圓中的最值問題

1、1 圓中的最值問題 【考題展示】 題 1 （2012 年武漢中考）在坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為（3 , 0），點 B 為 y 軸正半軸上的一點，點 C 是第一象限內(nèi) 一點，且 AC=2 設(shè) tan / BOC=m 貝U m 的取值范圍是 _ . 題 2 （2013 年武漢元調(diào)）如圖，在邊長為 1 的等邊 OAB 中，以邊 AB 為直徑作O D,以 O 為圓心 OA 長為半徑作 O O, C為半圓弧AB上的一個動點（不與 A B 兩點重合），射線 AC 交O O 于點 E, BC=a , AC=b，求a b 的最大值.（有修改） 題 3 （2013 年武漢四調(diào)）如圖，/ BAC=60，半徑長為

2、1 的圓 O 與/ BAC 的兩邊相切，P 為圓 O 上一動點，以 P 為圓心，PA 長為半徑的圓 P 交射線 ABAC 于 DE 兩點，連接 DE,則線段 DE 長度的最大值為 _ . 題 4 （2013 年武漢五模）在厶 ABC 中，.A=120 , BC =6 .若 ABC 的內(nèi)切圓半徑為 r，貝U r 的最大值為 .（有修改） 題 5 （2013 年武漢中考）如圖，E, F 是正方形 ABCD 勺邊 AD 上兩個動點，滿足 連接 BE 交 AG 于點 H.若正方形的邊長為 2，則線段 DH 長度的最小值是 _ AE=DF 連接 CF 交 BD 于點 G, 2 題 5 圖 3 【典題講練

3、】 類型 1 (相關(guān)題：題 5) 1.1 如圖，邊長為 a 的等邊 ABC 的頂點 A, B 分別在 x軸正半軸和 y 軸正半軸上運動，則動點 C 到原點 0 的 距離的最大值是 _ 1.2 在直角坐標(biāo)系中， ABC 滿足，/ C=90, AC=8 BC=6 點 A, B 分別在 x軸、y 軸上，當(dāng) A 點從原點開始 在正 x軸上運動時，點 B 隨著在正 y 軸上運動(下圖)，求原點 0 到點 C 的距離 0C 的最大值，并確定此時圖形 應(yīng)滿足什么條件. 1.3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 已知等腰直角三角形 ABC / C=90 , AC=BC=2 點 A、C 分別在 x軸、y 軸上, 當(dāng)點

4、 A 從原點開始在 x軸的正半軸上運動時，點 C 在 y 軸正半軸上運動. (1) 當(dāng) A 在原點時，求點 B 的坐標(biāo)； (2) 當(dāng) OA=OC 寸，求原點 0 到點 B 的距離 0B (3) 在運動的過程中，求原點 0 到點 B 的距離 0B 的最大值，并說明理由. 1.4 邊長為 2 的等邊 ABC 的頂點 A 在 x軸的正半軸上移動，頂點 B 在射線 0D 上移動，/ AOD=45,則頂點 C 到原點 0 的最大距離為 _ .4 1.5 如圖，O O 的直徑為 4, C 為O O 上一個定點，/ ABC=30 ,動點 P 從 A 點出發(fā)沿半圓弧 AB向 B 點運動（點 P 與點 C在直徑

5、 AB 的異側(cè)），當(dāng) P 點到達(dá) B 點時運動停止，在運動過程中，過點 C 作 CP 的垂線 CD 交 PB 的延 長線于 D 點. （1） 在點 P 的運動過程中，線段 CD 長度的取值范圍為 _; （2） 在點 P 的運動過程中，線段 AD 長度的最大值為 _ . 1.6 如圖，定長弦 CD 在以 AB 為直徑的O O 上滑動（點 C、D 與點 A、B 不重合），M 是 CD 的中點，過點 C 作 CP 丄 AB 于點 P,若 CD=3 AB=8 貝U PM 長度的最大值是 _ . 1.7 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3 點 D 是平面內(nèi)的一個動點，

6、且 AD=2 M 為 BD 的中點, 在 D 點運動過程中，線段 CM 長度的取值范圍是 _ . 類型 2 （相關(guān)題：題 4）5 2.1 如圖，已知 AB 是O O 的弦，C 是O O 上的一個動點，連接 AC BC, / C=60,O O 的半徑為 2, 面積的最大值是 _ . 2.2 如圖，已知直線 MN 經(jīng)過O O 上的點 A,點 B 在 MN 上，連 0B 交O O 于 C 點，且點 C 是 0B 的中點, 若點 P 是O 0 上的一個動點，當(dāng) AB=2 血時， APC 的面積的最大值為 _ 2.3 如圖，半圓 0 的半徑為 1, AC 丄 AB, BD 丄 AB,且 AC=1, BD

