對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1、第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十一章 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取極限”常力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQy

2、xPyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似近似”L把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) “求和求和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長度)機(jī)動(dòng)

3、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 LxyxPd),

4、(LyyxQd),(在 空間曲線弧 上的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分為: 稱為稱為),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF( , , )d( , , )d( , , )dP x y z x Q x y z y R x y z z類似地, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 LyyxQxyxPd),(d),(LxyxPd),(LyyxQd),(對(duì) y 的曲線積分.對(duì) x 的曲線積分;),(yxP),(yxQ3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條與L同向的光滑曲線弧iLLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 ,

5、則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(,則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注:不一定小于.特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPba

6、d )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yy

7、xL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

8、回 結(jié)束 yxo例例3. 計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ozyx例例4. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解解:

9、取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè) L 的參數(shù)方程為( ) ,( ) ( 0)xx tyy ttl 則L的切向量為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cosdd , cosddsxsy所以所以L的切向量的方向余弦為 tytx, tytxtx22cos tytxty22cosdsdxdsdy類似的，有zRyQxPdddsRQPdc

10、oscoscos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(cosdd , cosddsxsy例例5. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxycos,22xx cosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以L的切向量為221, 1xxx則L的切向量的方向余弦為所以因?yàn)長的方程為1. 定義kkkknky

11、QxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxx

12、Pbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 F原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時(shí)針移動(dòng)到,

13、 ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)曲線C為曲面2222azyx與曲面axyx22,)0, 0(的交線az從 ox 軸正向看去為逆時(shí)針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計(jì)算曲線積分.ddd222zxyzxyC