蘇州大學概率期末試題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試題一、單項選擇題(本題共 5小題，每小題3分，共15分。)1 .一射手向目標射擊 3次，A,表示第i次射擊中擊中目標這一事件(i =1,2,3),則3次射擊中至多2次擊中目標的事件為():(A) A -A?-A3;(B) AA2 A3;(C) A -A2一.A3;(D) A1A2 A32.袋中有10個乒乓球,其中7個黃的，3個白的，不放回地依次從袋中隨機取一球。則第一次和第二次都取到黃球的概率是();(A) 715 ；(B) 49 100；(C) 7,10；(D) 21503.設隨機變量X的概率密度為f(x) =M +bx,0 <x 壬1;0, 其它.且P X虧=言

2、，則有()；15_111(A)a=0,b=2; (B)a=1,b=0; (C)a ,b=1; (D)a , b .22224.設XN(P,b2), X1 ,X2,X3 ,X4為X的一個樣本，下列各項為卜的無偏估計，其中最有效估計量為()。(A)X1 2X2 2X3 -4X4;(C)0.5X1 0.5X4;(D)0.1X1 0.5X2 0.4X35.設X1J|,Xn是來自總體X的一個樣本，XN(%。2)，對于。已知和。未知時的期望H的假設檢驗，應分別采用的方法為()。A U檢驗法和T檢驗法B T檢驗法和U檢驗法C U檢驗法和'檢驗法D T檢驗法和F檢驗法3分，共15分。)X2服從自由度為

3、的F分布。二、填空題(本題共 5小題，每小題1. 若X服從自由為n的t分布，則2.在長度為t的時間間隔內(nèi)到達某港口的輪船數(shù)X服從參數(shù)為t/3的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計).某大12時至15時至少有一艘輪船到達該港口的概率為 。3.設X ,丫相互獨立，且同服從于參數(shù)為丸的指數(shù)分布，Z = max(X ,Y)，貝U Z的分布函數(shù)為： .4.設隨機變量 X與Y相互獨立，且E(X) = E(Y) = P,D(X)=D(Y)=。2, 則 E(X -Y)2=.5.從服從正態(tài)分布的 N(H,。2)的總體中抽取容量為 9的樣本，樣本均值 M = 1500,樣本標準差 為s=14，貝U總體均

4、值 P的置信水平為95%的置信區(qū)間為 .三、計算下列各題(14小題每題8分，5、6小題每題10分，共52分)1. 設事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件 A發(fā)生多少次的概率最大？2. 據(jù)統(tǒng)計男性有 5%是患色盲的，女性有 0.25%的是患色盲的，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地 挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？3.由100個相互獨立起作用的部件組成的一個系統(tǒng)在運行過程中，每個部件能正常工作的概率為90% .為了使整個系統(tǒng)能正常運行，至少必須有85%的部件正常工作， 求整個系統(tǒng)能正常運行的概率.設隨機變量X在區(qū)間0,兀上服從均勻分布，求隨機變量 Y =sinX的

5、概率密度fY(y).設隨機變量(X,Y)在G上服從均勻分布，其中 G由x軸，y軸及直線x+y= 1所圍成，求(X,Y)的邊緣概率密度fX(x)， 計算PY<X。某工廠生產(chǎn)的設備的壽命 X (以年計)的概率密度為4.5.6.e", x0f(x"k0, x ： 0工廠規(guī)定，出售的設備若在一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若出售一臺設備可贏利 150元，調(diào)換一臺設備廠方需花費300元，試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望.一 四田.0 < x <1四、(10分)總體X的概率密度為f(x) = J ,(8 A0) , X1,|H,Xn是來自總體X的樣0,其它本，分別用矩估計

6、法和極大似然估計法求e的估計量.五、(8分)若某地區(qū)一天出生的嬰兒人數(shù)X服從參數(shù)為 兀(九：>0)的泊松分布，以Y表示其中男嬰的個數(shù)，每一新生嬰兒為男性的概率是p,求：(1) 已知某一天出生的嬰兒人數(shù)為n,其中有m個是男嬰的概率.(2) X與Y的聯(lián)合概率分布.(3) Y的概率分布律.附：t0.025(8) =2.306; t0.025(9) =2.262; t°.05(8)= 1.860; t°.05(9) = 1.833中(1.67) =0.9525 ;中(1.96) =0.9750 ;中(1.65) = 0.9505。課程名稱概率論與數(shù)理統(tǒng)計1. C; 2.A;3

