典型題解-概率論部分

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件與概率是概率論的兩個最基本的概念.而計(jì)算各種事件概率的基本前提是：了解樣本空間的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算.本章內(nèi)容均是概率論的基礎(chǔ)知識. 計(jì)算概率的基本方法有：運(yùn)用事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算計(jì)算概率，古典型概率和幾何型概率的求法；運(yùn)用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式以及事件的獨(dú)立性計(jì)算概率.本章的基本問題: (1) 隨機(jī)事件;；(2) 隨機(jī)事件概率的求法.1.1隨機(jī)事件這一部分的主要內(nèi)容是: 利用集合形式寫出事件, 討論隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算.一、 用集合形式寫出事件利用集合形式寫出事件的關(guān)鍵是對樣本空間、

2、事件的積、事件的和、事件的差、互斥事件及對立事件等定義能準(zhǔn)確理解并切實(shí)掌握.1. 某燈泡廠取樣檢查出廠燈泡的壽命，設(shè) 表示“燈泡壽命大于1500小時”，表示“燈泡壽命在1000到2000小時之間”.請用集合形式寫出下列事件： 解. ，.2. 設(shè)一批零件，有正品也有次品，從這批零件中任意抽取7件.設(shè)表示事件“抽到的次品數(shù)不多于3”，表示事件“抽到的次品數(shù)為奇數(shù)”.試問：事件、各表示什么意思？解. 表示抽到的次品數(shù)為0，1，2，3，即，表示抽到的次品數(shù)為1，3，5，7，即，則，所以表示抽到的次品數(shù)為0，1，2，3，5，或7；表示抽到的次品數(shù)為1或3；表示抽到的次品數(shù)為0或2；表示抽到的次品數(shù)為0，

3、2，4或6.二、討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算 通過事件間的關(guān)系與運(yùn)算，可以將一個事件表示成與它等價的幾種不同形式，以便在今后計(jì)算概率時可以根據(jù)已知條件的不同而取其合適的一種表達(dá)式，在事件間的關(guān)系與運(yùn)算中，最常用的有關(guān)結(jié)論是：（1）,與互不相容；（2）；（3）當(dāng)與互不相容時，；，；（4）當(dāng)時，；，.3. 以表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件為（ ）. “甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷” “甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷” “甲種產(chǎn)品滯銷” “甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷” 解. 設(shè)事件表示“甲種產(chǎn)品暢銷”，表示“乙種產(chǎn)品滯銷”.則，“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”，應(yīng)選擇.4. 甲、乙、丙三人各向靶

4、子射擊一次，設(shè)表示“第人擊中靶子”，.試用事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）僅有乙未擊中靶；（2）甲、乙至少一人擊中，而丙未擊中靶子；（3）至少兩人擊中靶；（4）靶上僅中一彈.解. （1）僅有乙未擊中靶：；（2）甲、乙至少一人擊中而丙未擊中靶子：；（3）至少兩人擊中靶：；（4）靶上僅中一彈：.5. 證明.證：先證.設(shè)是的一個基本事件，即，從而或，當(dāng)時，必有且，從而必有；當(dāng)時，必有且，從而必有且，所以有，綜上所述，成立.下證.設(shè)是的一個基本事件，即，則有且;當(dāng)時，有或；當(dāng)時有或，因此有下列幾種情形： （1），此時必有；（2）且，即，此時亦有；（3）且，即，此時有；（4）且，即，此時有，所以不論哪

5、種情形，均滿足，故，由事件相等的定義可知1.2 隨機(jī)事件概率的求法對于一個事件，除必然事件和不可能事件外，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.人們常常需要知道某些事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，即通過求出事件的概率，揭示出這些事件內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，以便能更好地認(rèn)識客觀事物.這部分主要內(nèi)容是：討論在各種情況下，隨機(jī)事件概率的求法.一、古典型概率與幾何型概率的計(jì)算直接計(jì)算一個隨機(jī)事件的概率只有在特定的簡單試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭胁趴梢赃M(jìn)行，古典型概率與幾何型概率都是在特定的古典試驗(yàn)概型（有限等可能）與幾何試驗(yàn)概型（無限等可能）中，應(yīng)用概率的古典定義與幾何定義直接計(jì)算事件的概率.應(yīng)該指出的是：（1）在古典型概

