使用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

1、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一：教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）：基本內(nèi)容：用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的幾種方法重點(diǎn)：用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的方法難點(diǎn)：定理的應(yīng)用二:教學(xué)目標(biāo)或要求：真正掌握用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的幾種方法三、教學(xué)手段與方法:講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：5-7用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分留數(shù)定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算某此實(shí)變函數(shù)的積分.女口，在研究阻尼振動(dòng)時(shí)計(jì)算積分工 ,在研究光的衍射時(shí)，需要計(jì)算菲涅耳積分 在熱學(xué)中將遇到積分2亠亡°血叭口 A 0 , b為任意實(shí)數(shù)）如用實(shí)函數(shù)分析中的方法計(jì)算這些積分幾乎是不可能的，既使能計(jì)算，也相當(dāng)復(fù)雜如果能把它們化為復(fù)積分，用哥西定理和留數(shù)

2、定理，那就簡(jiǎn)單了當(dāng)然最關(guān)鍵的是設(shè)法把實(shí)變函數(shù)是積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來.把實(shí)變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點(diǎn)如下：定積分 人心血的積 分區(qū)間比可可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實(shí)軸上的一段 人，于是，或者利用自變 數(shù)的變換把變成某個(gè)新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了； 或者另外補(bǔ)上一段曲線一，使*和.合成回路|,|包圍著區(qū)域B,這樣左端可應(yīng)用留數(shù)定理，如果 具體介紹幾個(gè)類型的實(shí)變定積分2 n一計(jì)算0 R(cos , sin )d型積分容易求出，貝U問題就解決了，下面令z e1 ，則cos與sin均可用復(fù)變量z表示出來，從而實(shí)現(xiàn)將R(cos ,sin )變形為復(fù)變量z的函數(shù)的愿望，此時(shí)有c

3、os2 2z 1z 1,sin2z2iz同時(shí)，由于ze1 ，所以|z 1，且當(dāng)由0變到2 n時(shí)，z恰好在圓周c: z 1上變動(dòng)一周故使積分路徑也變成了所期望的圍線。至此，有2 n° R（cos,sin ）dz21 z211（£，右）嚴(yán)于是，計(jì)算積分2 nR（cos0,sin )d的方法找到了，只需令z d即可。一時(shí)，令-'112!-1（z p）（y p）極點(diǎn)，在內(nèi),上無奇點(diǎn)，故由留數(shù)定理'門|門僅以z = r為一級(jí)一時(shí)，在. 內(nèi)；僅以 -為一級(jí)極點(diǎn),在"I上無奇點(diǎn),I = - 2jrrRe s J （z）7_1（z -衛(wèi)）（1 一護(hù)）例解:計(jì)算積分

4、dd1 十 £COSS得:先求的奇點(diǎn)及其留數(shù)令其分母為零得:z2 + 2 'H 1 = 0=>-丄+ aJ1- £-az2 £ £ £8 £這就是M的兩個(gè)單極點(diǎn).單極點(diǎn)可的模為：l-Jd（lr）£所以極點(diǎn)可在單位圓內(nèi).而單極點(diǎn)可的模為：E £E>1>1£此積分在力學(xué)和量子力學(xué)中甚為重要,由它可以求出開普勒積分:（1 十 ffCOfifl）3之值.為此，在前例中，用%代出仗r）得:兩也對(duì)a求導(dǎo)得:所以可在單位圓外，在極點(diǎn)可處.Res/（-可）于伝） lim 仗一場(chǎng)），-MY,r-n