7、=3, P 是半圓上任意一點，則封閉圖形 積的最大值是 _ 則厶 ABC AC= OB 2 ABDPC面 AB=5,則斜邊上的高的最大值為 6 2.5 如圖，若 Rt ABC 的斜邊 AB=2 內(nèi)切圓的半徑為 r，貝 U r 的最大值為 _ 7 2.6 如圖，在 ABC 中，AB=10, AC=8 BC=6 經(jīng)過點 C 且與邊 AB 相切的動圓與 CB, CA 分別相交于點 E, F, 則線段EF 長度的最小值是 _ . 2.7 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 AB 經(jīng)過點 A（- 4, 0）、B（0, 4）, OO 的半徑為 1 （O 為坐標(biāo)原點）， 2.8 如圖所示，在直角坐標(biāo)系

8、中， A 點坐標(biāo)為（-3,- 2） , O A 的半徑為 1, P 為 x軸上一動點，PQ 切O A 于 類型 3 （相關(guān)題：題 3）PQ Q 為切點，則切線長 PQ 的最小值為 8 3.1 如圖， ABC 中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2&, D 是線段 BC 上的一個動點，以 AD 為直徑畫O O 分 別交 AB AC 于 E, F,連接 EF. (1) 探究線段 EF 長度為最小值時，點 D 的位置，請畫出圖形; (2) 求出該最小值. 切，則線段 PQ 的最小值等于 _ 類型 4 (相關(guān)題：題 2) 4.1 如圖，點 C 在以 AB 為直徑的O O 上，CD

9、L AB 于 P,設(shè) AP=a PB=b. 4.3 如圖，O O 的半徑為 2，點 P 是OO 內(nèi)一點，且 OP=二，過 P 作互相垂直的兩條弦 AC BD 則四邊形 ABCD 面積的最大3.2 如圖，在 ABC 中，已知 AB=5 BC=8 AC=7 動點 P、Q 分別在邊 AB AC 上，使 APQ 的外接圓與 BC 相 (1)求弦 CD 的長；(2)如果 a+b=1O,求 ab 的最大值, 并求出此時 a, b 的值.(參考 2.4、2.5 ) 4.2 如圖，半徑為 2 的OO 有兩條互相垂直的弦 AB 和 CD 其交點 E 到圓心 O 的距離為 1,則 A$+CD= _ 9 值為 _

10、. 4.6 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點 0 為圓心，2 為半徑畫O O, P 是O 0 上一動點，且 P 在第一象限內(nèi)，過 點 P 作O 0 的切線與x軸相交于點 A,與y軸相交于點 B,線段 AB 長度的最小值是 類型 5 （相關(guān)題：題 1） 5.1 如圖，已知 A、B 兩點的坐標(biāo)分別為（-2 , 0）、（0, 1） , O C 的圓心坐標(biāo)為（0, -1），半徑為 1 , D 是O C 上A,過 A 引互相垂直的弦 PQ RS 求 PQ+RSX 值范圍. 4.5 如圖，線段 AB=4, C 為線段 AB 上的一個動點, 則O 0 半徑的最小值為 以 AC BC 為邊作等邊 ACD 和等邊

11、 BCE O 0 外接于 CDE 匚 11 的一個動點，射線 AD 與 y 軸交于點巳則厶 ABE 面積的最大值是 5.2 如圖，Rt ABC 中，/ C=90,Z A=30 , AB=4,以 AC 上的一點 0 為圓心 OA 為半徑作O 0,若O O 與邊 BC 始終有交點（包括 B C 兩點），則線段 AO 的取值范圍是 5.3 如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 , AC=6, BC=8 D 為 AB 邊上一點，過點 D 作 CD 的垂線交直線 BC 于點 E, 則線段 CE 長度的最小值是 5.4 在坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為（3, 0）,點 B 是 y 軸右側(cè)一點，且 AB=2

12、,點 C 上直線 y=x+1 上一動點，且 CB 丄 AB 于點B,則tan .ACB = m，則m的取值范圍是 _ . _ 5.5 如圖， A 點的坐標(biāo)為 （ 索：b a的最大值； -2 , 1）,以 A 為圓心的O A 切 x軸于點B, P（a, b）為O A 上的一個動點，請分別探 b a的最小值；b - a的最大值；b - a的最大值； 【拓展延伸】：b 2a的范圍；b_2a的范圍; 類型 6 6.1 如圖，CD 是O O 的直徑，點 A 是半圓上的三等分點， B 是弧 AD 的中點，P 點為直線 CD 上的一個動點，當(dāng) CD=4 時， 求：(1)AP+BP 的最小值. (2) AP-