6、率的計(jì)算中，正確計(jì)算出所求概率的事件中所含的樣本點(diǎn)數(shù)目（或中所包含的基本事件個數(shù)）是解此類題的關(guān)鍵，也是解題難點(diǎn)所在.如果能夠從分析事件發(fā)生的結(jié)構(gòu)出發(fā)，弄清導(dǎo)致發(fā)生的每個環(huán)節(jié)，將有助于正確計(jì)算中所含樣本點(diǎn)數(shù)，避免漏算或重復(fù)計(jì)算的錯誤.在計(jì)算過程中經(jīng)常會用到排列組合的有關(guān)知識，有時也需要列舉法逐一分析有利用的樣本點(diǎn)數(shù).（2）在幾何型概率的計(jì)算中，關(guān)鍵的問題是如何計(jì)算出有利于事件的度量（長度、面積、體積等），關(guān)于這一點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)條件畫出正確圖形，并熟悉一些簡單幾何圖形容積（面積、體積等）的計(jì)算將有助于解題.1. 在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章的號碼.（1）

7、求最小號碼為5的概率；（2）求最大號碼為5的概率. 解. 設(shè)表示事件“最小號碼為5”，表示事件“最大號碼為5”，而10人中任選3人共有種選法，此即為樣本點(diǎn)的總數(shù).（1）因選到的最小號碼為5，則其中一個號碼為5且其余兩個號碼都大于5. 它們可從610這5個數(shù)中選取.故.（2）同理可得.2. 將10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書靠在一起的概率. 解. 將10本書的每一種排列看作基本事件，則基本事件的總數(shù)為. 設(shè)表示指定的3本書靠在一起的事件，如果將3本書看作一本書與剩余的7本書進(jìn)行排列，則有種，而3本書靠在一起的排法有種，故事件中所包含的基本事件個數(shù)為.所以 .3. 在區(qū)間內(nèi)任取兩個隨機(jī)數(shù)

8、，求兩數(shù)之積小于的概率. 解. 顯然為一個樣本點(diǎn)，從而樣本空間 . 又設(shè)為所求事件，則易知 如圖所示陰影部分所示，所求概率為陰影部分的面積與的面積之比，故 4. 將一根長為的棍子任意地折成3段，求此3段能構(gòu)成一個三角形的概率.解. 設(shè)三段分別長為，由題意，只要確定了和，即可確定，故只須考慮和，顯然要將棍子能分成三段，必有，其中，這就是的取值范圍，所以此外，要構(gòu)成一個三角形，必滿足及，整理得因此所以構(gòu)成三角形的概率二、利用概率與條件概率的性質(zhì)和基本公式計(jì)算事件的概率古典概率要求試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果必須滿足有限性與等可能性這兩個特殊的條件，而幾何概率則保留了等可能性，把有限性擴(kuò)展為無限。然而這些方

9、法都只能在某種范圍中使用，并各自都存在一定的缺陷與局限性，因此有必要建立概率的一般定義并由此得出概率的一些重要的性質(zhì)及基本公式. 在概率的基本公式中，加法公式、乘法公式與減法公式常常與事件間關(guān)系與運(yùn)算結(jié)合應(yīng)用，特別要注意兩點(diǎn)：一個是在事件具備某種特定關(guān)系時，各公式的應(yīng)用模式，比如當(dāng)時，等；另一點(diǎn)應(yīng)注意各個公式的靈活應(yīng)用，比如從加法公式可以得到： ，等.5. 已知，試在下列兩種情形下分別求出與.（1）事件、互不相容； （2）事件、有包含關(guān)系.解. （1）由于，因此.于是 （2）由已知及性質(zhì)推得必定是. 事實(shí)上，若，由性質(zhì)可得,因此與已知矛盾.故有，于是 6. 計(jì)算下列各題：（1）設(shè),求；（2）設(shè)

10、,求；（3）設(shè)，求. 解. （1）， （2）, （3） 7. 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解. 設(shè)事件表示“從10件產(chǎn)品中任取兩件，有件不合格品”，. ，依題意所求概率為, 而 ， . .易見事件，因此,應(yīng)用條件概率公式 8. 已知，且，求.解. 由知，從而.于是 其中 , 代入上式得 . 9. 為了防止意外，在礦內(nèi)同時設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)和，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時，其有效的概率系統(tǒng)為0.92，系統(tǒng)為0.93，在失靈的條件下，有效的概率為0.85，求：（1）發(fā)生意外時，這兩個報(bào)警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；（2）失靈的條件下

