東方向，一艘小船從A碼

9、頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達(dá)點(diǎn)P處，此時(shí)從B碼頭測(cè)得小船在它的北偏東45°的方向求此時(shí)小船到B碼頭的距離（即BP的長(zhǎng)）和A、B兩個(gè)碼頭間的距離（結(jié)果都保留根號(hào)）17如圖，海面上B、C兩島分別位于A島的正東和正北方向一艘船從A島出發(fā)，以18海里/時(shí)的速度向正北方向航行2小時(shí)到達(dá)C島，此時(shí)測(cè)得B島在C島的南偏東43°求A、B兩島之間的距離（結(jié)果精確到0.1海里）【參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】18如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向，距離燈塔100海里的A

10、處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處（1）在圖中畫出點(diǎn)B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù)）；（2）用方向和距離描述燈塔P相對(duì)于B處的位置（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33， =1.41）19如圖，要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離，在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30°方向上，在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45°方向上，又測(cè)得BC=150m求A點(diǎn)到河岸BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）20如圖，某漁船在小島O南偏東75°方向的

11、B處遇險(xiǎn)，在小島O南偏西45°方向A處巡航的中國(guó)漁政船接到求救信號(hào)后立刻前往救援，此時(shí)，中國(guó)漁政船與小島O相距8海里，漁船在中國(guó)漁政船的正東方向上（1）求BAO與ABO的度數(shù)（直接寫出答案）；（2）若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能否在1小時(shí)內(nèi)趕到？請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：tan75°3.73，tan15°0.27，1.41，2.45）21如圖，海中一小島上有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，某天上午9：00觀測(cè)到某漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的西南方向上的B處跟蹤魚群由南向北勻速航行當(dāng)天上午9：30觀測(cè)到該漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的北偏西60°方向上的C處若該漁船的速度為

12、每小時(shí)30海里，在此航行過程中，問該漁船從B處開始航行多少小時(shí)，離觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近？（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）22如圖，某市對(duì)位于筆直公路AC上兩個(gè)小區(qū)A、B的供水路線進(jìn)行優(yōu)化改造供水站M在筆直公路AD上，測(cè)得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū)A、B之間的距離為300（+l）米，求供水站M分別到小區(qū)A、B的距離（結(jié)果可保留根號(hào)）23如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向（北偏東45°），以40千米/小時(shí)的速度勻速移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離60千米的地方有一城市A（1）問：A市是否會(huì)受到此臺(tái)

13、風(fēng)的影響，為什么？（2）在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B，問：B市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求出受到影響的時(shí)間；若不受到影響，請(qǐng)說明理由24如圖，一海倫位于燈塔P的西南方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東60°方向上的B處，求航程AB的值（結(jié)果保留根號(hào)）25某海域有A，B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）26如圖，

14、我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業(yè)時(shí)突遇特大風(fēng)浪，船長(zhǎng)馬上向我國(guó)漁政搜救中心發(fā)出求救信號(hào)，此時(shí)一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)，于是決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方向以每小時(shí)30海里的速度航行半小時(shí)到達(dá)C處，同時(shí)捕魚船低速航行到A點(diǎn)的正北1.5海里D處，漁政船航行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得點(diǎn)D在南偏東53°方向上（1）求CD兩點(diǎn)的距離；（2）漁政船決定再次調(diào)整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點(diǎn)E處相會(huì)合，求ECD的正弦值（參考數(shù)據(jù)：sin53°，cos53°，tan53

15、6;）27我國(guó)為了維護(hù)隊(duì)釣魚島P的主權(quán)，決定對(duì)釣魚島進(jìn)行常態(tài)化的立體巡航在一次巡航中，輪船和飛機(jī)的航向相同（APBD），當(dāng)輪船航行到距釣魚島20km的A處時(shí)，飛機(jī)在B處測(cè)得輪船的俯角是45°；當(dāng)輪船航行到C處時(shí)，飛機(jī)在輪船正上方的E處，此時(shí)EC=5km輪船到達(dá)釣魚島P時(shí)，測(cè)得D處的飛機(jī)的仰角為30°試求飛機(jī)的飛行距離BD（結(jié)果保留根號(hào)）28如圖所示，某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測(cè)量山坡的坡度，即tan的值測(cè)量員在山坡P處（不計(jì)此人身高）觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔，測(cè)得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°已知塔高BC=80米

