2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第5講　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1、第 5 講函數(shù) yasin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、知識梳理1yasin(x)的有關(guān)概念y asin(x )(a0，0)，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相at2f1t2x2.用五點(diǎn)法畫 yasin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫 yasin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：x2322x02322yasin(x)0a0a03.三角函數(shù)圖象變換的兩種方法(0)常用結(jié)論1由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的變換：向左平移個(gè)單位長度而非個(gè)單位長度2函數(shù) yasin(x)的對稱軸由xk2(kz)確定；對稱中心由xk(kz)確定其橫坐標(biāo)二、教材衍化

2、1函數(shù) y2sin12x3 的振幅、頻率和初相分別為()a2，4，3b2，14，3c2，14，3d2，4，3解析：選 c由題意知 a2，f1t214，初相為3.2函數(shù) ysin x 的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是_解析：根據(jù)函數(shù)圖象變換法則可得答案：ysin12x3 某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)： 該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn) 下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份 x1234收購價(jià)格 y(元/斤)6765選用一個(gè)函數(shù)來近似描述收購價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為_解析：設(shè) yasin(x)b(a0，0)，由題意得 a1，b6

3、，t4，因?yàn)?t2，所以2，所以 ysin2x6.因?yàn)楫?dāng) x1 時(shí)，y6，所以 6sin26，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得22k，kz，可取2，所以 ysin2x2 66cos2x.答案：y6cos2x一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)把 ysin x 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 ysin12x.()(2)將 ysin 2x 的圖象向右平移3個(gè)單位長度，得到 ysin2x3 的圖象()(3)函數(shù) f(x)asin(x)(a0)的最大值為 a，最小值為a()(4)如果 yacos(x)的最小正周期為 t， 那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之

4、間的距離為t2.()(5)若函數(shù) yasin(x)為偶函數(shù)，則2k2(kz)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)搞不清的值對圖象變換的影響；(2)確定不了函數(shù)解析式中的值1若將函數(shù) y2sin 2x 的圖象向左平移12個(gè)單位長度，則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 f(x)_解析：函數(shù) y2sin 2x 的圖象向左平移12個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為f(x)2sin2x122sin2x6 .答案：2sin2x62已知函數(shù) f(x)2sin(x)0，|2 的部分圖象如圖所示，則 f(x)_解析：設(shè) f(x)的最小正周期為 t，根據(jù)題圖可知，t22，所以 t

5、，故2，根據(jù) 2sin2120(增區(qū)間上的零點(diǎn))可知，62k，kz，即2k6，kz，又|2，故6.所以 f(x)2sin2x6 .答案：2sin2x6考點(diǎn)一五點(diǎn)法作圖及圖象變換(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|能畫出 ysin x，ycos x，ytan x 的圖象核心素養(yǎng)：直觀想象已知函數(shù) f(x) 3sin 2x2cos2xa，其最大值為 2.(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期；(2)畫出 f(x)在0，上的圖象【解】(1)f(x) 3sin 2x2cos2xa 3sin 2xcos 2x1a2sin2x6 1a 的最大值為 2，所以 a1，最小正周期 t22.(2)由(1)知 f(x)2sin

6、2x6 ，列表：x065122311122x662322136f(x)2sin2x6120201畫圖如下：【遷移探究 1】(變結(jié)論)在本例條件下，函數(shù) y2cos 2x 的圖象向右平移_個(gè)單位得到 yf(x)的圖象解析：將函數(shù) y2cos 2x 的圖象向右平移4個(gè)單位長度，可得函數(shù) y2sin 2x 的圖象，再將 y2sin 2x 的圖象向左平移12個(gè)單位長度，可得函數(shù) y2sin(2x6)的圖象，綜上可得，函數(shù) y2sin2x6 的圖象可以由函數(shù) y2cos 2x 的圖象向右平移6個(gè)單位長度得到答案：6【遷移探究 2】(變問法)在本例條件下，若將函數(shù) f(x)的圖象向右平移 m(m0)個(gè)單位