11、，有效的概率.解. 依題意知，而 從而 .又 故 .又 得 .（1） .（2） .10. 設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，毎次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解. 設(shè)Ai (i=1, 2, 3, 4)表示事件“第i次取到紅球”，則分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為 三、全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用往往較前面幾個公式（如加法公式、乘法公式等）復(fù)雜. 它們一般會在計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率時經(jīng)常使用，解這類題的關(guān)鍵是在明確所求事件的同時，找到一個合適的完

12、備事件組.11. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1. 一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率.解. 設(shè)事件表示“顧客買下該箱玻璃杯”，表示“任取一箱中恰有件殘次品”，.依題意有，；，.（1）應(yīng)用全概率公式.（2）應(yīng)用貝葉斯公式 . 12. 在數(shù)字通訊中，由于存在隨機(jī)干擾，接收到的信號可能與發(fā)出的信號不同。若發(fā)報(bào)機(jī)以0.8和0.2的概率發(fā)出信號0和1，當(dāng)發(fā)出信號0時，接收機(jī)以0.9的概

13、率收到0信號，以0.1的概率收到1信號；當(dāng)發(fā)出信號1時，接收機(jī)以0.8的概率收到1信號，以0.2的概率收到0信號今接收機(jī)收到一個0信號，問發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出的是何種信號.解. 令發(fā)出信號“0”，發(fā)出信號“1”，收到信號“0”，收到信號“1”，依題意有：，由貝葉斯公式，有 故當(dāng)接到0信號時，發(fā)出的信號也是0的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過發(fā)出的信號是1的可能性13. 袋中裝有只正品硬幣，只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一只，將它投擲次，已知每次都得到國徽，問這只硬幣是正品的概率為多少？解. 令這只硬幣是正品，這只硬幣是次品，每次都得到國徽，則所以 14設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)

14、名表，其中女生的報(bào)名表分別為3 份、7份和5份. 隨機(jī)地取一個地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率P；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解. 設(shè)表示報(bào)名表是第i個地區(qū)考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的報(bào)名表是男生表(j=1, 2)，則P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，關(guān)于全概

15、率公式與貝葉斯公式的解題步驟可以概括如下：（1）應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式時，首先要明確導(dǎo)致所討論事件發(fā)生的完備事件組；其次要根據(jù)題設(shè)條件計(jì)算出與；最后應(yīng)用全概率公式解出所要計(jì)算的概率或應(yīng)用貝葉斯公式求出條件概率.（2）全概率公式中的完備事件組，可以是有限個事件（最少為兩個：與），也可以是可列個事件.（3）全概率公式中的事件可以是一個單一的事件，也可以是一些事件運(yùn)算后的一個事件.四、事件的獨(dú)立性若事件與相互獨(dú)立，則,又若事件相互獨(dú)立，則 由此可見，事件的獨(dú)立性會給一些概率的計(jì)算帶來方便.14. 設(shè)是任意二事件，其中的概率不等于0和1，證明：是事件與獨(dú)立的充分必要條件. 證： 由于的概率不等于0

16、和1，知題中兩個條件概率都存在. 與獨(dú)立.15某工人看管甲、乙、丙3臺機(jī)器，在1小時內(nèi)，這3臺機(jī)器不需照管的概率分別為0.8，0.9，0.6，設(shè)這三臺機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時內(nèi) （1）有機(jī)床需要工人照管的概率；（2） 機(jī)床因無人照管而停工的概率.解：（1）設(shè)Ai表示“甲、乙、丙三臺機(jī)床無需照管”i=1, 2, 3，則有機(jī)床需要工人照管的事件為，因而=0.568（2）以B表示“機(jī)床因無人照看而停工” =0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.

17、12416已知與獨(dú)立，與獨(dú)立，求證：與獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)與獨(dú)立.證： P(AB)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)又A與C獨(dú)立，B與C獨(dú)立 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(ABC)若AB與C獨(dú)立時，則P(ABC)=P(AB)P(C)此時 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C) 故 AB與C獨(dú)立.若AB與C獨(dú)立則 P(AB)C)=P(AB)P(C)，由前面的式子得P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C)

