極限存在準則兩個重要極限17無窮小的比較ppt課件

1、 第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限n內(nèi)容提要內(nèi)容提要n 1. 兩個極限存在準則；兩個極限存在準則；n 2. 兩個重要極限。兩個重要極限。 n教學(xué)要求教學(xué)要求n 1.了解兩個極限存在準則夾逼準則了解兩個極限存在準則夾逼準則和單調(diào)有界準則）；和單調(diào)有界準則）；n 2. 熟練掌握用兩個重要極限求極限熟練掌握用兩個重要極限求極限 。(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim一、極限存在準則一、極限存在準則1.夾逼準則夾逼準則注：上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到注：上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限函數(shù)的極限注注:上述兩個準則稱為夾逼準則上述兩個

2、準則稱為夾逼準則.并且他們的極限是容易求出且相等。并且他們的極限是容易求出且相等。利用夾逼準則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出數(shù)列利用夾逼準則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出數(shù)列nynz和和例例1 求求222111lim().12nnnnn 解解222211,11nnnnnnnn21limlim11nnnnnn , 1 221limlim111nnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得222111lim()1.12nnnnn 又又x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則121,nnxxxx 單調(diào)增加單調(diào)增加121,nnxxxx 單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM 滿足條件滿足條件如果數(shù)

3、列如果數(shù)列 xn二、兩個重要極限二、兩個重要極限 ( x 取弧度單位取弧度單位 )如下圖如下圖 , 作單位圓作單位圓則圓心角則圓心角AOB=x ， 顯然有顯然有AODAOBSSSDDAOB扇形扇形 即即xxxtansin 分別除以分別除以 xsin 1.對于對于情形情形,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx證證:oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒數(shù)再取倒數(shù) , 得得1sincosxxx (1)由于用由于用x-替代替代x時時xcos和和xxsin都不變號都不變號不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式

4、有不等式 1sincosxxx 成立。成立。3由于由于1coslim0=xx , 且且11lim0=x , 由夾逼準則由夾逼準則可知可知 , 1sinlim0=xxx . 證畢證畢從而當(dāng)從而當(dāng)時時 , 2, 00,2 x2.對于對于的情形的情形 ,02 x 所以當(dāng)所以當(dāng)時時 ,02 x （偶函數(shù)），（偶函數(shù)），0sinlim1xxx ()0sin ( )lim1( )xxx 0 注意：注意：sinlimxxx0limsinxxx解解0limsinxxx01limsinxxx 01sinlimxxx 1 0lim1sinxxx ()0( )lim1sin ( )xxx 例例 1 求求 30sin

5、33lim3xxx 3 ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sin1limcosxxxx 1 0sin3limxxx例例2 求求0sin3limxxx0tanlimxxx例例3 求求解解解解0tanlimxxx0sinlimsinxaxaaxbxbbx ab 0sinlimsinxaxaxbxbx00sinlimsinlimaxbxaxaaxbxbbx ab ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sinlim( ,0)sinxaxa bbx 例例4 求求解解0sinlimsinxaxbx解解當(dāng)當(dāng) n時時 , 因而因而例例5limsinnnn , 有有0n limsinnnn

6、sinlimnnn 1 ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sinlimnnn 例例6 021coslim12xxx 2022sin2lim12xxx 220sin2lim2xxx 20sin2lim2xxx 21 1 ( )0sin ( )lim1( )xxx 解解021coslim12xxx 20sin2lim2xxx 21sin(1)1. lim1xxx 21sin(1)lim1xxx 221sin(1)lim(1)1xxxx 練習(xí)練習(xí)解解2 0arcsinlimxxx解解 令令 0arcsin2. limxxx0limsinttt 1 arcsin xt sinxt .00t

7、x那那么么14.limsinxxx解解0limcotxxx0coslimsinxxxx 0limcossinxxxx 1 03.limcotxxx解解1limsinxxx101sinlim1xxx 1 證明略證明略 (用兩個準則證明用兩個準則證明)。1(2)lim 1xxex ( )( )1lim1( )xxex 例例1 3lim 1xxx 331lim13xxx解解3lim 1xxx 3e 331lim 13xxx解法一解法一 令令tx =- 則當(dāng)則當(dāng) x 時時 有有 t 所以所以例例 2 求求431lim 1xxx 4() 31lim 1ttt431lim 1xxx 31lim 1tt41

8、.lim1ttt 341e 4e 4()311lim(1)(1)tttt 41lim 1xxx31lim 1xx41lim1xxx 31lim 1xx431lim 1xxx 解法二解法二4e ( )( )1lim1( )xxex 4311lim(1)(1)xxxx 解解 令令tx=1 當(dāng)當(dāng)0 x時時 有有 t 所以所以例例 3 10lim 1xxx 1lim 1ttt 10lim 1xxx e 10lim 1xxxe 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe 1)1(3)互倒互倒)1()2( 注意：注意： 1lim 1,xxxe01li