7、.D;4.B;5.A。1. 1,n;2. 1 -eA ；3. (1-e'z)2 ; 4. 2b25. 114.24,135.76。1.設A發(fā)生ko次概率最大，因A發(fā)生次數(shù)X服從二項分布B(n , p),p(x =k) =C：pk(1 "廣皿 P(X =k0) _P(X =k。1)，故iP(X =k0) _ P(X =k0 -1)r彳曰 k =(n*1)P1 或(n+1 )P(n+1)P為整數(shù)牛寸0：(n+1) p(n+1)p不為整數(shù)2.設A =任意挑選一人為男性, B =患有色盲, 已知 P(B|A)=5%, P(B|A) =0.25%, P(A)= 0.5,則有P(A|B)

8、=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)0.5 5%0.5 5% 0.5 0.25%= 0.9524.8分;1,第i個部件正常工作，3.令 Xi = A ,犯正，二0,第i個部件不能正常工作i =1,2,力，100.則有 PXi =1 =0.9, E(Xi) =0.9, D(Xi) =0.09, X，X2 ,| 乂。相互獨立. 3分;于是 100100卜一9。5P ' Xi -85 =P 1-：、(-1.67) =n(1.67) = 0.9525.-33iJ8分;4.當 0 <y <1 時,Fy(y) = PsinX 壬 y = P0 £

9、X 壬 arcsiny Pm -arcsin y £ X 頊耕arcsin y：2一 dx + 一dx =acrsiny ; 3 分;0-二-arcsin y -當 y<0時，F(xiàn)Y(y) =PsinX 壬y =0 ；當 y 21 時，F(xiàn)Y(y) =PsinX < y =1。 5 分;2=2 , 0 ： x < 1；于是，fY(y H-y 8分;0,其它.2, (x,y) G;5.(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f (x,y) = 0, 其它.6.2(1 - x) ,0 ： x ： 1; fx(x) = f(x,y)dy = "-J 0,其它.121 _y1PY

10、<X = f (x, y)dxdy = £ dyj 2dx = 。y :x2-300,設贏利為Y，則有Y = S150,X 1;X _1.5分；10分;4分；1dE(Y)=300PX <1 +150PX H =300Le"dx+150 e"dx = 450e300 . - 10 分;e 1成 風 C X四.矩估計法：E(X)=J xdx =，令 X =，侍 =01 口1 ?1 -Xn極大似然估計法：L(e) = en(H xp1) (0 <x<1,i =1,川，n)，令i日則有-e.nn+£ lnx =0，于正彳=一一nJv ln

11、 Xii -110分五.(1) PY =m| X =n =Cmpm(1 - p)ns , m = 0,1,|j, n ；(2) PY =m, X =n =PX =nPY =m|X =nn'危黃1",0,1，川，心0,1；3分;3分;(3)COgoPY = m = ' PY = m, X = n= 'n =mn =me"nm!(n - m)!mn -mp (1 - p)m= e'p,m =0,1,川Hl. n Xn.1 -X概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試題-、單項選擇題(每小題3分，滿分15分)(1)設A、B是兩個互相對立的事件，且 P(A)a0, P

12、(B)0,則下列結論正確的是(A) P(B 1 A)a0(C) P(A 1 B) = 0(B)P(A 1 B) = P(A)(D)P(AB)= P(A)P(B).【】(2)設X是連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，貝U F(x)在其定義域內(nèi)一定是(A)非階梯形間斷函數(shù)(C)階梯函數(shù)(B)可導函數(shù)(D)連續(xù)但不7EP；導的函數(shù).【】(3)設X N (0 , 1), Y N(1, 1)，且X與Y相互獨立，則下列結論正確的是,、1(A) PX Y E0 = 2小、1(C) P X -Y £ 0 = 2,、1(B)PX Y E 1=,、1,(D)PX丫壬1=虧.【】(4) 設隨機變量X與