18、 =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)故AB與C獨(dú)立第2章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的引入使隨機(jī)事件有了數(shù)量標(biāo)識，進(jìn)而能夠用函數(shù)來刻畫與研究隨機(jī)事件，同時能夠?qū)⑽⒎e分中關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等方面的知識用于一些概率與分布的數(shù)字特征的計(jì)算. 隨機(jī)變量在近代概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有基礎(chǔ)地位.隨機(jī)變量通常分為兩類：離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量，而非離散型隨機(jī)變量范圍很廣，其中最重要，實(shí)際工作中也常遇到的是連續(xù)性隨機(jī)變量. 掌握隨機(jī)變量及其概率分布的基礎(chǔ)是：理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念與性質(zhì)、連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度的概念和性質(zhì)；會

19、計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率.此外，還應(yīng)會根據(jù)自變量的概率分布求其較簡單函數(shù)的概率分布.本章的基本問題: (1)離散型隨機(jī)變量; (2)連續(xù)性隨機(jī)變量; (3)常見隨機(jī)變量的概率分布及其應(yīng)用; (4) 求隨機(jī)變量函數(shù)的分布.2.1 離散型隨機(jī)變量這一部分的主要內(nèi)容是: 求離散型隨機(jī)變量的概率分布及分布函數(shù). 要求掌握概率分布及分布函數(shù)的定義和性質(zhì). 在解題中時常常會用到的結(jié)論： 的定義域是，值域；一、 求離散型隨機(jī)變量的概率分布求離散型隨機(jī)變量的概率分布，首先要明確其全部可能取值其次要計(jì)算隨機(jī)變量取各相應(yīng)值的概率. 前者很容易，后者的計(jì)算應(yīng)結(jié)合求隨機(jī)事件概率的各種方法與概率的基本公式完成.

20、1. 某人投籃，命中率為0.7，規(guī)則是：投中后或投了四次后就停止投籃，設(shè)表示“此人投籃的次數(shù)”，求的分布律. 解. 設(shè)表示“第次投中籃框”，.由題意，可以認(rèn)為各相互獨(dú)立.于是 ； ； ； 或者 從而得的分布律為 2. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求（1）的概率分布；（2）.解. （1）在的連續(xù)點(diǎn)，只有在的間斷點(diǎn)處取值的概率才大于零，且 則，因此，的概率分布為 （2） 二、求離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在取值為正概率的點(diǎn)處間斷，其圖形有一個跳躍，跳躍高度恰好等于取值的概率.3. 設(shè)隨機(jī)變量的所有可能取值為1,2,3,4. 且已知概率與成正比，即，試求（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù).

21、 解. （1）由概率分布的性質(zhì)可得： 故 . (2) 由（1）可得：的分布律為： 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，.故的分布函數(shù)為 2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量這一部分的內(nèi)容主要是: 求連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及分布函數(shù).要求掌握概率密度及分布函數(shù)的定義和性質(zhì). 在解題中常用結(jié)論：；在連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度的連續(xù)點(diǎn)處，.一、 求連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)不同的是：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度雖然是非負(fù)的，但是不一定不超過1，即的取值有時可能大于1.1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求（1）概率;（2）的概率密度. 解. （1）由性質(zhì)可得： （2）的概率密度為 二、 求連

22、續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，.因此連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個給的數(shù)值的概率都是0.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為，求(1) 常數(shù)A； (2) X的分布函數(shù)； (3) . 解：(1) 由性質(zhì) 即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (<x<+)(3) P(1X<1)=F(1)F(1)= 3一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù).解：設(shè)表示彈著點(diǎn)到圓心的距離的取值，由已知由于射擊都能中靶，故，從而得的分布函數(shù)當(dāng)時，是不

23、可能事件，故；當(dāng)時，此時概率與該圓盤面積成正比，得當(dāng)時，是必然事件，故所以. 2.3 常見隨機(jī)變量的概率分布及其應(yīng)用 0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、指數(shù)分布及正態(tài)分布等常見分布及其應(yīng)用在各類考題中出現(xiàn)較多，特別是二項(xiàng)分布與正態(tài)分布更為多見. 要牢固掌握這些分布及其應(yīng)用，還需要理解各分布中參數(shù)的概率意義，它們與分布數(shù)字特征間的關(guān)系.比如用二項(xiàng)分布描述獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時，參數(shù)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)；參數(shù)是每次試驗(yàn)的成功率. 在計(jì)算與各分布有關(guān)事件的概率時一般需已知分布參數(shù)，如果參數(shù)未知，通常要根據(jù)題設(shè)條件先求出分布參數(shù)（個別情況例外）.1假定一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.