5、t（言-引）（？ -z2）=1= E込l 一 可2 Vi-?-2mR.es f （z）-令a=1得，即:加A(1 + ff cos ff)2(1-暫5-4COSXCQSW解5 4.；.,為偶函數(shù)，故0cos 誨 ,ax5-4 cos xd羸5 -4 cos r=0，則dz在."內(nèi)部?jī)H有 】為一級(jí)極點(diǎn)，RU店三 . 疋. *4 匕-2）（"（?。┐?3,2?£ 十 2 = -' 2 加（一=篤r/i = 7了故，比較實(shí)部得，故例計(jì)算積分"“叭。如山咖解：若直接作e 一疋變換，則積分復(fù)雜，若先考慮積分：作變換:因.為所以：召 f 曲（2懐（啲一 si

6、n白-？£gsii心白-gin &）M="f 血3（圧4 sin- i $in仏夕- sin 砂茁，則:/J+1階極點(diǎn).Res-=-hm z于禮問山dzn故:比較兩邊的實(shí)部和虛部得:-計(jì)算器dx型積分由于，考慮添加輔助曲線戈與實(shí)軸上是區(qū)間卜尺刃構(gòu)成圍線C,則J-礙） J“Q厶 00）?F迫其中丄 為匸二落在內(nèi)部的有限個(gè)奇點(diǎn)處的留數(shù)和，若能估計(jì)出空也的值，再取極限即得引理設(shè)匚在圓弧-_'' I '充分大）上連續(xù)，且-1-在【；上一致成立（即與* - J -丄：中的 F無關(guān)），則lim f /也倒-即兄。證 2，由于' 1在；上一致成立，

7、故時(shí)。衛(wèi)池*）卯點(diǎn)化加匸/比T-即2 -匸了必-JlfiM他4定理設(shè)為有理分式，其中+©工°）分十&尹' +十耳（虬紅|）?互質(zhì)多項(xiàng)式,且（1）；一丫-：;（2）在實(shí)軸上 ，r= 2忘 y r亡“Z工叫。證由一-宀匸+：匸作-一.,與線段起構(gòu)成圍線 取己足夠大，使 的內(nèi)部包含-L ；在上半平面內(nèi)的一切孤立奇 點(diǎn)，由在實(shí)軸上" 知，在I上沒有奇點(diǎn)，由留數(shù)定理得J/祕(mì)“加孟監(jiān)畑，又J/粧訂:介如射（沁由于lw）卜Z編護(hù)十如“° + +Aa當(dāng)« -ml2時(shí)，坎刃|t 02T 3），由引理,尹+】貞B(tài)宀4步hm丄/血二?佃-0)'

8、; 0 = 0希必=加 V" Rt忒/N命叫。，計(jì)算Q 兀4 +(/為偶函數(shù)，所以1p dxJo je* + a*'244z + a解:函數(shù)七=0坨3故在上半平面的奇點(diǎn)為:而:Re/(z)=13=6424a3例計(jì)算積分2x 2 dx。 x x 1解 經(jīng)驗(yàn)證，此積分可用（）式計(jì)算.首先，求出上半平面的全部奇點(diǎn)令z210 即 z4 z2 1(42八z 2z 1)(z2z 1)(z2z 1)0于是,鵲在上半平面的全部奇點(diǎn)只有兩個(gè):£且知道,占八、其次，算留數(shù)，有隔（署）zim（zRes器)zim(z1724a3P(z)Q(z)z42 ( 2 z (z1)2均為器的-級(jí)極2

9、z社)(z)z2)(z )(z)(z)(z)1 _3i4 3i最后，將所得留數(shù)代入（）式得x42Adx 2n i吟鵲，)ReS(0Sn,)積分的計(jì)算引理（Jorda n）設(shè)在半圓周 上“ '充分大）上連續(xù),lim f 呂（嘆汕血-0 （ > O'j上一致成立，貝U'證、，由于 匚在二上一致成立，故-J L | 人Jorda n 不 等2月<£1116 < 6 (d<<式 -八T -:八"1 1 ?故",于是. 抵QSin nsin 6g _ 2T定理 設(shè) -',其中及二一為互質(zhì)多項(xiàng)式,且數(shù)比的次數(shù)高；(

