數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用陳益尖、八 、-前言物理要?jiǎng)?chuàng)新，不僅僅光靠物理實(shí)驗(yàn)，還要有數(shù)學(xué)做為理論基礎(chǔ)。 象著名的物理學(xué)家牛頓， 誰都可能看到蘋果落地， 也可想到引力 作用，你推導(dǎo)不出規(guī)律，而他可以推導(dǎo)出萬有引力定律，正因?yàn)樗?深厚的數(shù)學(xué)功底，并且會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題，而一般人沒有。象 著名的物理學(xué)家愛因斯坦， 由于他有高深莫測數(shù)學(xué)理論， 導(dǎo)出了 質(zhì)能能方程，提出了相對(duì)論。他們既是物理學(xué)家，又是數(shù)學(xué)家。然而，在我們教的學(xué)生中，有很多這樣學(xué)生，數(shù)學(xué)很好，物理 很差，反之，物理很好，數(shù)學(xué)很差。如何做到兩者并進(jìn)呢？就必須有 這樣一本指導(dǎo)性的書，讓他們學(xué)好數(shù)學(xué)，用好物理，因此，今天，我 將自已的數(shù)學(xué)與物理一

2、書，提供給大家，希望喜歡。目錄第一章、幾何與矢量一、平面幾何與矢量二、解析幾何與物理立體幾何在物理中的應(yīng)用第二章、 方程與物理 一、 方程與物理二、 判別式的應(yīng)用第三章、 函數(shù)的應(yīng)用一、 函數(shù)圖像的應(yīng)用二、 性質(zhì)的應(yīng)用第四章、 三角與物理第五章、 數(shù)列與物理第一章、幾何與物理一、三角形與矢量 矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而實(shí)用。在矢量的合成和分解中，我們應(yīng)用平行四邊形定則進(jìn)行運(yùn) 算，其實(shí)在運(yùn)算過程中， 主要是運(yùn)用三角形性質(zhì)， 解決問題。 那么，三角形在矢量中，除了直角三角形（其他資料上，講 的比較多，不再講）外，其他任意三角形，有哪些應(yīng)用？兩個(gè)三角形相似比的應(yīng)用例 1 如圖所示，繩

3、與桿均不計(jì)重力，所承受彈力的最大值一定，A點(diǎn)正上方（滑輪大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物3P。現(xiàn)施拉力T將B端緩慢上拉（繩、桿均未斷），在桿達(dá)到豎直前下列說法中正確的是A、繩子越來越容易斷B、繩子越來越不容易斷C、桿越來越容易斷D、桿越來越不容易斷4#分析：0B繩子的拉、物體的重力、AB桿的彈力共點(diǎn)在 B點(diǎn)，設(shè) OB=S （變?。珹O=H （定量），AB=L （定量）。 滑輪大小不計(jì)，對(duì) B點(diǎn)受力分析，如圖可知 AB " PCB 得出對(duì)應(yīng)邊成比例，則T/G=S/H即 T=SG/H 變小N/G=L/H即 N=LG/H 二恒量可得：B答案正確。余弦定理的應(yīng)用例2、物體受到夾角為 12

4、0°的兩個(gè)共點(diǎn)力作用，它們的大小分別為10N、20N,則物體合力的大小為多少？分析：根據(jù)平行四邊形定則，合外力平分的兩個(gè)三角形，不 可能是直角三角形，只能運(yùn)用余弦定理求解，這兩個(gè)三角形中，其中的一個(gè)角為 180° -120° =60°，貝y有 1F=+F22 2FiF2COs60*= ：102 +202 2x10 x20x =1073N余弦定理的應(yīng)用，在二十世紀(jì)80年代，使用的甲種本課本有詳細(xì)論述。正弦定理的應(yīng)用例3、如圖，用兩條繩子拉質(zhì)量為G的物體，平衡時(shí)，兩條繩子跟豎直方向的夾角分別為 01、日2，求兩條繩子的拉力？ 分析：如圖，根據(jù)平衡條件，由AB