24、7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠. 現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了10臺儀器，假設(shè)毎臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立，求（1）全部能出廠的概率；（2） 恰好有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率. 解：設(shè)為一臺儀器能出廠的概率，則=0.7+0.8×0.3=0.94，將檢查一臺儀器是否能出廠看成一次試驗(yàn)，可以認(rèn)為n=10，=0.94，設(shè)X為10臺儀器中能出廠的個數(shù)，則（1）PX=10=（2）PX=8=（3）PX2=1PX<2=2某種型號的電子管的壽命X（以小時計(jì)）具有以下概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（各電子管損壞與

25、否相互獨(dú)立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：任取一只電子管，其壽命大于1500小時的概率為： PX>1500=以Y記所取5只中壽命大于1500小時的電子管的數(shù)目則YB，故所求概率為 PY2=PY=0PY=1=13設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布.求方程 有實(shí)根的概率.解：的密度函數(shù)為 方程有實(shí)根的條件是即或（舍去）而所以方程有實(shí)根的概率為4. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開.他一個月要到銀行5次.以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù).寫出的分布律，并求. 解：該顧客

26、未等到服務(wù)而離開的意味著，因此未等到服務(wù)而離開的概率變量的取值為0，1，2，3，4，或5，且服從二項(xiàng)分布，則的分布律為 從而 2.4 求隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知一個隨機(jī)變量的分布，又知另一個隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系，求隨機(jī)變量的分布屬于求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。一、 求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，而也是連續(xù)型隨機(jī)變量，通常有兩種方法：（1）先通過的概率密度或分布函數(shù)求出的分布函數(shù)，再求概率密度. .（2）單調(diào)函數(shù)公式法：即如果是嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且不恒等于0，反函數(shù)的定義域?yàn)?，則 的概率密度為1 .設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的概率密度. 解： 由已知XN(0, 1)

27、X的分布密度為f(x)=設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y)，分布密度為(y)當(dāng)y1時 =P(|X|)=2P(X)= (y), (y1) 歸納得 Y=12|X|的分布密度為 (y)2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度.解： 在取值時，在上取值，故當(dāng)或時,.當(dāng)時，的分布函數(shù)為 .所以當(dāng)時， .因此，所求的概率密度為 3. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 是的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量的分布函數(shù).解：易見 ，當(dāng)時，；當(dāng)時，.對于，有 .設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，.對于，有 .于是，的分布函數(shù)為 二、 討論其他情況隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果是連續(xù)型隨機(jī)變量而是離散型隨機(jī)變量，則解題思路與都是離散型隨機(jī)變

28、量相同，即先明確的可能取值，再一一計(jì)算出取相應(yīng)值的概率.例如：設(shè)服從區(qū)間上的均勻分布，隨機(jī)變量是的函數(shù) 求的概率分布.易見是離散型隨機(jī)變量，由于,因此的可能取值為.于是 ， .第3章 多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的的聯(lián)合分布函數(shù)能夠完整地描述它們的取值規(guī)律.聯(lián)合概率函數(shù)，與聯(lián)合概率密度是分別用于描述離散型與連續(xù)型兩種不同類型隨機(jī)變量的更常用的表達(dá)形式. 已知它們（聯(lián)合分布）可以直接求出邊緣分布（邊緣分布律或邊緣分布密度）與條件分布（條件分布律或條件分布密度）. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是個重要的概念，必須要掌握它的判定方法. 根據(jù)隨機(jī)變量的的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，特別是求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布也是在

29、各類考試中時有出現(xiàn)的題型.本章的基本問題: （1）隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性;（2）求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布.3.1 隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性這一部分的主要內(nèi)容是: 求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布，判定隨機(jī)變量和是否獨(dú)立. 一、 求離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律及條件分布律并判定離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對于二維離散型隨機(jī)變量，若要判定它們不相互獨(dú)立，只需找到一個，使即可，若要判定相互獨(dú)立，則需檢驗(yàn)所有的均滿足才行.對于二維離散型隨機(jī)變量，如果已知聯(lián)合概率函數(shù)，可以根據(jù)定義直接求出邊緣分布律和條件分布律.1將兩封信隨機(jī)

