高階微分方程的降階法PPT學習教案

1、會計學1高階微分方程的降階法高階微分方程的降階法一、可降階的一些方程類型一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF 1 不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k1)k-1(k1)階導數(shù)的方程是階導數(shù)的方程是)57. 4(10),()()1()(）（nkxxxtFnkk階方程的則可把方程化為若令knyyxk,)()58. 4(0),()(knyyytF若能求得(4.58)的通解),(1knccty對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即),(1)(knkcctx為任常數(shù)這里nn

2、cccctx,),(11第1頁/共12頁 解題步驟解題步驟:則方程化為令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求以上方程的通解),(1knccty即),(1)(knkcctx第三步: 對上式求k次積分,即得原方程的通解為任常數(shù)這里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF第2頁/共12頁解令,44ydtxd則方程化為01ytdtdy這是一階方程,其通解為,cty 即有,44ctdtxd對上式積分4次, 得原方程的通解為,54233251ctctctctcx例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd第3頁/共12頁 2 不顯含自變量不顯

3、含自變量t的方程的方程, 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF,作為新的自變量而把作為新的未知函數(shù)此時以xxy , ydtdx因為dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy2233dtxddtddtxddtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy第4頁/共12頁用數(shù)學歸納法易得:來表示可用)(,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk將這些表達式代入(4.49)可得:0),()1()1(nndxyddxdyyxG它比原方程降低一階第5頁/共12頁 解題步驟解題步驟:第一步:原方程化為自變量為新的為新的未知函數(shù)并令,xyxy

4、 0),()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解）11,(nccxy第三步:解方程）11,(nccxdtdx即得原方程的通解第6頁/共12頁解令,作為新的自變量并以xydtdx則方程化為02 ydxdyxy從而可得, 0y及,xydxdy這兩方程的全部解是,1xcy 例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原來變量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解為,12tcecx 第7頁/共12頁 3 已知齊線性方程的非零特解已知齊線性方程的非零特解,進行降階進行降階1(1)0 xx設(shè)是二階齊線性方程22( )( )0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt

5、的非零解令1xx y則11xx yx y1112xx yx yx y代入(4.69)得1111112( )( )( )0 x yxp t x yxp t xq t x y即1112( )0 x yxp t x y第8頁/共12頁引入新的未知函數(shù),zy方程變?yōu)?112( )0dzxxp t x zdt是一階線性方程,解之得( )21,p t dtczex因而( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c這里是任常數(shù).120,cc=1,得(4.69)的一個解:( )21211,p t dtxxedtx1x因它與 之比不等于常數(shù),12,x x故線性無關(guān)因此(4.70)為(4.69)的通解.第9頁/共12頁解這里12sin( ),tp txtt由(4.70)得22122sinsindttttxccedttt例321222sin1sinttccdttt t12sincot tc