5、D得T2Gsin片sin（ '、丁2）即T2 :G sin 弓sin（ 3丁2）T1Gsin Isin（冃 v2）G sin Isin（ 2）三角形在物理中，還有其他的應(yīng)用。不再做一一分析、解析幾何與物理解析幾何在中學(xué)階段，在物理中的應(yīng)用，很少看到。它究竟有沒有功用，如何去開發(fā)？根據(jù)本人的理解如下確定物體運(yùn)動(dòng)的軌跡物體運(yùn)動(dòng)軌道，一般都是由物理現(xiàn)象，物理實(shí)驗(yàn)觀察出 來，很少通過理論進(jìn)行推導(dǎo)，例如平拋運(yùn)動(dòng)，我們完全可以 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線。 推導(dǎo)：在水平方向上有X=v°t在豎直方向上有y = tgt22、兩式，顯然是關(guān)于時(shí)間的參數(shù)方程，把時(shí)間化去得y二縣

6、x2從這個(gè)方程中，看到它的軌跡，是一2v 0條拋物線。通過觀察和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，更加加深我們對(duì)平拋 運(yùn)動(dòng)的理解。例1、質(zhì)量數(shù)為 m、質(zhì)子數(shù)為q的原子核，在垂直于勻強(qiáng)磁 場方向的平面上，由靜止發(fā)生 衰變，變?yōu)樾潞说倪\(yùn)動(dòng)軌跡 為X2 y2 =r2，求粒子運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡？分析：設(shè)新核的質(zhì)量數(shù)為 mn，。粒子的質(zhì)量數(shù)為，根據(jù)動(dòng) 量守恒定律得my =m：.v：.由牛頓第二定律得 對(duì)新核有2Bwq廠皿即 Bq廠叱對(duì)粒子有22Bev 一業(yè) 即 2Be =叱 ° RR由電荷守恒得q“q2e由、聯(lián)立解得2e由左手定則，可知：粒子與新核的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)外切圓，圓心之間的距離為d二r R二r r2e 2e可見，:

7、粒子運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡為已知軌跡方程求物理量例2、一帶電粒子，在垂直于磁場方向的平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為（X -3）2 （y 一4）2 =4，兩坐標(biāo)軸都以 m為單位，粒子運(yùn)動(dòng)的 速率為2m/s，在某時(shí)刻，突然撒去磁場，粒子恰好經(jīng)過原點(diǎn)， 求從撒去磁場到粒子達(dá)到原點(diǎn)的時(shí)間為多少？分析：撒去磁場時(shí)，粒子以 2m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開時(shí)，必于原來的圓軌道相切，圓心、原點(diǎn)、切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，圓心與原點(diǎn)的距離為d = - 32 4 5m 圓的半徑為r = 2m 根據(jù)勾股定理得原點(diǎn)與切點(diǎn)的距離為 s 52 -2221m從撒去磁場到粒子達(dá)到原點(diǎn)的時(shí)間為 t=S二s 無論粒子沿軌道順時(shí)針（或逆時(shí)針）運(yùn)動(dòng)，結(jié)v

8、 2果一樣 三、立體幾何在物理中的應(yīng)用立體幾何在物理中的應(yīng)用，主要是將立體幾何在數(shù)學(xué)中 證明與計(jì)算的空間思維能力，潛移默化到物理中來，也就是 在解決問題時(shí)，將三維空間轉(zhuǎn)化為二維空間，簡化解決問題 的方法。例1、如圖，A、B兩質(zhì)點(diǎn)以相同的水平速度 vo拋出，A 在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為 pi，B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，落 地點(diǎn)為P2，不計(jì)阻力，比較pi、P2在軸x方向上的遠(yuǎn)近關(guān)系是A、Pi較遠(yuǎn)C、Pi、P2 等遠(yuǎn)分析：A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，說明B、P2較遠(yuǎn)D、A、B都可能A做平拋運(yùn)動(dòng)，則得水平位移為B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)傾斜角為 沿斜面向下的加速度為a二gsi8B在斜面做類似平拋運(yùn)動(dòng)，在沿斜面向下的方