30、地往編號為，的四個郵筒內(nèi)投，設(shè)表示第k個郵筒內(nèi)信的數(shù)目（k = 1, 2）.求（1）的聯(lián)合分布律；（2）中關(guān)于的邊緣分布.解：（1） 依題意知：(X1, X2)的可能取值為(0, 0)，(0, 1)，(0, 2)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0) P(X1=0, X2=0)=PX1=0 · pX2=0|X1=0= P(X1=0, X2=1)= P(X1=0, X2=2)= P(X1=1, X2=0)= P(X1=1, X2=1)= P(X1=2, X2=0)= P(X1=1, X2=2)=P(X1=2, X2=1)=P(X1=2, X2=2)=0 (X1, X2)的聯(lián)合分布律

31、：X2X1012010200（2） 關(guān)于X1的分布律為：X1012P關(guān)于X2的分布律為：X2012P2 .已知隨機(jī)變量X與Y的分布律為：X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知.（1）求（X，Y）的聯(lián)合分布律；（2）X與Y是否相互獨(dú)立，為什么？解：(1) 由P(XY=0)=1，可見 PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易見 =0于是，得X和Y的聯(lián)合分布：XY-10100100(2) P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= P(X=0) P(Y=0)P(X=0, Y0) X, Y不獨(dú)立3. 將一枚硬幣拋擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)

32、正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試（1）寫出，的聯(lián)合分布律. （2）求隨機(jī)變量的邊緣分布律.解：可能取值為0，1，2，3。Y可能取值為3，1，的聯(lián)合分布律為Y X0123100300（1） 由（1）可得： ，即的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為Y X01231003001二、 求連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣分布密度及條件分布密度并判定連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，在從聯(lián)合概率密度求時，當(dāng)對或?qū)Φ姆e分區(qū)間從換為的積分區(qū)間時，畫出的平面圖形將有助于正確確定積分區(qū)間.根據(jù)求條件概率密度、時，不僅在求邊緣密度時要注意使的積分區(qū)間，而且還要注意兩點(diǎn)：一是只有當(dāng)相應(yīng)的邊緣分布密度不為零時

33、，條件概率密度才存在；另一個是在一個隨機(jī)變量，比如取值時，另一隨機(jī)變量的條件概率密度的取值范圍.二維均勻分布與二維正態(tài)分布是二維連續(xù)型隨機(jī)變量中兩個最常見的分布，它們有很多一般二維隨機(jī)變量所不具備的特殊性質(zhì)，一定要理解其中參數(shù)的的概率意義.若是連續(xù)型隨機(jī)變量，則相互獨(dú)立.4. 設(shè)的概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）分布函數(shù)；（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）.解：（1）由概率密度的性質(zhì)得 故 （2） 故 （2） 由邊緣分布函數(shù)的定義得于是，得到 （4） =.5設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布密度為（1） 求；（2） X，Y是否相互獨(dú)立？（3）求.解：（1） fX|Y(x|y)=fY|

34、X(y|x)= 而 fX(x)= fY(y)= ，（2） 由（1）知= f (x, y) X，Y相互獨(dú)立（3） 6設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布.求（1）（X，Y）的聯(lián)合分布密度；（2） X與Y的邊緣分布密度，并問它們是否相互獨(dú)立？（3）.解：（1） 區(qū)域0x1，y2x的面積A由圖如示： 則：依題意有： （2） 又 X, Y不相互獨(dú)立.（3） .7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 （1）求條件概率密度，；（2）問與是否相互獨(dú)立？解：（1）因?yàn)?所以當(dāng)時 當(dāng)時 （2）顯然 不相互獨(dú)立3.2 求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布 求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題，對于離散型隨機(jī)變量仍是確定其作為函數(shù)的隨機(jī)

35、變量的取值及取各相應(yīng)值的概率，對于連續(xù)型隨機(jī)變量最基本的方法仍是先求出其分布函數(shù)，再根據(jù)分布函數(shù)求概率密度。 一、 求二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為則隨機(jī)變量的分布律為 注意：若對于不同的有相同的值，則取這些相同值的概率應(yīng)當(dāng)合并.1. 已知離散型隨機(jī)變量的分布律為Y X01200.100.250.1510.150.200.15 求（1）； （2）； （3）的分布律.解：由的分布律可列表如下 在上表中將取相同值所對應(yīng)的概率合并，分別得到（1）的分布律為 （2）的分布律為 （2）的分布律為 2. 設(shè)，是否相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從

36、參數(shù)為的泊松分布.證：的可能取值為0，1，2，的分布律為 ， 所以服從參數(shù)為的泊松分布二、 求二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的聯(lián)合概率密度及隨機(jī)變量函數(shù)分布的綜合題型 已知的聯(lián)合概率密度，而隨機(jī)變量是與的函數(shù)，為已知，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 .而的概率密度. 若與獨(dú)立且概率密度分別為與,則的概率密度可以直接利用卷積公式計(jì)算，即 或 值得注意的是：在卷積公式中，使被積函數(shù)不為零的區(qū)間往往不是，因此將被積函數(shù)換為具體表達(dá)式時，一定要注意積分區(qū)間的正確選取.3.設(shè)X、Y為隨機(jī)變量，且,，求.解：Pmax(XY)0=P(X0)(Y0)=4. 設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度.