7、長度后得到函數(shù) yg(x)的圖象，且 yg(x)是偶函數(shù)，求 m 的最小值解：由已知得 yg(x)f(xm)2sin2(xm)62sin 2x2m6是偶函數(shù)，所以2m62(2k1)，kz，mk23，kz，又因?yàn)?m0，所以 m 的最小值為3.函數(shù) yasin(x)(a0，0)的圖象的兩種作法五點(diǎn)法設(shè) zx，由 z 取 0，2，32，2來求出相應(yīng)的 x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象圖象變換法由函數(shù) ysin x 的圖象通過變換得到 yasin(x)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”注意平移變換和伸縮變換都是針對 x 而言，即 x 本身加減多少值，而不是x 加減

8、多少值1(2020廣州市調(diào)研測試)由 y2sin6x6 的圖象向左平移3個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為()ay2sin3x6by2sin3x6cy2sin3x12dy2sin12x6解析： 選 a 由 y2sin6x6 的圖象向左平移3個(gè)單位長度， 可得 y2sin6x3 62sin6x262sin6x6 的圖象，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，得到 y2sin3x6 的圖象，故所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y2sin3x6 ，選 a2(2020湖南模擬改編)已知函數(shù) f(x)sin 2x 3cos 2x，將 yf(x)

9、的圖象向左平移6個(gè)單位長度，再向上平移 1 個(gè)單位長度得到函數(shù) yg(x)的圖象，則所得函數(shù)的最小正周期為_，g34 的值為_解析：由題知函數(shù) f(x)sin 2x 3cos 2x2sin2x3 ，將 yf(x)的圖象向左平移6個(gè)單位長度，可得 y2sin2x33 2sin 2x 的圖象，再向上平移 1 個(gè)單位長度得到函數(shù) yg(x)2sin 2x1 的圖象，則 t22，g34 2sin32 13.答案：3考點(diǎn)二求 yasin(x)的解析式(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|了解 yasin(x)的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出 yasin(x)的圖象，觀察參數(shù) a、對函數(shù)圖象變化的影響核心素養(yǎng)：直觀想象

10、(2020蓉城名校第一次聯(lián)考)若將函數(shù) g(x)圖象上所有的點(diǎn)向左平移6個(gè)單位長度得到函數(shù) f(x)的圖象，已知函數(shù) f(x)asin(x)a0，0，|2 的部分圖象如圖所示，則()ag(x)sin2x3bg(x)sin2x23cg(x)sin 2xdg(x)sin2x6【解析】根據(jù)題圖有 a1，34t561234t22(t 為 f(x)的最小正周期)，所以 f(x)sin(2x)，由 f12 sin2121sin61622k，kz32k， kz.因?yàn)閨2， 所以3， 所以 f(x)sin2x3 ， 將 f(x)sin2x3 的圖象向右平移6個(gè)單位長度得到函數(shù) g(x)的圖象，則 g(x)fx

11、6 sin2x6 3sin 2x.故選 c【答案】c確定 yasin(x)b(a0，0)的步驟和方法(1)求 a，b，確定函數(shù)的最大值 m 和最小值 m，則 amm2，bmm2.(2)求，確定函數(shù)的最小正周期 t，則可得2t.(3)求，常用的方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí) a，b 已知)或代入圖象與直線 yb 的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)；特殊點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口具體如下：“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)x 22k(kz)；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)x322k(kz)1已知函數(shù) f(x)asin(x)a0，0，22的

12、最小正周期是，且當(dāng) x6時(shí)，f(x)取得最大值 2，則 f(x)_解析：因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的最小正周期是，所以2.又因?yàn)?x6時(shí)，f(x)取得最大值 2.所以 a2，同時(shí) 262k2，kz，2k6，kz，因?yàn)?0，0，0)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，efg(點(diǎn) g 是圖象的最高點(diǎn))是邊長為 2 的等邊三角形，則 f(1)_解析：由題意得，a 3，t42，2.又因?yàn)?f(x)acos(x)為奇函數(shù)，所以2k，kz，由 0，取 k0，則2，所以 f(x) 3cos2x2 ，所以 f(1) 3.答案： 3考點(diǎn)三三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用(應(yīng)用型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會(huì)三