9、向有啟舟曲*即1 2h s i 口（ g9#水平方向的位移為可知X2=V 2h sinB g即X2P2較遠(yuǎn)應(yīng)選B#本題主要是將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，也就是數(shù)學(xué)， 常用的一種思路。例2、如圖，一直角斜槽（兩槽面間夾角為900，兩槽面跟豎直面的夾角均為 450）對(duì)水平面的傾角為，一個(gè)橫截面 為正方形的物塊恰能沿此斜槽勻速下滑，假定兩槽面的材料 和槽面的情況相同，求物塊和槽面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)u。分析：本是立體問題，將它轉(zhuǎn)化為平面求解， 如圖（1）， 正方形的物塊與直角斜槽。兩個(gè)面接觸，有兩個(gè)大小相等的 彈力N，由力的合成得出它們?yōu)?N方向垂直斜槽底邊向上，如圖（2）在垂直斜槽底邊的方向上有2N

10、 二 mg cos r在平行斜槽底邊的方向上有2Nu = mg sin v10#由、解得子曲#第二章、方程與物理一、方程與物理方程，在物理中，不僅在推理物理規(guī)律方面，起著關(guān)鍵性作用，而且在解決物理問題方面， 更是必不可缺的資源。在數(shù)學(xué)中，方程的種類眾多，而在我們中學(xué)階段，應(yīng)用方程解決物理問題，主要是多元一次方程組，一元二次方程在解決問題時(shí)，一般都是由物理?xiàng)l件和物理規(guī)律，先建立方程，后根據(jù)方程求解，得出需求量。例1、某同學(xué)在斜向上運(yùn)動(dòng)的電梯上，以相對(duì)電梯不變的速度，從二樓走到一樓，數(shù)得電梯階級(jí)60，從一樓走到二樓，數(shù)得電梯階級(jí)20，求從一樓到二樓電梯的級(jí)數(shù)。分析：由于只知上去和下來電梯的級(jí)數(shù)，電

11、梯速度、人相對(duì) 地速度、人相對(duì)電梯速度都不知，要得所求，先建立上去一 個(gè)方程，下來一個(gè)方程，還不夠，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成的等時(shí)性， 最后可求。解：設(shè)從一樓到二樓電梯的級(jí)數(shù)為N，上去時(shí)，電梯運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)為M，下來時(shí)，電梯運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)為M',可得上去時(shí)有 20+ M ' =N(1)下來時(shí)有 60- M =N(2)根據(jù)等時(shí)性得 M ' / M =20/60=1/3(3)聯(lián)立上面方程組解得：N=30 本題還有其他解。例2、將物體以初速度 20m/s，豎直上拋，求物體經(jīng)過離拋 出點(diǎn)10m高處，所用時(shí)間是多少？ (g=10m/s2)2如2分析：因?yàn)槲矬w上升的最大高度為 H=F20 20m ,

12、所以物2g 2"0體經(jīng)過10m高處有兩個(gè)解，物體運(yùn)動(dòng)過程是勻減速運(yùn)動(dòng)，利用勻減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列一個(gè)一元二次方程，即可求。解：設(shè)物理經(jīng)過10m高處，所用時(shí)間為t,得H=V0t -1gt2即2t 4t 2 =0解得：t“ =2 一 .2t2 =22當(dāng)然，還有其他解法。關(guān)于運(yùn)用方程解決物理問題，舉不勝舉，就講這么多。二、判別式的應(yīng)用一元二次方程有沒有解，是通過判別式來判定，當(dāng) 厶。時(shí)，有 兩個(gè)解；當(dāng) =0時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng) <0時(shí)，沒有解。兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)中相遇的問題，是否能通過判別式來判定呢？下面 即這個(gè)問題進(jìn)行討論。例1、有一直軌道很長，可以通過兩個(gè)物體 A、B不發(fā)生相碰，B在A前方10

13、0m處，A以20m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí) B也 以2m/s2的加速度從靜止開始做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，則 A、B 物體是否相遇，若相遇，有多少次？思路：由于同時(shí)出發(fā)，若相遇，所用時(shí)間相同，設(shè)時(shí)間，根據(jù)位移的關(guān)系建立一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次方程。直接解方程，或利用判別式求解。解：設(shè)A、B兩物體從出發(fā)到相遇的時(shí)間為t,則A經(jīng)過的位移為SA = vt =20tB經(jīng)過的位移為S1at2 = t22依題意得Sa =Sb - 100 即t2-20t+100=0（這就是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次方程）根據(jù)判別式二（-20） 24X 100X仁0可知A、B相遇，且只有一次。若本題變?yōu)椋河幸恢避壍篱L為 150m,可以通過兩