16、，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi)，求山坡的坡度（參考數(shù)據(jù)sin26.6°0.45，tan26.6°0.50；sin37°0.60，tan37°0.75）29如圖，山頂有一鐵塔AB的高度為20米，為測(cè)量山的高度BC，在山腳點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A和塔基B的仰角分別為60°和45°求山的高度BC（結(jié)果保留根號(hào)）30小亮和小紅在公園放風(fēng)箏，不小心讓風(fēng)箏掛在樹梢上，風(fēng)箏固定在A處（如圖），為測(cè)量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他倆按如下步驟操作：第一步：小亮在測(cè)點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得仰角ACE=第二步：小紅量得測(cè)點(diǎn)D處

17、到樹底部B的水平距離BD=a第三步：量出測(cè)角儀的高度CD=b之后，他倆又將每個(gè)步驟都測(cè)量了三次，把三次測(cè)得的數(shù)據(jù)繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)你根據(jù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問題（1）把統(tǒng)計(jì)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)填入相應(yīng)的表格中：ab第一次第二次第三次平均值（2）根據(jù)表中得到的樣本平均值計(jì)算出風(fēng)箏的高度AB（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）浙江省衢州市2016年中考數(shù)學(xué)（浙教版）專題訓(xùn)練：解直角三角形參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題）1如圖，輪船從B處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東20°方向勻速航行，在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東50°方向上，輪船航行40分鐘到達(dá)C處，

18、在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東10°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）A20海里B40海里C海里D海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】作AMBC于M由題意得，DBC=20°，DBA=50°，BC=60×=40海里，NCA=10°，則ABC=ABDCBD=30°由BDCN，得出BCN=DBC=20°，那么ACB=ACN+BCN=30°=ABC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AB=AC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到CM=BC=20海里然后在直角ACM中，利用余弦函數(shù)的定義得出AC=，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可【解答】解：如圖，作

19、AMBC于M由題意得，DBC=20°，DBA=50°，BC=60×=40海里，NCA=10°，則ABC=ABDCBD=50°20°=30°BDCN，BCN=DBC=20°，ACB=ACN+BCN=10°+20°=30°，ACB=ABC=30°，AB=AC，AMBC于M，CM=BC=20海里在直角ACM中，AMC=90°，ACM=30°，AC=（海里）故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義，

20、難度適中求出CM=BC=20海里是解題的關(guān)鍵2如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長(zhǎng)是（）A2海里B2sin55°海里C2cos55°海里D2tan55°海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】首先由方向角的定義及已知條件得出NPA=55°，AP=2海里，ABP=90°，再由ABNP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出A=NPA=55°然后解RtABP，得出AB=APcosA=2cos55°海里【解答】解：如圖，由題意可知NPA=

21、55°，AP=2海里，ABP=90°ABNP，A=NPA=55°在RtABP中，ABP=90°，A=55°，AP=2海里，AB=APcosA=2cos55°海里故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義是解題的關(guān)鍵3如圖，一漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)40海里到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)，測(cè)得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD是（）A20海里B40海里C20海里D40海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【

22、分析】根據(jù)方向角的定義及余角的性質(zhì)求出CAD=30°，CBD=60°，再由三角形外角的性質(zhì)得到CAD=30°=ACB，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AB=BC=20，然后解RtBCD，求出CD即可解答【解答】解：根據(jù)題意可知CAD=30°，CBD=60°，CBD=CAD+ACB，CAD=30°=ACB，AB=BC=40海里，在RtCBD中，BDC=90°，DBC=60°，sinDBC=，sin60°=，CD=40×sin60°=40×=20（海里）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的

23、應(yīng)用，難度適中解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線4如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km、從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為（）A4kmB（2+）kmC2kmD（4）km【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】壓軸題【分析】根據(jù)題意在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，進(jìn)而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的長(zhǎng)，即可得出答案【解答】解：在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，可得：EBD=45°，AD=DC，從B測(cè)

24、得船C在北偏東22.5°的方向，BCE=CBE=22.5°，BE=EC，AB=2，EC=BE=2，BD=ED=，DC=2+故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，得出BE=EC=2是解題關(guān)鍵5有一輪船在A處測(cè)得南偏東30°方向上有一小島P，輪船沿正南方向航行至B處，測(cè)得小島P在南偏東45°方向上，按原方向再航行10海里至C處，測(cè)得小島P在正東方向上，則A，B之間的距離是（）海里A10B1010C10D1010【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】由題意得：CAP=30°，CBP=45°，BC=10海里，分別在RtBC