37、解：由題設(shè)可知隨機(jī)點(diǎn)分布在正方形內(nèi)， 由分布函數(shù)的定義知 當(dāng)時，區(qū)域與三角形區(qū)域無交集，故；當(dāng)時，區(qū)域與三角形區(qū)域的交集為一梯形，從而；當(dāng)時，區(qū)域與三角形區(qū)域的交集為整個三角形區(qū)域，此時，于是求得分布函數(shù)為 5. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù). 求（1）的分布密度；（2）.解：（1）的分布函數(shù)為 .當(dāng)時，；當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，；故的概率密度為 （2） 6. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率分布為的概率密度為 記. 求（1）； （2）的概率密度. 解：（1）. （2） 故 第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征是概率分布的某種表征，是描述隨機(jī)變量特征的有效工具.特別是最

38、重要的幾個數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，相關(guān)系數(shù)等都有明確的概率意義，同時又具有良好的性質(zhì).因此數(shù)字特征的概念在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有很重要的地位.求隨機(jī)變量的數(shù)字特征，實(shí)際上可歸結(jié)為求隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題.比如一個隨機(jī)變量的方差，各階原點(diǎn)矩與各階中心矩，兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是求一個或多個隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.本章的基本問題: (1) 數(shù)學(xué)期望和方差； (2)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、矩.4.1 數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的平均值，而描述隨機(jī)變量取值分散程度的數(shù)值特征就是方差，期望和方差是刻畫隨機(jī)變量性質(zhì)的兩個最重要的數(shù)字特征.這部分主要內(nèi)容是：（1）求隨機(jī)變量及其函數(shù)的

39、期望；（2）求隨機(jī)變量的方差.一、 求隨機(jī)變量及其函數(shù)的期望求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望有三種方法：（1）先求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布，利用期望定義直接計(jì)算。（2）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)從的期望求出其函數(shù)的期望.（3）利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，從的分布和的函數(shù)關(guān)系求出的數(shù)學(xué)期望.在解題中，常會考查到隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的兩條性質(zhì)：（1）;（2）若與獨(dú)立，則.與前面類似，隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望也分離散型和連續(xù)型兩種情形.1對一臺儀器進(jìn)行重復(fù)測試，直到發(fā)生故障為止，假定測試是獨(dú)立進(jìn)行的，每次測試發(fā)生故障的概率為0.1，求試驗(yàn)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.解：由題意：PX=k=(0.1)·(0.9)k1 (k=

40、1, 2, ) E(X)=，又 故 E(X)=(0.1)=10.2設(shè)X，Y是任意兩個同分布的正值隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，證明：.證： 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，則E(X)=E(Y)，且 ，從而有，故 3. 甲乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，毎局比賽甲勝的概率為,乙勝的概率為，比賽進(jìn)行到有一人連勝兩局時結(jié)束，求需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（本題考察求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望基本方法是首先寫出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定義求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望） 解: X的可能取值為: 2,3,4,5,6,7, X的分布律為:, 則有4. 在半徑為R的半圓周上任取兩點(diǎn)，求以這兩點(diǎn)及圓心為頂點(diǎn)的三角形面積S的數(shù)學(xué)

41、期望 解: 設(shè)在半徑為R的半圓周上任取兩點(diǎn)，對應(yīng)的圓心角為，可知，其概率密度函數(shù)為，因?yàn)?所以 5設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,求X與Y的最大值的數(shù)學(xué)期望E 解: 由題設(shè)知相互獨(dú)立且同服從， 則有 （應(yīng)用概率積分: ）6設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，都在上服從均勻分布，求它們的最大值與最小值的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)，因?yàn)橄嗷オ?dú)立且同服從上的均勻分布，則的分布函數(shù)為 可得的分布函數(shù)為 進(jìn)一步可得的概率密度函數(shù)為所以, 的數(shù)學(xué)期望為 7設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求.解： X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布， E(X)=1而 E(e2X)= ， E(X+e2X)=E(X)+E(e2X)=1+8. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備

