最新五年級奧數(shù)—數(shù)的奇偶性(一)

1、精品文檔第 7 講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被 2 整除，可以分為兩類：（ 1）能被 2 整除的自然數(shù)叫 偶數(shù) ，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16，（ 2）不能被2 整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1, 3,5,7,9,11,13,15,17, 整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2 整除，所以偶數(shù)可以表示為2n 的形式，其中 n 為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被 2 整除 , 所以奇數(shù)可以表示為2n+1 的形式 , 其中 n 為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù),這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（ 1）兩個奇偶性相

2、同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來 , 兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù), 這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù) , 這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（ 2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（ 3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù), 一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4） 若干個數(shù)相乘 , 如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù) , 那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都 是奇數(shù) , 那么積就是奇數(shù)。反過來 , 如果若干個數(shù)的積是偶數(shù) , 那么因數(shù)中至少有一個是 偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù) , 那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（ 5）

3、 在能整除的情況下 , 偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù) , 也可能得 奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4 整除；奇數(shù)的平方除以4 的余數(shù)是1。因為（ 2n） 2 =4n2=4 X n2 , 所以（ 2n ） 2 能被 4 整除；因為（ 2n +1 ） 2 =4n 2 +4n+1=4 X （ n2+ n ） +1 , 所以（ 2n+1 ） 2 除以 4 余 1。（ 7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù), 其和必是奇數(shù)。（ 8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1 和這個數(shù)本身）, 那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù), 那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解

4、決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有 , 例如染色問題、 覆蓋問題、 棋類問題等 , 但只要想辦法編上號碼 , 成為整數(shù)問題 , 便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例 1 下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+ +1997+1998 。分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和,再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算 ,直接分析判斷出和的奇偶性, 那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2）, 和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1? 1998 中共有 999 個奇數(shù)， 999 是奇數(shù) , 奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以, 本題要求的和是奇數(shù)。例 2 能否

5、在下式的中填上“+”或“ -”，使得等式成立？1 2 3口 4口 5 6口 7口 8口 9=66。分析與解：等號左端共有9 個數(shù)參加加、減運算, 其中有5 個奇數(shù) ,4 個偶數(shù)。5 個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù) ,4 個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù), 因為“奇數(shù)+偶數(shù) =奇數(shù)” , 所以題目的要求做不到。例 3 任意給出一個五位數(shù), 將組成這個五位數(shù)的5 個數(shù)碼的順序任意改變, 得到一個新的五位數(shù)。那么 , 這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999 ？精品文檔精品文檔分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999 ，則有下式 :99999其中組成兩個加數(shù)的5 個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于9+9=

6、18 ，豎式中和的個位數(shù)是9, 所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10 個數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45 , 是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5 個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10 個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5 個數(shù)碼之和的2 倍，是偶數(shù)。奇數(shù)工偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999 , 所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999 。例 4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲

7、、乙兩人握手，對于甲是握手1 次，對于乙也是握手 1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A 類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B 類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A 類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A 類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù) =偶數(shù)，所以B 類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B 類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到 B 類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以 B 類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例 5 五（ 2 ）班部分

8、學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50 道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給 3 分，不答的題，每道給 1 分，答錯一道扣 1 分。試問：這部分學(xué)生得分的 總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50 道題， 50 個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。精品文檔精品文檔練習(xí) 71. 能否從四個 3、三個 5、兩個 7 中選出 5 個數(shù)，使這 5 個數(shù)的和等于 22?2. 任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得

9、一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是 999 。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3. 甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4. 某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5. A 市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30 道，記分方法是：底分15 分,每答對一道加 5 分，不答的題，每道加1 分，答錯一道扣1 分。如果有333 名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