25、P中和在RtAPC中求得BC和AC后相減即可求得A、B之間的距離【解答】解：由題意得：CAP=30°，CBP=45°，BC=10海里，在RtBCP中，CBP=45°，CP=BC=10海里，在RtAPC中，AC=10海里，AB=ACBC=（1010）海里，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠從實(shí)際問題中整理出直角三角形，并選擇合適的邊角關(guān)系求解二、填空題（共4小題）6如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則

26、該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為2km【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】壓軸題【分析】過點(diǎn)A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=2km，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，則AB=AD=2km【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90°，AOD=30°，OA=4km，AD=OA=2km在RtABD中，ADB=90°，B=CABAOB=75°30°=45°，BD=AD=2km，AB=AD=2km即該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為2km故答案為2km【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的

27、應(yīng)用方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵7如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里那么該船繼續(xù)航行50海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過M作東西方向的垂線，設(shè)垂足為N由題易可得MAN=30°，在RtMAN中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AN的長(zhǎng)即可【解答】解：如圖，過M作東西方向的垂線，設(shè)垂足為N易知：MAN=90°=30°在RtAMN中，ANM=90°，MAN=30°，AM=100海里，AN=AMcosMA

28、N=100×=50海里故該船繼續(xù)航行50海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置故答案為50【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，三角函數(shù)的定義，利用垂線段最短的性質(zhì)作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵8如圖，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離為750米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【專題】壓軸題【分析】作ADBC于D，根據(jù)速度和時(shí)間先求得AC的長(zhǎng)，在RtACD中，求得ACD的度數(shù)，再求得AD的

29、長(zhǎng)度，然后根據(jù)B=30°求出AB的長(zhǎng)【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作ADBC，垂足為D，在RtACD中，ACD=75°30°=45°，AC=30×25=750（米），AD=ACsin45°=375（米）在RtABD中，B=30°，AB=2AD=750（米）故答案為：750【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，難度適中9如圖，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A、B、C

30、在同一條直線上），則河的寬度AB約為15.3m（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【專題】壓軸題【分析】在RtACD中求出AC，在RtBCD中求出BC，繼而可得出AB【解答】解：在RtACD中，CD=21m，DAC=30°，則AC=CD36.3m；在RtBCD中，DBC=45°，則BC=CD=21m，故AB=ACBC=15.3m故答案為：15.3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，理解俯角的定義，能利用三角函數(shù)表示線段的長(zhǎng)度三、解答題（共21小題）10如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西

31、走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則E=F=90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF解RtBCE，求出BE=BC=×1000=500米；解RtCDF，求出CF=CD=500米，則DA=B

32、E+CF=（500+500）米【解答】解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則E=F=90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF在RtBCE中，E=90°，CBE=60°，BCE=30°，BE=BC=×1000=500米；在RtCDF中，F(xiàn)=90°，DCF=45°，CD=BC=1000米，CF=CD=500米，DA=BE+CF=（500+500）米，故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，銳角

33、三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵11如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口O，同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給游船送去（1）快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的距離【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】（1）要求B到C的時(shí)間，已知其速

34、度，則只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時(shí)間；（2）過C作CDOA，垂足為D，設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E求出OC=OBcos30°=60，CD=OC=30，OD=OCcos30°=90，則DE=903v在直角CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（903v）2=602，解方程求出v=20或40，進(jìn)而求出相遇處與港口O的距離【解答】解：（1）CBO=60°，COB=30°，BCO=90°在RtBCO中，OB=120，BC=OB=60，快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：60÷60=1（小時(shí)）；（2）過C作CDOA，垂

35、足為D，設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E則OC=OBcos30°=60，CD=OC=30，OD=OCcos30°=90，DE=903vCE=60，CD2+DE2=CE2，（30）2+（903v）2=602，v=20或40，當(dāng)v=20km/h時(shí)，OE=3×20=60km，當(dāng)v=40km/h時(shí)，OE=3×40=120km【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識(shí)，理解方向角的定義，得出BCO=90°是解題的關(guān)鍵，本題難易程度適中12如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時(shí)勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔C在北偏西60°

