第四章銳角三角函數(shù)（黃燦輝）

1、九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案 編寫人：黃燦輝 數(shù)學(xué)是對(duì)真、善、美的追求 班級(jí)：_ 姓名：_ 第四章 銳角三角函數(shù)第1課時(shí) 4.1 正弦12一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 理解直角三角形中一個(gè)銳角的正弦定義2、 會(huì)求直角三角形中銳角的正弦值二、【預(yù)習(xí)】閱讀教材 P 109P111 1、 在直角三角形中，怎樣求一個(gè)300的正弦值，試一試。2、在直角三角形中，任意兩個(gè)相同銳角的對(duì)邊與斜邊的比值是否同為一個(gè)常數(shù)？請(qǐng)動(dòng)手推導(dǎo)。三、【自學(xué)自測(cè)】1、在直角三角形中，把銳角的邊與邊的比叫作角的正弦，記作.2、在RtABC中，C=90°,A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，則= ，= 。3、在Rt ABC中，C=900 ,

2、BC=5,AB=13,則sinA= , sinB= .4、 如圖在RtABC中，C=90°,AB=6, =,則BC= ，AC= 5、在直角三角形中，各邊都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則銳角A的正弦值 【合作學(xué)習(xí)】例1：如圖，在RtABC中，。（1）求sinA的值，（2）求sinB的值. 例2：在直角三角形ABC中,則邊AC的長(zhǎng)？ 例3、在ABC中，AB=AC=10,BC=12,求的值。例4、在直角三角形中，分別求出450、600角的正弦值【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】1、已知RtABC中，C=90°那么的值（ ）A、與AB的大小有關(guān) B、與BC的大小有關(guān)C、與AC的大小有關(guān) D、與A的大小有關(guān)2、在直角

3、三角形中，各邊都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則銳角a的正弦值 3、在Rt ABC中，C=900 ,BC=5,AB=13,則sinA= ,sinB .4、如圖，在Rt ABC中，求三角形的周長(zhǎng)。【思維舞臺(tái)】 1、如圖所示，已知在ABC中，A的兩邊長(zhǎng)分別為b,c .求證：2、有人說：“對(duì)于任意的銳角a，都有0sina1，你認(rèn)為說對(duì)嗎？為什么？【課后作業(yè)】1、已知ABC中，AB=17,AC=8,BC=15,求、；2、已知，在ABC中，C=90°,AB=13,BC=5(1)求AC；（2）求、；（3）計(jì)算的值。 3、 在Rt ABC中，如兩條直角邊為a,b（a>b）是方程組 的解，求sinA-sin

4、B的值第2課時(shí) 4.2余弦【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 了解余弦概念，熟記特殊角度的正弦，余弦值。能夠較正確地用sinA，cosA表示直角三角形中兩直角邊與斜邊的比。2、 結(jié)合正弦，余弦的概念，掌握 , 【自學(xué)導(dǎo)航】閱讀教材P113-P114，完成下題：1、在直角三角形中，把銳角a的邊與邊的比叫做角a的弦。記作：。2、已知a是銳角，且sina=,則cos(900 a)= .3、在RtABC中，則cosA= .sinA= .4、在RtABC中，C=90°，BC=3,AC=4,則= , = 。【合作學(xué)習(xí)】例1、如圖，在RtABC，,AB=3 , (1)求cosA，sinA, cosB,sinB的值。

5、例2、在RtABC中，cosA=，AB=15，求BC的長(zhǎng)？ 例3，在直角三角形中，分別求300、450、600余弦值。DCBA例4、如圖，在RtABC中，C=90°，B=30°，AD是A的平分線,AB=，求（1）AC的長(zhǎng)，（2）CAD的度數(shù)，（3）AD的長(zhǎng)【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】1. 如圖所示，已知P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,2）則cosa= 2 已知cos28°=0.8829，則sin62°= 3、=4、a30°45°60°sinacosa【思維舞臺(tái)】 有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的銳角a，都會(huì)有,你認(rèn)為他說的對(duì)嗎？為什么？【課后作業(yè)】1在RtABC

6、中，C=90°，AB=13,AC=12,則= , = 。230°= ，45°= ，60°= 。3計(jì)算°·°-= 。4在RtABC中，C=90°，A=2B，則 等于（ ）A、 B、 C、 D、7在RtABC中，C=90°，下列各式中正確的是（ ）A B C D 8如果A為銳角，且=,則（ ）A 0°A30° B 30°A45°C 45°A60° D 60°A90°9. 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0）點(diǎn)B