10、2)在實(shí)軸上“ "(3)玄,L亙(或護(hù)1必-2加R亡則下：_，特別地分開實(shí)、虛部就可以得到與的積分。略。計(jì)算積分解:為偶函數(shù),有兩個(gè)單極點(diǎn)士】，其中W 11在上半平面，其留數(shù)為:嚴(yán)1Re jLl + 2 _ lini - f)，si 八 1 2t例計(jì)算積分e，xdx,a 0 .x a解 經(jīng)驗(yàn)證，該積分可用()式計(jì)算.首先，求出輔助函數(shù)i zf(z)尋z在上半平面的全部奇點(diǎn).a由z2 a20解得zai與zai為f (z)的奇點(diǎn)，而a 0,所以，f(z)在上半平面只有一個(gè)奇點(diǎn)ai ,且ai為f (z)的一級(jí)極點(diǎn).其次，計(jì)算留數(shù).有i zeRes(二2，ai)z aai)(z ai)(z

11、ai)a e2a i最后，由()式得i xe2 2x adx2niRes(2zy，ai)na 。ae例計(jì)算積分n cosx ,dxx 4x 5解若令cosx ,dx5ixex2 4x則E ReH，即H的實(shí)部為E 因此，為了計(jì)算H，只需求出積分即可，而該積分可用（）為用（）式，先求出輔助函數(shù)叫Q(z)i 2 zi ze4z 5在上半平面的奇點(diǎn)只有點(diǎn)2 i （另一個(gè)奇點(diǎn)為2 i )，于是,由（）式得從而有于是Res(i xe4xi zez2 4zx2-dx52 n i Res( zi)lim (zzi ze4zi)(z )(z)1 2ie2ii xe4xdx52i2jr(cos2 isi n2)R

12、eH2n_cos 2en cosx 卡dxx 4x 52 ncos2e這里要指出的是，由所求積分的特征，計(jì)算所給積分也可直接利用（）式進(jìn)復(fù)變函數(shù)論課程教案授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第二節(jié)續(xù)授課類型理論課授課時(shí)間第15周第1 2節(jié)教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算典型例題教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）：基本內(nèi)容：積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算典型例題重點(diǎn)：積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算難點(diǎn)：典型例題教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：265 頁 1 5參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等）：?jiǎn)螐?fù)變函數(shù)康威著呂以輦張南岳譯上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 1985注：1、每項(xiàng)頁面大小可

13、自行添減；2 一次課為一個(gè)教案；3、“重點(diǎn)”、“難點(diǎn)”、“教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4、授課類型指：理論課、討論課、實(shí)驗(yàn)或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題4.計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分前面所講的三種類型都是丿一在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)的情況，如果丿一 在 實(shí)軸上有奇點(diǎn)。那么前述計(jì)算方法不完全適用。例如|在實(shí)軸上有一個(gè)奇點(diǎn)"卩為實(shí)數(shù)），要計(jì)算匸貞諭，在作輔助線時(shí)，應(yīng)繞過奇點(diǎn)憶二蔭，具體 辦法是在上半平面，作一個(gè)以憶二圧為心，半徑為毎的半圓周匚；，積分沿©疳進(jìn) 行，然后令& TO取極限（如圖所示）“承=ff他加L；八誑*兒加L,理住令丘一吧，上式左端用留數(shù)定理計(jì)算，再令 £TO"（誑卿）L怡血Jq北血滿足引理?xiàng)l件，主要的就是求積分"啄曲.如果實(shí)軸上個(gè)奇點(diǎn)，那么分別以各奇點(diǎn)為心，I'為半徑作上半平面的半圓，經(jīng)過奇點(diǎn)即可，例計(jì)算狄利克雷積分解：先將積分變換為/=ri辦 _ * f2i7J丄匚Jo 兀2* X對(duì)于第二個(gè)積分，作變換工二尸，貝U:心二砂扛嚴(yán)1故rfr+lf 也x1由于:&