36、方向上，航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)觀察到燈塔C在北偏西30°方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時(shí)漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置為CD的長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，AB=20×1=20（海里），CAF=60°，CBE=30°，CBA=CBE+EBA=120°，CAB=90°CAF=30°，C=180°CBACA

37、B=30°，C=CAB，BC=BA=20（海里），CBD=90°CBE=60°，CD=BCsinCBD=17（海里）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵13（2015濟(jì)寧）閱讀材料：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等， =，利用上述結(jié)論可以求解如下題目：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c若A=45°，B=30°，a=6，求b解：在ABC中， =b=3理解應(yīng)用：如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按

38、北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里（1）判斷A1A2B2的形狀，并給出證明；（2）求乙船每小時(shí)航行多少海里？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】壓軸題【分析】（1）先根據(jù)路程=速度×時(shí)間求出A1A2=30×=10，又A2B2=10，A1A2B2=60°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出A1A2B2是等邊三角形；（2）先由平行線的性質(zhì)及方向角的定義求出A1B1B2=75°15°=60°，由

39、等邊三角形的性質(zhì)得出A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，那么B1A1B2=105°60°=45°然后在B1A1B2中，根據(jù)閱讀材料可知， =，求出B1B2的距離，再由時(shí)間求出乙船航行的速度【解答】解：（1）A1A2B2是等邊三角形，理由如下：連結(jié)A1B2甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2，A1A2=30×=10，又A2B2=10，A1A2B2=60°，A1A2B2是等邊三角形；（2）如圖，B1NA1A2，A1B1N=180°B1A1A2=180°105°=75

40、76;，A1B1B2=75°15°=60°A1A2B2是等邊三角形，A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，B1A1B2=105°60°=45°在B1A1B2中，A1B2=10，B1A1B2=105°60°=45°，A2A1B2=60°，由閱讀材料可知， =，解得B1B2=，所以乙船每小時(shí)航行：÷=20海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，方向角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷移能力正確理解閱讀材料是解題

41、的關(guān)鍵14如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時(shí)刻航行到A處，測(cè)得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時(shí)的速度繼續(xù)航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得該島在北偏東75°方向，求此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：1.414，結(jié)果精確到0.1）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過B作BDAP于D，由已知條件得：AB=20×2=40，P=75°30°=45°，在RtABD中求出BD=AB=20，在RtBDP中求出PB即可【解答】解：過B作BDAP于D，由已知條件得：AB=20×2=4

42、0，P=75°30°=45°，在RtABD中，AB=40，A=30，BD=AB=20，在RtBDP中，P=45°，PB=BD=2028.3（海里）答：此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長(zhǎng)約為28.3海里【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題的應(yīng)用，根據(jù)已知得出PDB為等腰直角三角形是解題關(guān)鍵15為保護(hù)漁民的生命財(cái)產(chǎn)安全，我國(guó)政府在南海海域新建了一批觀測(cè)點(diǎn)和避風(fēng)港某日在觀測(cè)點(diǎn)A處發(fā)現(xiàn)在其北偏西36.9°的C處有一艘漁船正在作業(yè)，同時(shí)檢測(cè)到在漁船的正西B處有一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)正以每小時(shí)40海里的速度向正東方向移動(dòng)，于是馬上通知漁船到位于其正東方向的避風(fēng)港D處進(jìn)行躲

43、避已知避風(fēng)港D在觀測(cè)點(diǎn)A的正北方向，臺(tái)風(fēng)中心B在觀測(cè)點(diǎn)A的北偏西67.5°的方向，漁船C與觀測(cè)點(diǎn)A相距350海里，臺(tái)風(fēng)中心的影響半徑為200海里，漁船的速度為每小時(shí)18海里，問漁船能否順利躲避本次臺(tái)風(fēng)的影響？（sin36.9°0.6，tan36.90.75，sin67.50.92，tan67.52.4）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】先解RtADC，求出CD=ACsinDAC350×0.6=210海里，AD=280海里，那么漁船到的避風(fēng)港D處所用時(shí)間：210÷18=11小時(shí)再解RtADB，求出BD=ADtanBAD280×2.4=