7、在第一象限內(nèi)，BO=2，BOA= 60°求（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）BA0的值 第3課時(shí) 同角間的正、余弦的關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、已知一角的正弦（余弦），求該角的余弦（正弦）2、掌握正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】1、同一銳角的正弦與余弦的關(guān)系：平方關(guān)系：若是銳角，則=1。2、知識(shí)歸納概 念：在直角三角形中，一個(gè)銳角為，則 ， 。注 意：當(dāng)為銳角時(shí)，。特 殊 角：特殊角的正弦、余弦值： ， ， ； ， ， 。關(guān) 系：互余兩角正、余弦之間的關(guān)系 ， ?！竞献鲗W(xué)習(xí)】1、 根據(jù)正弦、余弦定義計(jì)算例1 已知ABC中，C=90°,求的值。例2、互余兩角的正弦與余弦的關(guān)系例2 在RtAB

8、C中，已知C=90°,若=0.4321，則= 。例3、正弦、余弦的應(yīng)用例3 在等腰ABC中，AB=AC=10，BC=12,則的值是（ ）A、 B、 C、 D、【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】1、已知B為銳角且=0，則的值為（ ）A、 B 、 1 C、 D、 2、在ABC中，C=90°,若=,則的值為（ ）A、 B、 C、 D、 3、在ABC中，=,=,則ABC為（ ）A、銳角三角形 B、鈍角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形4、已知A為銳角且，那么（ ）A、0°A60° B、60°A90°C、0°A30° D、30°A

9、90°5、RtABC中，C=90°, = b=8，則的值為（ ）A、12 B、24 C、36 D、4【思維舞臺(tái)】 【課后作業(yè)】1、若銳角A滿足,則A= 。2、已知銳角滿足，則的大小關(guān)系是 。3、若為銳角，則= 。4、在ABC中，A=30°,B-C=60°,BC=2,則AC= 。5、若為銳角，則的值（ ）A、大于1 B、等于1 C、小于1 D、大于0且小于16、若A、B、C是三角形三個(gè)內(nèi)角，則等于（ ）A、 B、 C、 D、7、計(jì)算（1） （2）8、如圖，在矩形ABCD中，DEAC，EC=8,求菱形的面積。9、如圖，在矩形ABCD中，DEAC,AB=6,求

10、AD的長(zhǎng)。第4課時(shí) 正切 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 了解視角、仰角、俯角的概念，掌握正切的定義2、 掌握特殊角的正切值的計(jì)算與應(yīng)用3、掌握公式的運(yùn)用【自學(xué)檢測(cè)】1、 仰角、俯角的概念（如圖）2、正切的定義：如圖，在直角三角形中，銳角 與 的比叫角的正切，記作 。3、特殊角的正切函數(shù)值特 殊 角：= ，= ，= 。【合作學(xué)習(xí)】1、特殊角的正弦、余弦、正切函數(shù)值的綜合應(yīng)用例1 計(jì)算：（1）；（2）2、應(yīng)用三角函數(shù)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題ECBA例2 如圖，小穎利用有一個(gè)銳角是30°的三角板測(cè)量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m（即小穎的眼睛距地面的距離），那么這棵樹

11、高CE是（ ） A、（）m B、（）m C、mD、4m3、由銳角的一種三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值例3、已知ABC，C=90°,=3,c=4,求A的三個(gè)三角函數(shù)值?！井?dāng)堂檢測(cè)】1、（20分）已知,則銳角A= 。2、（20分）ABC中，C=90°，若,則 。3、（20分）在ABC中，C=90°, ,AC=6,則BC= .4、（20分）在直角坐標(biāo)中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)， 分別為A(-4,1) B(-1,3) C(-4，3)則= 。5、在ABC中，C=90°, 則A= ?！舅季S舞臺(tái)】 1、已知為銳角，且滿足,求【課后作業(yè)】1、在RtABC中，若AC=2BC,則