13、角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模(2020山東省八所重點(diǎn)中學(xué) 4 月聯(lián)考)如圖，點(diǎn) a，b 分別是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 1 和 2 的圓上的動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) a 從初始位置 a0cos3，sin3 開始，按逆時(shí)針方向以角速度2 rad/s 做圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) b 從初始位置 b0(2，0)開始，按順時(shí)針方向以角速度 2 rad/s 做圓周運(yùn)動(dòng)記 t 時(shí)刻，點(diǎn) a，b 的縱坐標(biāo)分別為 y1，y2.(1)求 t4時(shí)，a，b 兩點(diǎn)間的距離；(2)若 yy1y2，求 y 關(guān)于時(shí)間 t(t0)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng) t0，2 時(shí)，y 的取值范圍【解】(1)連接 ab，oa，ob，當(dāng) t4

14、時(shí)，xoa2356，xob2，所以aob23.又 oa1，ob2，所以 ab21222212cos237，即 a，b 兩點(diǎn)間的距離為 7.(2)依題意，y1sin2t3 ，y22sin 2t，所以 ysin2t3 2sin 2t32cos 2t32sin 2t 3cos2t3 ，即函數(shù)關(guān)系式為 y 3cos2t3 (t0)，當(dāng) t0，2 時(shí)，2t33，43 ，所以 cos2t3 1，12 ，故當(dāng) t0，2 時(shí)，y 3，32 .三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中體現(xiàn)的兩個(gè)方面(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與因變量之間的對應(yīng)法則；(2)需要建立精確的

15、或者數(shù)據(jù)擬合的模型去解決問題，尤其是利用已知數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問題，此類問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，考查應(yīng)用意識某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時(shí)間 t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)，則實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為_.解析：因?yàn)?f(t)10232cos12t12sin12t102sin12t3 ，又 0t24，所以312t30)的圖象的相鄰兩支截直線 y2 所得線段長為2，則 f6 的值是()a 3b33c1d 3解析：選 d由題意可知該函數(shù)的周期為2，所以2，2，f(x)tan 2x，所以 f6 tan3 3.3 已知函數(shù) f(x

16、)asin x(a0， 0)與 g(x)a2cos x 的部分圖象如圖所示， 則()aa1ba3c3d3解析： 選 c 由題圖可得過點(diǎn)(0，1)的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 g(x)a2cos x， 即a21，a2.過原點(diǎn)的圖象對應(yīng)函數(shù) f(x)asin x.由 f(x)的圖象可知，t21.54，可得3.4 (2020福建五校第二次聯(lián)考)為得到函數(shù) ycos2x3 的圖象， 只需將函數(shù) ysin 2x的圖象()a向右平移512個(gè)單位長度b向左平移512個(gè)單位長度c向右平移56個(gè)單位長度d向左平移56個(gè)單位長度解析：選 b因?yàn)?ysin 2xcos22xcos2x2 ，ycos2x3 cos2x51

17、2 2，所以將函數(shù) ysin 2x 的圖象向左平移512個(gè)單位長度可得到函數(shù) ycos2x3 的圖象故選 b5(多選)已知函數(shù) f(x)cosx23 (0)的最小正周期為 4，則下列敘述中正確的是()a函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x3對稱b函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增c函數(shù) f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對稱d函數(shù) f(x)在區(qū)間0，上的最大值為12解析：選 cd由題意知24，則12，所以 f(x)cos12x23 .因?yàn)?f3 cos561，所以直線 x3不是 f(x)圖象的對稱軸，a 錯(cuò)誤；因?yàn)?x(0，)，所以12x2323，76 ，當(dāng)12x2323，時(shí)，f(x