13、Y相互獨立，D(X)=4, D(Y)=2，貝U D(3X 2Y)等于(A) 8(B) 16(C) 28(D) 44.【(5) 設總體XN(比。2) , X1,X2，Xn,X麗是取自總體X的簡單隨機樣本.又設樣本X,X2，Xn的均值為X，樣本標準差為 S,則統(tǒng)計量服從的分布是(A) t(n -1)(B)2(n -1)(C) t(n) (D)2(n).二、填空題(每小題 3分，滿分15分)(1) 袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，兩人依次從袋中各取一球，取后不放回.則第二個人取到黃球的概率是2(2) 若隨機變量 X N(2,。)，且 P2 <X <4 =0.3，貝U

14、PX <0=.(3) 設射手每次擊中目標的概率為0.4，今射手向目標射擊了 10次，若X表示射手擊中目標的次數(shù)，貝U E(X2)=.(4) 設隨機變量x的方差是2,則由切比雪夫不等式可得p|x - e(x)|芝2 < n-1(5) 設X1,X2，,Xn是取自總體X N(P,。2)的樣本，并且C，(Xh -Xi)2是參i T 數(shù)。2的無偏估計量，則常數(shù)C= 三、計算題(滿分10分)已知X N (0, 1)，求隨機變量函數(shù) Y = 2 X的概率密度四、計算題(滿分10分)1八、=B)=_.定義隨機變量X、Y如下:21,若B發(fā)生，0,若B不發(fā)生，1設事件A B滿足條件P(A) =_ ,

15、P(B | A) =P(A | 41,若A發(fā)生，X =，、0,若A不發(fā)生，求二維隨機變量(X, V的聯(lián)合分布律.五、計算與解答題(滿分 10分)設二維隨機變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：A,f (x, y)=0,(1)求常數(shù)A ;y :x, 0牧：1,其他.(3)說明X與Y的相關性.0.7 ,假設各燈的開關是相互獨立的,(2)計算協(xié)方差cov(X,Y)；六、計算題(滿分10分)設電路供電網(wǎng)內(nèi)有 10000盞燈，夜間每一盞燈開著的概率為利用中心極限定理計算同時開著的燈數(shù)在6900與7100之間的概率.七、計算題(滿分10分)設總體X的概率密度為：f (x； e)= <(1)x10,0 .

16、 x <1,其他，X的簡單隨機樣本，求參數(shù)0的矩估計量和極大似然估計量Xi,X2，Xn是來自總體八、計算題(滿分10分)從正態(tài)總體 X N(3.4, 62)中抽取容量為 n的樣本，如果要求樣本均值位于區(qū)間(1.4 , 5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應取多大？九、計算題(滿分10分)10個元件進行檢測,99%的置信區(qū)間.設某種電子元件的使用壽命服從正態(tài)分布N(H,cr2),現(xiàn)隨機抽取了得到樣本均值x=1500(h)，樣本標準差S=14(h).求總體均值卜的置信概率為附表：中(2.18) =0.9854 ,中(1.645) =0.95 , 6(1.96)=0.975,t&#

17、176;.025(9) =2.2622 , t0.005(9)=3.2498 , t。)= 2.2281 ,七。)= 3.1693|課程名稱一概率論與數(shù)理統(tǒng)計| 一 .選擇題（每小題3分，共15分）1. C2.D3.B4.C5.A裝 二.填空題（每小題3分，共15分） 1|1.0.42. 0.23.18.44.2(10 分)y0時，F(xiàn)Y(y) = Fx(y)-Fx(-直)221 fY(y) = Fy (y)e 8y _0時，F(xiàn)Y(y) =0y2fY(y)=，8，y 015.2(n-1)4分8分, 2二| 四.(10 分)(X,Y)的可能取值(0 , 0) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 0