42、的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為,為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在(一年內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元.求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望. 解：法一：PX1=，設(shè)Y表示廠方出售一臺設(shè)備的贏利數(shù)，則Y的分布律為 Y 100 200 P E(Y)=33.64 法二：E(Y)= =33.649袋中有N張卡片，分別寫有號碼1、2、，N。從袋中任取一張卡片，記錄其號碼后仍放回袋中，如此共取n次，求取出的n張卡片上號碼的總和X的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)表示第次取出的號碼()，相互獨(dú)立，每一個可能的取值為，且，則由，可得10袋中有N個不同顏色的球，每次

43、從袋中任取1個球，記錄其顏色后仍放回袋中為了取出種不同顏色的球，平均需取多少次？例如，設(shè)N=10，分別計(jì)算n=2，3，10時平均需要取的次數(shù) 解：設(shè)隨機(jī)變量表示取出第種不同顏色的球后，直至取出第種不同顏色的球時需要取球的次數(shù)，則當(dāng)取出種不同顏色的球時所需取球的總次數(shù). 顯然，當(dāng)取出第種不同顏色的球后，每次取得新顏色（即第種顏色）的球的概率，隨機(jī)變量服從幾何分布，我們有由此得， 如果，則對應(yīng)于的不同的值，的值如下：n23456789102.113.364.796.468.4610.9614.2919.2929.2911. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記，求（1）的概率密度；（

44、2）.解：（1）設(shè)的分布函數(shù)為，則當(dāng)時，；當(dāng)時，故 的概率密度（2）法一： 則 法二：同理，的概率密度 二、 求隨機(jī)變量的方差求隨機(jī)變量函數(shù)的方差有兩種方法：（1）利用方差的定義直接計(jì)算，若是離散型隨機(jī)變量，其分布律為，則.若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則.（2）利用方差的計(jì)算公式：. 另外在利用方差的性質(zhì)做題時，要特別注意獨(dú)立性這個條件.12設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，其分布律為，其中是常數(shù)，求與.解：E(X)=； 13. X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度滿足：當(dāng)時，=0，證明：證： axb， a=a容易證明 D(X)E(xc)2，取c= D(X)=14. 靶的直徑為1m，以靶的中心為圓心畫1

45、0個同心圓，半徑分別為5，10，15，50cm射擊時，擊中點(diǎn)落在靶心最小的圓域內(nèi)得10環(huán)；落在其它各環(huán)形域內(nèi)依次得9，8，7，1環(huán)；脫靶得0環(huán)設(shè)二維隨機(jī)變量表示擊中點(diǎn)的坐標(biāo)，（靶心為坐標(biāo)原點(diǎn)），已知其概率密度 求一次射擊得到的環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差（本題考察求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差基本方法是首先寫出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定義求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，最后利用方差與均值的關(guān)系求方差、標(biāo)準(zhǔn)差）解：隨機(jī)變量的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.|時，我們用 （）表示相應(yīng)擊中點(diǎn)的坐標(biāo)所在的環(huán)形域則可得，= ， （） 從而有： =7.993415. 設(shè)兩個隨機(jī)

46、變量相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差. 解：令，則,.因獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，故.為求，需要先計(jì)算： ， .4.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、矩求兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)實(shí)際上都是求一個或多個隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.相關(guān)系數(shù)是描述兩個隨機(jī)變量間關(guān)系的數(shù)字特征.當(dāng)是的線性函數(shù)時，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對值是1.一般地，任何兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)滿足：.這部分主要內(nèi)容是：（1）求兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；（2）求各階原點(diǎn)矩與各階中心矩.一、 求兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)兩個隨機(jī)變量與獨(dú)立是相關(guān)系數(shù)為零的充分而非必要條件.因此下面五個命題的關(guān)系是：與相互獨(dú)立與的相關(guān)系數(shù)兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)常用的結(jié)論有：（1）.（2）是常數(shù).（3） 當(dāng)與相互獨(dú)立時，.1. 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布，且X和Y分別服從正態(tài)分布，X與Y的相關(guān)系數(shù).（1）求Z的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù).解：(1) E(Z)=； D(Z)= (2) 而D(X+Z)= = 2設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為：求數(shù)