44、672海里，那么BC=BDCD672210=462海里設(shè)強(qiáng)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)到漁船C后面200海里時(shí)所需時(shí)間為x小時(shí)，根據(jù)追及問題的等量關(guān)系列出方程（4018）x=462200，解方程求出x=11，由于1111，所以漁船能順利躲避本次臺(tái)風(fēng)的影響【解答】解：由題意可知BAD=67.5°，CAD=36.9°，AC=350海里在RtADC中，ADC=90°，DAC=36.9°，AC=350海里，CD=ACsinDAC350×0.6=210海里，AD=280海里漁船到的避風(fēng)港D處所用時(shí)間：210÷18=11小時(shí)在RtADB中，ADB=90°，

45、BAD=67.5°，BD=ADtanBAD280×2.4=672海里，BC=BDCD672210=462海里設(shè)強(qiáng)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)到漁船C后面200海里時(shí)所需時(shí)間為x小時(shí)，根據(jù)題意得（4018）x=462200，解得x=11，1111，漁船能順利躲避本次臺(tái)風(fēng)的影響【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，難度中等，求出強(qiáng)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)到漁船C后面200海里時(shí)所需時(shí)間是解題的關(guān)鍵16如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)碼頭，A在B的正東方向，一艘小船從A碼頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達(dá)點(diǎn)P處，此時(shí)從B碼頭測(cè)得小船在它的北偏東45°的方向求此時(shí)小船到B

46、碼頭的距離（即BP的長(zhǎng)）和A、B兩個(gè)碼頭間的距離（結(jié)果都保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過P作PMAB于M，求出PBM=45°，PAM=30°，求出PM，即可求出BM、BP【解答】解：如圖：過P作PMAB于M，則PMB=PMA=90°，PBM=90°45°=45°，PAM=90°60°=30°，AP=20海里，PM=AP=10海里，AM=cos30°AP=10海里，BPM=PBM=45°，PM=BM=10海里，AB=AM+BM=（10+10）海里，BP=10海里

47、，即小船到B碼頭的距離是10海里，A、B兩個(gè)碼頭間的距離是（10+10）海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，能正確解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，難度適中17如圖，海面上B、C兩島分別位于A島的正東和正北方向一艘船從A島出發(fā)，以18海里/時(shí)的速度向正北方向航行2小時(shí)到達(dá)C島，此時(shí)測(cè)得B島在C島的南偏東43°求A、B兩島之間的距離（結(jié)果精確到0.1海里）【參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】根據(jù)路程=速度×時(shí)間，可得AC=18

48、×2=36海里，在RtABC中，利用正切函數(shù)的定義可得AB=ACtanACB，將數(shù)值代入計(jì)算即可求解【解答】解：由題意得，AC=18×2=36海里，ACB=43°在RtABC中，A=90°，AB=ACtanACB=36×0.9333.5海里故A、B兩島之間的距離約為33.5海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，正切函數(shù)的定義，路程、速度與時(shí)間自己的關(guān)系，難度一般理解方向角的定義，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵18如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到

49、達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處（1）在圖中畫出點(diǎn)B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù)）；（2）用方向和距離描述燈塔P相對(duì)于B處的位置（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33， =1.41）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】（1）根據(jù)方向角的定義結(jié)合已知條件在圖中畫出點(diǎn)B，作PCAB于C，先解RtPAC，得出PC=PAsinPAC=80，再解RtPBC，得出PB=PC=1.41×80113；（2）由CBP=45°，PB113海里，即可得到燈塔P位于B處北偏西45°

50、;方向，且距離B處約113海里【解答】解：（1）如圖，作PCAB于C，在RtPAC中，PA=100，PAC=53°，PC=PAsinPAC=100×0.80=80，在RtPBC中，PC=80，PBC=BPC=45°，PB=PC=1.41×80113，即B處與燈塔P的距離約為113海里；（2）CBP=45°，PB113海里，燈塔P位于B處北偏西45°方向，且距離B處約113海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，直角三角形，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線19如圖

51、，要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離，在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30°方向上，在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45°方向上，又測(cè)得BC=150m求A點(diǎn)到河岸BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，設(shè)AD=xm用含x的代數(shù)式分別表示BD，CD再根據(jù)BD+CD=BC，列出方程x+x=150，解方程即可【解答】解：過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，設(shè)AD=xm在RtABD中，ADB=90°，BAD=30°，BD=ADtan30°=x在RtACD中，ADC=90°，CAD=4