14、個(gè)物體 A、B 不發(fā)生相碰，B在A前方100m處，A以20m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)B也以2m/s2的加速度從靜止開始做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，A、B物體是否在直軌道內(nèi)相遇？分析:假設(shè)它們相遇，仍得到t2-20t+100=0若用判別式判斷，顯然是錯(cuò)的，用求根法判斷，可得到它們不能在直軌道內(nèi)相遇。這兩題告訴我們，使用判別式時(shí)，要注意物理?xiàng)l件，在條件允許的情況下，可用，不能亂套數(shù)學(xué)公式。例2、在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是 r的小球A和B，質(zhì)量分 別為m和2m,當(dāng)兩球心的距離大于L （L比r大得多）時(shí)，兩球之 間無相互作用力，當(dāng)兩球心間的距離等于或小于 L時(shí)，兩球之間存在 相互作用的恒定斥力F,

15、設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度V。沿兩球心連 線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng)，欲使兩球不發(fā)生接觸，V。必須滿足什么 條件?思路：當(dāng)A進(jìn)入兩球心間的距離等于L時(shí)，B開始做初初速度為零 的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí) A也開始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)它們經(jīng) 過t時(shí)間發(fā)生接觸，建立一個(gè)二次方程式，再運(yùn)用判別式求解。解：設(shè)A進(jìn)入兩球心間的距離等于L時(shí)，到兩球恰好接觸，所用時(shí)間為t 根據(jù)牛頓第二定律A球加速度為FaA :mB球加速度為FaB :2mA球運(yùn)動(dòng)的位移為SbSa =v°t -二嚴(yán)2mB球運(yùn)動(dòng)的位移為F +2Sbt4m如圖得Sa 2r =Sb L即3Ftv0t L -2r = 04m由于兩球不接觸，上式?jīng)]有

16、解，則3F =(_vo)2 一4(L-2r)<0 得4m小結(jié)1、運(yùn)用判別式解決物理問題時(shí)，先要建立一個(gè)關(guān)于某物理量的二次方程，再求解；2、使用時(shí)要注意物理?xiàng)l件，在條件允許的情況下，可用，不能亂套數(shù)學(xué)公式。第三章、函數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)圖像的應(yīng)用物理規(guī)律， 大都是運(yùn)用函數(shù)圖像， 定性、 定量進(jìn)行研究， 最后得出物理規(guī)律。函數(shù)圖像，在物理中，可以說是遍地開花。它通過數(shù)形 結(jié)合，直觀、形象地反映物理過程。加深人們對(duì)物理規(guī)律的 理解，下面談?wù)労瘮?shù)圖像的應(yīng)用。分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 得出物理規(guī)律 在物理實(shí)驗(yàn)中，先采取了控制變量法，測出兩個(gè)物理量 的數(shù)據(jù)，然后，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：一種是計(jì)算法，另一種是圖 像法。而后一

17、種更被人們認(rèn)可，因?yàn)橛行?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，無法通 過計(jì)算，得到兩個(gè)量之間的關(guān)系。只有圖像法，以兩個(gè)量分 別為兩條坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)，描點(diǎn)畫出圖像，就可以通 過圖像，定性或定量分析它們之間的關(guān)系，得出規(guī)律。所以 函數(shù)圖像，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，起決定作用。運(yùn)用函數(shù)圖像 解決物理問題 函數(shù)圖像，不光是在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，起決定作用，而 且在解決物理問題中，化難為易，化復(fù)雜為簡單，起到事半 功倍的作用。例1、做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在某一段時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過中點(diǎn)時(shí)刻的速度跟經(jīng)過中點(diǎn)位置的速度，比較誰大。分析：假如先設(shè)初、未速度，再根據(jù)經(jīng)過中點(diǎn)時(shí)刻的速度 V1與 經(jīng)過中點(diǎn)位置的速度V2分別跟初、未速度的關(guān)系，列方程，