13、 BP 的最大值. 6.2如圖， 已知圓 0的面積為 3 n, AB為直徑， 弧 AC的度數(shù)為 80弧 BD的度數(shù)為 20點 P為直徑AB上任 一點， 貝U PC+PD勺最小值為 _ . 6.3 如圖，AB CD 是半徑為 5 的 OO 的兩條弦，AB=8 CD=6 MN 是直徑，AB 丄 MN 于點 E, CDL MN 于點 F, P 為 EF 上的任意一點，貝 U PA+PQ 的最小值為 _ . B - 6.4 如圖，AB 是O O 的直徑，弦 BC=2cm F 是弦 BC 的中點，/ ABC=60.若動點 E 以 2cm/s的速度從 A 點出發(fā) 13 沿著 AB 方向運動，設(shè)運動時間為

14、t( s)，連接 EF、CE 當(dāng) t 為 _ 秒時，CE+E 撮小，其最小值是 _ 6.5 四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，已知 / ADC=90, CD=4 AC=8 AB=BC 設(shè) O 是 AC 的中點. (1) 設(shè) P 是 AB 上的動點，求 OP+PC 勺最小值； (2) 設(shè) Q, R 分別是 AB AD 上的動點，求 CQR 的周長的最小值. 補充練習(xí)(與例題類型不完全對應(yīng)) 1. 如圖，已知直線 I與O O 相離，OAL I于點 A, OA=5 OA 與O O 相交于點 P, AB 與O O 相切于點 B, BP 的延 長線交直線 I于點 C,若在O O 上存在點 Q 使厶 QAC 是

15、以 AC 為底邊的等腰三角形，則O O 的半徑 r 的取值范 圍為 . 2. 已知：如圖， Rt ABC 中，/ B=90o,Z A=30o, BC=6cm 點 O 從 A 點出發(fā)，沿 AB 以每秒 込 cm 的速度向 B 點方向運動，當(dāng)點 O 運動了 t 秒(t 0)時，以 O 點為圓心的圓與邊 AC 相切于點 D,與邊 AB 相交于 E、F 兩 點，過 E作 EG 丄 DE 交射線 BC 于 G. (1) _ 若點 G 在線段 BC 上，貝U t 的取值范圍是 . (2) _ 若點 G 在線段 BC 的延長線上，則 t 的取值范圍是 _ . 3. 如圖，O M O N 的半徑分別為 2cm

16、, 4cm,圓心距 MN=10cm P 為O M 上的任意一點，Q 為O N 上的任意一點, 直線 PQ 與連心線I所夾的銳角度數(shù)為 a,當(dāng) P、Q 在兩圓上任意運動時，tana的最大值為 _ . Q 15 4. _ 如圖，在矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4, O 為矩形 ABCD的中心，以 D 為圓心 1 為半徑作O D, P 為O D 上的一 個動點，連接 AP OP 則厶 AOF 面積的最大值為 . 5. 如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 , AC=8, BC=6 經(jīng)過點 C 且與邊 AB 相切的動圓與 CA、CB 分別相交于點 P、 Q,則線段 PQ 長度的最小值是

17、_ . 6. 如圖，在等腰 Rt ABC 中，/ C=90 , AC=BC=4 D 是 AB 的中點，點 E 在 AB 邊上運動(點 E 不與點 A 重合)， 過A D、E 三點作O 0, OO 交 AC 于另一點 F,在此運動變化的過程中， 線段EF長度的最小值為 _ . 7. _ 如圖，A B 兩點的坐標(biāo)分別為(2 , 0)、(0, 2) , O C 的圓心的坐標(biāo)為(-1 , 0)，半徑為 1,若 D 是O C 上的 一個動點，線段 DA 與 y 軸交于點丘，則厶 ABE面積的最小值是 _ . &如圖，等腰 Rt ABC 中，/ ACB=9C , AC=BC=4 O C 的半徑為 1,點 P 在斜邊 AB 上, PQ 切O O 于點 Q 則 切線16 長 PQ 長度的最小值為 _ .17 9.在直角坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為(3, 0),點 P ( m, n )是第一象限內(nèi)一點，且 AB=2 貝 U m_n的范圍為 10 .在平面直角坐標(biāo)系中， M(