12、tanA= .2、在RtABC中，,已知tanB=，則tanA= 3 、已知sina=,cosa=,則tana= 4 、在RtABC中，,AC=12,BC=6,求tanA,tanB的值。 5、 的值。5、已知，則銳角= 。6、若,則銳角A= 。7、在ABC中，C=90°,AB=2,BC=,則= .8、直線與軸相交所成的銳角的正切值為，求直線的解析式。9、如圖，在ABC中，C=30°,BAC=105°,ADBC,AC=2,求BC的長(zhǎng)。10、等腰三角形的兩邊分別是4和6，求底的正切值。第5課時(shí)用解直角三角形的方法解決水平面與垂直面的問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 掌握解直角三角

13、形在水平面和垂直面方面應(yīng)用2、 掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法?！局R(shí)梳理】2） 用解直角三角形知識(shí)解決水平面內(nèi)的實(shí)際問題2、用解直角三角形知識(shí)解決垂直面內(nèi)的實(shí)際問題。仰 角：視線在水平線上方且與水平線的夾角。俯 角：視線在水平線的下方且與水平線的夾角【合作學(xué)習(xí)】 1、 解直角三角形在水平面內(nèi)的應(yīng)用例1 去年某省將地處A、B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便A、B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2km的A、B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB）,經(jīng)測(cè)量，在A地的北偏東60°方向、B地偏西45°方向的C處有一個(gè)半徑為0.7km的公園，問計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過公

14、園。 2、 解直角三角形在垂直面內(nèi)的應(yīng)用例2 如圖，河對(duì)岸有一鐵塔AB，在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，向塔前進(jìn)16米到達(dá)D,在D處測(cè)得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高。DCAB【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】1、（30分）如圖，某飛機(jī)在空中A處探測(cè)地面目標(biāo)B，此時(shí)從飛機(jī)看目標(biāo)B的俯角為30°，飛行高度AC=1200m，則飛機(jī)到目標(biāo)B的距離AB為（ ）A、1200m B、2400m C、400m D、1200m2、(30分)如圖，坡角為30°的斜邊上有兩樹間的水平距離AC=4，則兩樹間的坡面距離AB為（ ）A、8m B、m C、m D、mOAB3、（40分）如圖，機(jī)器人從A

15、點(diǎn)沿著西南方向行了個(gè)單位到過B點(diǎn)觀察原點(diǎn)O在它的南偏東60°的方向上，則原來(lái)A的坐標(biāo)為 。（結(jié)果保留根號(hào)）第6課時(shí)用解直角三角形的方法解決梯形問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 掌握解直角三角形的四邊形中的應(yīng)用2、 掌握坡角、坡度的有關(guān)概念3、 掌握坡角、坡度的應(yīng)用4、 逐步具備“轉(zhuǎn)化”思想方法【知識(shí)梳理】1、 梯形與直角三角形轉(zhuǎn) 化：梯形?；瘹w成矩形有直角三角形來(lái)解，如圖:：2、 解直角三角形在梯形中的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化：將生活應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型應(yīng) 用 一：求等腰梯形的高。方 法：把梯形的高放到直角三角形的直角邊上去。應(yīng) 用 二：求一腰與下底的角。方 法：把下底角放到直角三角形的銳角中。3、 坡度

16、的表達(dá)形式定 義：豎直的高度與水平前進(jìn)距離的比叫作坡度，用字母表示，即4、 坡度的表達(dá)形式比 例 式：坡度通常寫成1：m5、 坡角定 義：坡面與地平面的夾角叫作坡角。6、坡度與坡角之間的關(guān)系公 式：【合作學(xué)習(xí)】解直角三角形知識(shí)在菱形中的運(yùn)用例1 若菱形的周長(zhǎng)為24，兩相鄰角的度數(shù)之比是12，則菱形的面積是多少？DCBA解三角形知識(shí)在梯形中的運(yùn)用CBAD例2 如圖，梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD,AD=6,BC=14,，求. 坡角、坡度的運(yùn)用例3 ,如圖，攔洪壩的橫斷面為梯形ABCD，已知上底BC=5m，迎水平坡度，背水坡度，壩高4m，求：（1） 下底AD的長(zhǎng)（精確到1m）；（2） 迎水坡CD的長(zhǎng)；（3） 坡角。CBAD類型之四 由不同坡比構(gòu)建不同的直角三角形求ADCB例4 如圖，攔水壩的橫斷面為等腰梯形ABCD,壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并且操持壩頂寬度不變，迎水坡CD 的坡度不變，但是背水