18、然后，運(yùn)用不等式求解，要大費(fèi)周折，才能解決。如果做出 速度與時(shí)間的圖像，一看就知道。如下圖兩種情況，顯然是 中點(diǎn)時(shí)刻的速度小于中點(diǎn)位置的速度。小結(jié)：先根據(jù)物理規(guī)律，做出函數(shù)圖像，再根據(jù)圖像性質(zhì)， 判斷兩個(gè)物理量之間的關(guān)系，或求出某個(gè)物理量。運(yùn)用物理規(guī)律判斷函數(shù)圖像例3、矩形導(dǎo)線框abed固定在勻強(qiáng)磁場中， 磁感線的方向與 導(dǎo)線框所在平面垂直，規(guī)定磁場的正方向垂直低面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖所示.若規(guī)定順時(shí)針方向 為感應(yīng)電流I的正方向，下列各圖中正確的是B = Bot根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有二亠一也匕一一一sBotAtAti =理（恒量）平行于t軸，A錯(cuò)。R電磁通量增大，感應(yīng)電流電

19、場與原磁場相反。根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向，應(yīng)在 i軸負(fù)方向。C錯(cuò)1 3s同理得感應(yīng)電流大小為：i=SBT（恒量）平行于t軸1 2s時(shí)，磁通量減小，感應(yīng)電流磁場方向跟原磁場方向相同。 根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為順時(shí)針方向。182 3s時(shí)，磁場方向改變指低外，磁通量增大，感應(yīng)電流磁場方向距 原磁場方向相反。根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為順時(shí)針方向。 B錯(cuò)，D對(duì)。 正確答案為D。小結(jié)：本類型題，主要是由物理規(guī)律，建立函數(shù)表達(dá)式，根 據(jù)物理?xiàng)l件，確定函數(shù)定義域和值域，以及方向性，再確定 圖像的正確性。在運(yùn)用函數(shù)圖像時(shí)，必須根據(jù)物理?xiàng)l件、物理規(guī)律，確 定函數(shù)定義域和值域，以及方向性，把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為物理，

20、才 能得到內(nèi)化，達(dá)到新的高度。二、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用定義域、值域、增減性、最大值、最小值、周期性等等，這些函數(shù)性質(zhì)，如果在物理中運(yùn)用適當(dāng)，真是如魚得水，妙處無窮?？梢娬_地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于哪些物理問題、 應(yīng)該運(yùn)用哪些對(duì)應(yīng)的函 數(shù)性質(zhì)解決，既可以使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，又能提高學(xué)生應(yīng) 用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力。一、運(yùn)用定義域，值域求物理問題的取值范圍【例1】（88年高考題）初速度為零的離子經(jīng)過電勢差為 U的電場 加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路程后進(jìn)入水平放置的兩 平行金屬板MN和PQ之間。離子所經(jīng) 空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場（圖1），不考慮重力作用。離子的荷質(zhì)比g （q、m分

21、別是離子的電量與質(zhì)量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打 m在金屬板上？分析：離子通過電場加速后進(jìn)入磁場，在磁場力作用下，做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，假設(shè)離子從進(jìn)入磁場到打在金屬板上某一點(diǎn)的水 平距離為x,只要建立一個(gè)q/m跟x的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)題意確定 x 是定義域，再根據(jù)定義域值域，顯然，q/m得解。解：當(dāng)離子經(jīng)過電場加速后有mv2/2=qU （ 1）在磁場中受到洛侖茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得2Bvq 二詠（2）R當(dāng)離子打在金屬板上時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有:宀計(jì)引（3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得2Ud（4）式就是q/m跟x的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。依題意離子能打在金屬板上，則x的定義域?yàn)閐< x<

22、2d（5）由（4）、（ 5）解得的值域?yàn)?2U: q . 32U289dB2 一 m 一 25dB2小結(jié)：已知一個(gè)物理量的取值范圍，確定另一個(gè)物理量的取值范21圍，可利用函數(shù)的定義域，值域求解運(yùn)用增減性求物理問題的變量件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉(zhuǎn)角0變大的是（）【例2】（93年高考題）如圖2,電子在電 勢差Ui的加速電場中由靜止開始運(yùn)動(dòng)，然后 射入電勢差U2的兩塊平行極板間的電場中， 入射方向跟極板平行，整個(gè)裝置處在真空中， 重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條A、Ui變大，U2變大；B、Ui變小，U2變大；C、Ui變大，U2變??；D、U 1變小，U 2變小。分析：當(dāng)電子加速后