52、5°，CD=AD=xBD+CD=BC，x+x=150，x=75（3）95即A點(diǎn)到河岸BC的距離約為95m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，有公共直角邊的可利用這條邊進(jìn)行求解20如圖，某漁船在小島O南偏東75°方向的B處遇險(xiǎn)，在小島O南偏西45°方向A處巡航的中國(guó)漁政船接到求救信號(hào)后立刻前往救援，此時(shí)，中國(guó)漁政船與小島O相距8海里，漁船在中國(guó)漁政船的正東方向上（1）求BAO與ABO的度數(shù)（直接寫出答案）；（2）若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能否在1小時(shí)內(nèi)趕到？請(qǐng)說

53、明理由（參考數(shù)據(jù)：tan75°3.73，tan15°0.27，1.41，2.45）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】（1）作OCAB于C，根據(jù)方向角的定義得到AOC=45°，BOC=75°，由直角三角形兩銳角互余得出BAO=90°AOC=45°，ABO=90°BOC=15°；（2）先解RtOAC，得出AC=OC=OA5.64海里，解RtOBC，求出BC=OCtanBOC21.0372海里，那么AB=AC+BC26.6772海里，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出中國(guó)漁政船趕往B處救援所需的時(shí)間，與1小

54、時(shí)比較即可求解【解答】解：（1）如圖，作OCAB于C，由題意得，AOC=45°，BOC=75°，ACO=BCO=90°，BAO=90°AOC=90°45°=45°，ABO=90°BOC=90°75°=15°；（2）若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能在1小時(shí)內(nèi)趕到理由如下：在RtOAC中，ACO=90°，AOC=45°，OA=8海里，AC=OC=OA4×1.41=5.64海里在RtOBC中，BCO=90°，BOC=75&#

55、176;，OC=4海里，BC=OCtanBOC5.64×3.73=21.0372海里，AB=AC+BC5.64+21.0372=26.6772海里，中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，中國(guó)漁政船所需時(shí)間：26.6772÷280.953小時(shí)1小時(shí)，故若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能在1小時(shí)內(nèi)趕到【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵21如圖，海中一小島上有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，某天上午9：00觀測(cè)到某漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的西南方向上的B處跟蹤魚群由南向北勻速

56、航行當(dāng)天上午9：30觀測(cè)到該漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的北偏西60°方向上的C處若該漁船的速度為每小時(shí)30海里，在此航行過程中，問該漁船從B處開始航行多少小時(shí)，離觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近？（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】首先根據(jù)題意可得PCAB，然后設(shè)PC=x海里，分別在RtAPC中與RtAPB中，利用正切函數(shù)求得出PC與BP的長(zhǎng)，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再計(jì)算出BP，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求解【解答】解：過點(diǎn)A作APBC，垂足為P，設(shè)AP=x海里在RtAPC中，APC=90°，PA

57、C=30°，tanPAC=，CP=APtanPAC=x在RtAPB中，APB=90°，PAB=45°，BP=AP=xPC+BP=BC=30×，x+x=15，解得x=，PB=x=，航行時(shí)間：÷30=（小時(shí)）答：該漁船從B處開始航行小時(shí)，離觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22如圖，某市對(duì)位于筆直公路AC上兩個(gè)小區(qū)A、B的供水路線進(jìn)行優(yōu)化改造供水站M在筆直公路AD上，測(cè)得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向

58、，小區(qū)A、B之間的距離為300（+l）米，求供水站M分別到小區(qū)A、B的距離（結(jié)果可保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】根據(jù)題意，在ABM中，BAM=30°，ABM=45°，AB=300（+l）米過點(diǎn)M作MNAB于N，設(shè)MN=x米，用含x的代數(shù)式分別表示AN，BN，根據(jù)AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，進(jìn)而求出MA與MB的長(zhǎng)【解答】解：過點(diǎn)M作MNAB于N，設(shè)MN=x米在RtAMN中，ANM=90°，MAN=30°，MA=2MN=2x，AN=MN=x在RtBMN中，BNM=90°，MBN=45°，BN=MN=x，MB=MN=xAN+BN=AB，x+x=300（+l），x=300，MA=2x=600，MB=x=300故供水站M到小區(qū)A的距離是600米，到小區(qū)B的距離是300米【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）23）如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向（北偏