9、m 1xxex5cot01.lim(1tan );xxx 解解5cot0lim(1tan )xxx 15tantan0lim (1tan )xxx5e 3.lim() ;1xxxx 解解1lim()xxxx lim()1xxxx 11lim(1) xxx 1e 1( )( )0lim 1( )xxxe 22.lim(1) ;xxx 解解2lim(1)xxx 222lim(1)xxx exxx )()()(11lim 2e 練習(xí)練習(xí)小結(jié)小結(jié)二、兩個重要極限二、兩個重要極限重要極限一重要極限一 : 0sinlim1xxx 重要極限二重要極限二 ：()0sin ( )lim1( )xxx 10lim

10、 1xxxe 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe (1)1 (3)互倒互倒)1()2( 0( )0夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 .一、兩個準則一、兩個準則作作 業(yè)業(yè) P56習(xí)題習(xí)題1-6 1(1)(3)(5) 2 (1)(2)(3)第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較n內(nèi)容提要內(nèi)容提要n無窮小量的比較。無窮小量的比較。n教學(xué)要求教學(xué)要求n熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的量的n性質(zhì)以及一些常見的等價無窮小。性質(zhì)以及一些常見的等價無窮小。由無窮小的性質(zhì)可知由無窮小的性質(zhì)可知 , 兩

11、個無窮小的和、差、積兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小仍為無窮小 , 但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況 。如如:當(dāng)當(dāng)0 x時時 ,函數(shù)函數(shù) x2 , xsin 都是無窮小。都是無窮小。但是但是0= =21=,2x20(1)lim2xxx0lim2xx 202(2)limxxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 由此可見由此可見 , 無窮小雖然都是以無窮小雖然都是以0 為為極限的變量極限的變量, 但它們趨向但它們趨向0的速度不一樣的速度不一樣 , 趨向趨向0的的“快快”、 “慢水平慢水平 , 我們引我們引入無窮小的入無窮小的“階的概念。階的概念。為

12、了為了 反映無窮小反映無窮小lim0,kC 定義定義.lim0, 假假設(shè)設(shè)則稱則稱 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小,( )o lim, 假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)lim1, 假假設(shè)設(shè) lim0,C 或或設(shè)設(shè)a,b 是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小,記作記作則稱則稱 是比是比 低階的無窮低階的無窮小小;則稱則稱 是是 的同階無窮的同階無窮小小;則稱則稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的k 階無窮小階無窮小;則稱則稱是是 的等價無窮小的等價無窮小,記作記作 例如例如 03lim30 xxx )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxx )0(xsinxx1 x與與12 x同階無

13、窮小同階無窮小) 1(x02lim0 xx)2(ox )0(x11lim21 xxx11lim1 xx21 可以證明可以證明 :當(dāng)當(dāng)0 x時時 , 有下列等價無窮?。河邢铝械葍r無窮小：xxsinxxtanxex1 xx)1ln( 22xcos1x 利用等價無窮小可以簡化某些極限利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算的運算 , , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理1.( )o定理定理2 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)0 xx 時時 , )()(xx ,)()(xx 且且)()(lim0 xxxx 存在存在 ( ( 或或 ) , ) , )()(lim0 xxxx 那么那么)()(lim0

14、 xxxx 證明證明 因因)()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx ( 證畢證畢 )()(xx )()(xx )()(xx lim0 xx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx 23lim0 xxx例例1 求求2tan3sinlim0 xxx23 2 2 .tg xxsin3 3 ,xx,0時時當(dāng)當(dāng)x0 0lim30 xxlim30 xxxx這種解法是錯誤的！這種解法是錯誤的！tan.xxsin,xx30tansinlimxxxx 解解正確的解法如下正確的解法如下.sinlimxxx limxxx sinlimxxx sin()lim

15、xxx 1 正確的解法如下正確的解法如下.30sintanlim 2xxxx 求求 例例,0時時當(dāng)當(dāng) x. sin 不是無窮小不是無窮小 是無窮小，而是無窮小，而 時，時， x xx cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30 xxxxxsintanlim30 xxxx301sinlim(sin )cosxxxxx12 解解注意：注意：用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用無窮小量替換分子或分母，也可替換分子或無窮小量替換分子或分母，也可替換分子或分母的因式，而對分子或分母中分母的因式，而對分子或分母中“+”，而對分，而對分子或分母中子或分母中“+”，部分不能分別作替換。，部分不能分別作替換。30sintanlimxxxx 求求21cos,2xx ,0時時當(dāng)