23、，進(jìn)入水平放置的兩塊平行極板間受到電場 力作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)，只要建立一個(gè) B跟U1、U 2的函數(shù)表達(dá)式，通過討論函數(shù)的增減性，就可知道B變大原因。解：設(shè)兩平行極板之間的距離為d,長度為L,電子在Ui電場中加 速后速度為1 2mvoUie2即、° 二 2Uie/m電子從進(jìn)入到射出平行極板所用時(shí)間為t 二 L/、0 二 L m/2U2e加速度為a，由i9U2 e dma ,得 a = U md剛射出平行極板時(shí)，跟電場方向平行的速度大小為atLUevl，m/2U1emd23#偏轉(zhuǎn)角度為9，有tg -VoLU 22U1d,即 v - arctgLU 22U1d#這是一個(gè)9，跟U i、U 2的函數(shù)

24、表達(dá)式。討論：根據(jù)物理?xiàng)l件0°< 9 <90°,當(dāng)Ui不變時(shí)，上式為增函數(shù)，故U2 f, 9 f;當(dāng)U2不變時(shí)，上式是減函數(shù)，則Ui J, 9f。 顯然B為正確答案。小結(jié)：已知某一個(gè)（或n個(gè)）物理量的變化，討論另一個(gè)物理量 的變化，可以運(yùn)用函數(shù)的增減性求解。三、運(yùn)用最大值、最小值求物理問題的極值rug%圖3【例3】如圖3所示，光滑斜面 與水平面夾角是:o在斜面上放一個(gè) 質(zhì)量為m圓球，再用光滑平板 A擋 住?，F(xiàn)在緩慢地改變板A與斜面的夾 角9 ,當(dāng)9二 時(shí)，A板對(duì)球的作用力最小，最小力為，分析：如圖3可知圓球受到三個(gè)力作用，重力 mg斜面對(duì)它的 支持力、i，擋板對(duì)

25、它的壓力：<2。以豎直方向?yàn)榭v坐標(biāo)軸，水平方向?yàn)闄M坐標(biāo)軸，原點(diǎn)在球心，建立直角坐標(biāo)系。分別將：1、2分解在x軸、y軸上，根據(jù)平衡條件，確定：2跟B的函數(shù)表達(dá)式，球函數(shù)的 極值問題，就得其解。解：如圖3知在x軸上、i sin a =N2sin（a + 日）（1）在 y 車由上、J cos二 mg fcos,（2）由（1）、 （2）得mgmg sinactg ： sin :- - cos ： v sin v由于為mgsin恒量，這是一個(gè)？2跟B的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)物理 條件:-0 180°,當(dāng)0 =90°時(shí)，sinB =1最大值，故 卩有最小值x2 =mgsin：。本題答案

26、應(yīng)為0 =90°、2二mgsin：。小結(jié)：已知某一物理量的變化，引起另一個(gè)物理量取最大或最小 值問題，可以運(yùn)用函數(shù)最大值、最小值求解。四、運(yùn)用周期性求物理問題的重復(fù)運(yùn)動(dòng)【例4】如圖4所示，兩根長度都為L的細(xì)線懸掛一小球A，繩與水平方向夾角為，使A球垂直于紙面作 擺角小于5°的擺動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過平衡位置瞬 間，有另一小球B,從A球的正上方自由落 下，并擊中A球，則B球距A球的距離是分析：B小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，A小球做單擺振動(dòng)，只有A小球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，同時(shí) B小球也下落到達(dá)此位置，才能擊中。由 于A小球振動(dòng)到平衡位置是周期性出現(xiàn)的，故所用的可能時(shí)間為耳2(n=1, 2, 3)，

