例談高中數(shù)學(xué)中常量與變量的轉(zhuǎn)化VIP

1、例談高中數(shù)學(xué)中常量與變量的轉(zhuǎn)化姓名 李軍波 關(guān)鍵詞：常量 變量 轉(zhuǎn)化摘要：在運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解題時(shí)，如果是一個(gè)多元函數(shù)或方程，這時(shí)，我們應(yīng)設(shè)定一個(gè)或兩個(gè)主元，即自變量，而視其它為次元，即常量，然后再考慮如何解決問題。 正文： 化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一, 數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)于形的相互轉(zhuǎn)化,函數(shù)方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化，分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化?；瘹w思想也是高考的重要考查對(duì)象，數(shù)學(xué)中的各種變換多離不開化歸，化歸也是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。數(shù)學(xué)中很多問題的解決都離不開化歸:例如在處理多元的函數(shù)或方程的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們有時(shí)可利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.可

2、選取其中的某個(gè)量為參數(shù)，作為“主元”， 即自變量.而把其它的量看作次元即常量，從而達(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的。那么，如何在解題中應(yīng)用化歸思想？下面我們通過幾道例題,在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)滲透常量與變量的轉(zhuǎn)化的化歸思想.以達(dá)到開拓學(xué)生的思維空間，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力。一：選定合適的主元。例1：當(dāng)x(1,4) 時(shí)不等式x2axa>0恒成立,求a的范圍. 當(dāng)a(1,4) 時(shí)不等式x2axa>0恒成立,求x的范圍.分析：兩道題看起來很相似.但實(shí)際上有很大的不同。第一個(gè)問題我們很容易通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-ax-a再令y=f(x)的最小值大于0或利用變量分離求得，但第二

3、題就要考慮是選x作為自變量還是選a作為自變量來解決問題更方便了。具體如下. 解法(一)令f(x)=x2-ax-a則y=f(x)對(duì)稱軸為 x=當(dāng)1 4時(shí),f(x)min=f( )= 0解得-4<a<0 (舍去)當(dāng) 4時(shí), y=f(x)在x(1,4)時(shí)遞減. f(x)f(4)=16-4a-a0,解得a (舍去)當(dāng) 1時(shí),f(x)> f(1)=1-2a0,解得a綜上所述a 注：以上的解法中我們實(shí)際上是把x作為自變量a作為常量考慮的.當(dāng)然也可以用變量分離求解a(x+1)<x2所以 a<(x+1)+ -2 而 <(x+1)+ -2< 所以a 解 a(x+1)-x

4、2 <0.令f(a)= a(x+1)-x2 則 解得x2+ 或x2-2注：以上的解法中我們實(shí)際上是把a(bǔ)作為自變量x作為常量。轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)，對(duì)于滿足所有實(shí)數(shù)a(1,4)，f(a) 0恒成立考慮的. 當(dāng)然若你把x作為自變量a作為常量考慮來求解將顯然十分繁瑣。這種“反客為主”的求解法，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，也說明了常量與變量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，同學(xué)們要細(xì)心領(lǐng)會(huì)并掌握它。例2.若不等式 ，對(duì)恒成立，求X的取值范圍。分析：學(xué)生因思維定勢(shì)常把原不等式視為關(guān)于lgx的二次不等式，用分類討論解答，過程相當(dāng)繁雜，如果能引導(dǎo)學(xué)生注意lgx與m的關(guān)系，適當(dāng)滲透常量與變量的轉(zhuǎn)化思想，把m變?yōu)橹髟?，lgx

5、變?yōu)閰?shù)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次不等式問題，通過滲透函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想函數(shù)、方程、不等式的相互關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題：，可簡(jiǎn)單易解。注 ：在解題教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，開拓了學(xué)生的思維空間，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，提高了學(xué)生的解題能力。例3 設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A=(x,y) x=n,y=na+b,n z, B=(x,y)x=m,y=3m2+15,m z,C=(x,y) x2+y2144是否存在a,b使得(1)AB (2)(a,b) C同時(shí)成立.解法一假設(shè)存在（x,y)AB,則相應(yīng)的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點(diǎn)。即：得3x2+15=ax+b

6、(視x為變量,a,b為常量)=a2-12(5b) 0即-a212b180又a2+b2144兩不等式相加得b212b-36,即(b-6)20.故b=6.把b=6代入得a2108與a2108.所以a2=108.所以a=或a=- ,b=6.再代入原方程得3x2±+9=0解得x=± Z,所以a,b不存在.解法二 當(dāng)然對(duì)于式子3x2+15=ax+b即ax+b（3x2+15）0（若我們視a,b為變量,x為常量）則式子ax+b（3x2+15）0可看作以a,b為變量的直線方程。又因?yàn)?a,b) C即a2+b2144也可看作以a,b為變量的圓及圓內(nèi)的點(diǎn)。研究一下此直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線

7、的距離d=3(+)12(但當(dāng)且僅當(dāng)即x±時(shí)取等號(hào)而xz但±z. 所以a,b不存在.注 ：由此看出選a,b為變量,x為常量同樣可以找出一種很好的解法解決此題。如何設(shè)定主元，需要較強(qiáng)的思維能力，選定主元后，應(yīng)有利于用方程或函數(shù)思想使問題得到解決。例4 設(shè)并且滿足求證：分析: 把已知等式化為（在這里有三個(gè)字母，我們可以選為變量其它字母作為常量。當(dāng)然也可選作為變量，其它作為常量。）看作關(guān)于的方程，可用方程思想求解。 的正根，由于由求根公式得依題設(shè) 故即 二 變更主元位置，簡(jiǎn)化復(fù)雜討論。例 5已知方程 （其中為負(fù)整數(shù)），試求使此方程的解至少有一個(gè)為整數(shù)時(shí)的值。分析：按常規(guī)思路，先求出

8、方程的解。 再對(duì)參數(shù)分情況討論，找出滿足條件的值，但十分復(fù)雜，如果對(duì)換原方程中和的地位，把視為主元，用來表示，得，要使為負(fù)整數(shù)，必須（即 的允許值為2，3，4，5，6，7。求出合題意的的值-10，-4，這樣就使討論簡(jiǎn)化。注：化歸思維是運(yùn)動(dòng)變化的，事物之間不是孤立的、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化著。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，以辨證的觀點(diǎn)為指導(dǎo)，適當(dāng)?shù)匾脒\(yùn)動(dòng)，導(dǎo)入變化，把靜止的問題變換運(yùn)動(dòng)的問題，把常量變換為變量問題，在運(yùn)動(dòng)，變化中實(shí)現(xiàn)問題解決。三：將常量轉(zhuǎn)化為變量，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的新問題，使問題得到簡(jiǎn)化例6設(shè)為三角形的三邊，求證：。證明：設(shè)。則，且注：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們往往

9、把需要解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把難以解決的問題轉(zhuǎn)化比較容易解決的問題，把沒有解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。四 ：數(shù)學(xué)思想的形成是需要長(zhǎng)時(shí)間積累和訓(xùn)練的，是滲透在掌握知識(shí)和解題的過程中的。數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法和解題基本方法是提升學(xué)生能力的關(guān)鍵，在近年的高考考卷中常量和變量相對(duì)性及相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想也經(jīng)常進(jìn)行考查。如2006的四川卷（文）的第21題第一問。06（四川卷）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（）對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。滿分12分。解：（）由題意， 令，對(duì)，恒有，即 即，解得故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有（）解略。m取值范圍是數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)起著重要的導(dǎo)向作用，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的杠桿，由于數(shù)學(xué)思想比其他數(shù)學(xué)知識(shí)更抽象、更