18、)單調(diào)遞減；當(dāng)12x23，76 時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以 f(x)在0，上的最大值為 cos2312，b 錯(cuò)誤，d 正確；f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位長度后得到圖象的函數(shù)解析式為 g(x)cos12x3 23cos12x2 sin12x，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，c 正確6將函數(shù) ysin x 的圖象上所有的點(diǎn)向右平移10個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是_解析：ysin x向右平移10個(gè)單位長度ysinx10橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍ysin12x10 .答案：ysin12x107函數(shù) ycos(2x)(0)的圖象向右平移2個(gè)單位

19、后，與函數(shù) ysin2x3 的圖象重合，則_解析：把函數(shù) ycos (2x)(0)的圖象向右平移2個(gè)單位后，得到 ycos (2x)的圖象，與函數(shù) ysin2x3 的圖象重合，則 cos (2x)sin2x3 ，即 sin2x2sin2x3 ，所以23，則6，答案：68已知函數(shù) f(x)2sin(x)0，|2 的部分圖象如圖所示，則_，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析： 由圖象知t236 2， 則周期 t，即2， 則2， f(x)2sin(2x) 由五點(diǎn)對應(yīng)法得 26 2k，又|2，所以3，則 f(x)2sin2x3 .令 2k22x32k2，kz，得512kxk12，kz，即函數(shù) f(x

20、)的單調(diào)遞增區(qū)間為512k，12k，kz.答案：2512k，12k(kz)9如圖，某市擬在長為 8 km 的道路 op 的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段 osm，該曲線段為函數(shù) yasin x(a0，0)，x0，4的部分圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 s(3， 2 3)； 賽道的后一部分為折線段 mnp.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全， 限定mnp120.求 a，的值和 m，p 兩點(diǎn)間的距離解：連接 mp(圖略)依題意，有 a2 3，t43，又 t2，所以6，所以 y2 3sin6x.當(dāng) x4 時(shí)，y2 3sin233，所以 m(4，3)又 p(8，0)，所以|mp| （4）2325.即 m，p

21、 兩點(diǎn)相距 5 km.10(2020合肥市第一次質(zhì)量檢測)將函數(shù) f(x)sin 2x 的圖象向左平移6個(gè)單位長度后得到函數(shù) g(x)的圖象，設(shè)函數(shù) h(x)f(x)g(x)(1)求函數(shù) h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若 g6 13，求 h()的值解：(1)由已知可得 g(x)sin2x3 ，則 h(x)sin 2xsin2x3 sin2x3 .令22k2x322k，kz，得12kx512k，kz.所以函數(shù) h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12k，512k，kz.(2)由 g6 13得 sin26 3sin223 13，所以 sin23 13，即 h()13.綜合題組練1(綜合型)(2020長沙市統(tǒng)一

22、模擬考試)已知 p(1，2)是函數(shù) f(x)asin(x)(a0，0)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，b，c 是與 p 相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)設(shè)bpc，若 tan234，則 f(x)圖象的對稱中心可以是()a(0，0)b(1，0)c32，0d52，0解析：選 d如圖，連接 bc，設(shè) bc 的中點(diǎn)為 d，e，f 為與點(diǎn) p 最近的函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)，即函數(shù) f(x)圖象的兩個(gè)對稱中心，連接 pd，則由題意知|pd|4，bpdcpd2，pdbc，所以 tanbpdtan2|bd|pd|bd|434，所以|bd|3.由函數(shù) f(x)圖象的對稱性知 xe13212，xf13252，所以 e12，0，f52，0，所以函數(shù) f(x)圖象的對稱中心可以是52，0，故選 d2.(2020湖南衡陽高中畢業(yè)聯(lián)考(二)將函數(shù) f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位長度，再將所得函 數(shù) 圖 象 上 的 所 有 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 縮 短 到 原 來 的23， 得 到 函 數(shù) g(x) asi