27、與B下落時(shí)間相等，再根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移 公式求解。解：A小球擺長為Lsin：振動(dòng)周期為T =2二.Lsi g振動(dòng)到平衡位置的時(shí)間是(n=1, 2, 3)nT tn2B小球下落的距離為1 1Sgt22n2Ls i n (n=1, 2, 3)小結(jié)：關(guān)于振動(dòng)或者波動(dòng)問題，一般運(yùn)用函數(shù)周期性分析。第四章 三角與物理數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、三角方程、三角公式、三角恒等式的證明等等，在物理中，有哪些應(yīng)用，下面即這個(gè)問題，進(jìn) 行探索。三角恒等式的方法遷移例1、如圖所示，一物體自傾角為9的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上。物體與斜面接觸時(shí)速度與水平方向的夾角$滿足A. tan $ =sin 9B. tan

28、 $ =cos 9C. tan $ =tan 9D. tan $ =2tan 0分析：根據(jù)四個(gè)答案，明顯是屬于三角的恒等問題，要想得 到證明，先要知道物體落在斜面上，水平位移與斜面的夾角 跟傾角0相等，設(shè)初速度為Vo，時(shí)間為t，則水平位移為豎直位移為x= Voty=lgttan 0 = yx1gt222vogt根據(jù)速度的關(guān)系得tan $ =0 =2 tan 0Vo答案是：D注意：數(shù)學(xué)的三角恒等證明，是由三角公式的不斷轉(zhuǎn)化，而達(dá)到證明。物理求三角的關(guān)系，是通過物理規(guī)律，構(gòu)建等式， 尋找量之間的關(guān)系，而達(dá)到求解三角之間的關(guān)系。二、三角方程的運(yùn)用例2、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系于長為 R的輕繩的一端，繩的另

29、 一端固定在空間的 O點(diǎn)，假定繩是不可伸長的， 柔軟且無彈 性。今把質(zhì)點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為8r的°!點(diǎn)以水平的9速度二S.gR拋出，如圖所示。求輕繩就將伸直時(shí)，繩與豎428O1直方向的夾角為多少？分析：從題問開始，要求夾角，必須建立一個(gè)三角方程，要 建方程，須根據(jù)質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移為：X = v°t豎直位移為：y =£gt2再由直角三角形的性質(zhì)得出，豎直方向的關(guān)系為：8 RRcosv -1 gt2水平方向的關(guān)系為： Rsin v - v°t聯(lián)92立兩式就得一個(gè)三角方程，把已知量代入，可得=90° （二表示繩與豎直方 向 的夾角 ）。#

30、關(guān)于三角函數(shù)、三角公式的運(yùn)用，請(qǐng)看函數(shù)性質(zhì)的應(yīng) 用例3，不再作分析。第五章、數(shù)列與物理通頂公式的應(yīng)用例1 （1989年高考題）圖（3）中實(shí)線是一列簡諧波在某一刻的波形圖線，虛線是0.2秒后它的波形圖線。這列波可能的傳播速度是 。分析1、已知這列波從實(shí)線波形傳到虛線波形所用的時(shí)間為t=0.2秒，關(guān)鍵是求出這段時(shí)間波的傳播距離（即從實(shí)線波形到虛線 波形中振動(dòng)相同的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離）。解1、選波峰A為研究質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)波向正方向的傳播距離可能是AB=1或AC=1+4米等等，可得它們通式為Sn=1+ 4n米（n=0,1,2）; 當(dāng)波向反向傳播時(shí)，波的傳播距離可能是AD=3米或3+4米等等，可 得它們的通式為S

31、'n .3 4n米/秒（n=0,1,2）可見波速為：向正向傳播+諸仗沏米/秒。（氏，1,2）向反向傳播'反S'n3 4n0.2=15 20n(n=0,1,2 )30#分析2:如圖已知波長為=4米。由于波的傳播周期跟波形中任 一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同只要求出某一質(zhì)點(diǎn)的周期即可。解2如圖選M做為研究質(zhì)點(diǎn)；當(dāng)波向正向傳播時(shí)，M先向上振動(dòng), 振動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)是反復(fù)出現(xiàn)的所以需要的時(shí)間通式為：1-T1 nT2 =0.24得：秒（門=0,2）當(dāng)波向反向傳播時(shí)M先向下振動(dòng)，振動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)也是反復(fù)出現(xiàn)的所需的時(shí)間通式:得：T2415 20n秒（n二0,1,2）4波速為:5 20n=5+20n米/秒(n=0,1,2 )7A.反=1