18、 ) ( 1 , 1 )1PX =1,Y =1 = P(AB) =P(A)P(B A) =_ 81PX =1,Y =0 = P(AB) = P(A)-P(AB)=-PX =0,Y =1= P(AB)=P(AB)P(AB)-P(AB)分6分8分r、1115八PX =0,Y =0 =1 一一 =一10 分8 8 8 8五.(10 分)(1)由 Jq f (x, y)dxdy =1，得 A = 12 分1 x2(2) E(XY) = JJxydxdy = dx Lxydy = 0 E(X) = JJxdxdy = -6 分D頃D3E(Y) = Hydxdy=0 cov(X,Y)= E(XY) E(X

19、)E(Y)=0 9分D(3) 口乂丫 = 0 X與Y不相關10分X -10000*0.7六.（10分）設同時開著的燈數(shù)為X , X b（10000,0.7）fU N(0,1)(近似). 10000*0.7*(1 -0.7)10分P6900 三 X £7100 =2：，(一竺_)一1 =0.971 . 2100（° 分）e（x）=疝+心編=m1=X，得e的矩估計量為令m")=n"1)n(| Xi尸i日ln L = nln(1)n 一n 一 一ln xi = 0心 1 j得e的極大似然估計量為1一n二 ln Xii日10分3分7分10分八.(10 分)zMv

20、；ln(0,1)6_ r.、, lX 3.4 2jn、 cf,/n、.P1.4 <X <5.4 = PVn < =2%)-1663解2小(而)1芝0.95得n Z34.6 n至少取353九.(10 分)T = ,Ut(n 1)PT <t0.005 (n1)=0.99 4分SSPXrt0.005(n1) ：X ：X t0.005(n1)=0.99.nn所求為(1485.61 , 1514.39)概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試題、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1、設連續(xù)隨機變量X的概率密度為x _0 < x < 2 則 P -1 4 x < 1

21、=()B 0.25f(x)= 20 其它C 0.5”0X : 012. F(x) = xA、8G2 1是隨機變量X不是隨機變量X的分布函數(shù) 離散型隨機變量X的分布函數(shù)0x<1/2，貝U F(x)是x _1/2的分布函數(shù)，但既非離散也非連續(xù)型隨機變量設隨機變量X概率密度函數(shù)P（x）A、B、D、連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)2xx 0, A 止0甘,貝U常數(shù)A=()其它C、1D、X的分布函數(shù)2P3 < x <9=()1X服從參數(shù)% =的指數(shù)分布，則9A、B、1（上）9（3.e）eC、9 x3(e -井xD、設總體 X N(H,。2),X1,X2，Xn為來自總體X樣本，XH0 :。2

22、 紂02, H ：。2。2。0為已知數(shù)），F(xiàn)()- F(?)991=上£ Xi ,在顯著性水平a下, n idn2=2則當（），拒絕H0.。0A、2 一 ： .(n -1)C、L L(n-1)、七 2：.（n-1）2、2- ；（n-1）、填空題(本大題共5空，每空3分，共15分)1、 設兩兩獨立的三個隨機事件A, B, C滿足ABC，且P (A) =P (B) =P (C) =x，則當x= 時，3P(A B C)=412、 設隨機事件 A與B相互獨立，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與 B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，且 P(A) = -,則3P ( B)=.3、設隨機變量 XE(九)即指數(shù)分布，貝U

23、 X的密度函數(shù)為 , D(X)=4、設二維隨機向量(X,Y)的概率密度為x +y 0x1 0y<1f(x,y) =， 斗則當0<y玄1時,0 其他(X ,Y)關于Y的邊緣概率密度fY(y) = 5、設 X,Y 為隨機變量，且 D(X +Y)=7,D(X)=4,D(Y)=1，貝U Cov(X,Y)=以下每題12分三 已知一批產(chǎn)品中有 90%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為0.02, 一個次品被誤判為合格品的概率是0.05.求：(1)任意抽查一件產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；(2) 一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確實是合格品的概率'c -(2x 切-四 設(X,Y) f(x, y)=/ex> y試求分布函數(shù) F(x,y) (2) P(X <Y)0 其他五在長為l的線段上任取兩點，求兩點間距離的數(shù)學期望。六 設總體XN (卜,1) , X