一元二次的解集及其根及系數(shù)的關(guān)系0001

1、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系市教師進(jìn)修學(xué)院 宋潤(rùn)生只含有一個(gè)未知數(shù)（一元） ，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是 2（二次）的整式方程叫做一 元二次方程一元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0（a 0），其中 ax2是二次項(xiàng)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)； bx 是一次項(xiàng)； b是一次項(xiàng)系數(shù)； c是常數(shù)項(xiàng)一、一元二次方程的 解集 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解， 一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集設(shè)一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 的解集為 M ， b2 4ac 1）當(dāng)0 時(shí)，Mbb2 4ac ,b b2

2、 4ac2a ,2a2）當(dāng)0 時(shí)，Mb2a3）當(dāng)0 時(shí)，M例 1不解方程，判斷下列方程的根的情況：（1）2x2 3x 4 0；（2） ax2 bx 0（a 0）；x2 bx b2 1 02例 2已知關(guān)于 x 的方程 kx2 2（k+1）x+k 1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（ 1）求 k 的取值圍；（ 2）是否存在實(shí)數(shù) k，使此方程的兩個(gè)根是互為相反數(shù)？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由解：1（1）（ 31,0） U（0, ） （2）x1 x2 0，所以 2（k 1） 0， k1，不滿足0，所以不存在實(shí)數(shù) k，使此k方程的兩個(gè)根是互為相反數(shù)二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系當(dāng) 0 時(shí)， 一元

3、二次 方程有 ax2 bx c 0（a 0） 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1b b2 4ac2a， x2b b2 4ac那么2ax1b b2 4acb b2 4acx1x2x1 x2如果2a2ab b2 4acb b2 4acb)2( b2 4ac)22a2a4a20 時(shí)， 一元二次 方程有 ax2 bxb那么 x1 x22a 1 2元二次方程 axbx cx1 x20(ab24a20） 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根4ac c4a2 ax1x20（a 0） 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1 ，x2 ，那么x1x2也就是說， 對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程， 兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除 以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)

4、； 兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商 這就是元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理（法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)（ Fran?oisViète ， 1540 1603）韋達(dá)定理的應(yīng)用（1）不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；（2）已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2 的對(duì)稱式的值此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；例如： x12 x22 （x1 x2）2 2x1x2 x1 x21x1x2x1x2 x1x22x12x2 x1 x2 ( x1 x2) x2x1(x1x2)22x1

5、x2 (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 （mx1 n）（ mx2 n） m2 x1x2 mn（x1 x2） n2 例 3已知方程 x2 2x c 0 的一個(gè)根是 3，求它的另一根及 c 的值 11例 4 求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是3 ， 2 32例 5設(shè) x1， x2是方程 2x26x 1 0 的兩根，不解方程，求下列各式的值：2 2 2 1 1（1） x12 x22 ；（2） （x1 x2 ）2 ；（3） （x1）（x2） x2x1例 6在 RtABC中， C=90 ，a，b，c 分別是 A， B， C的對(duì)邊， a，b 是關(guān)于 x的方程 x2 7x c 7 0 的兩

6、根，求 AB邊上的中線長(zhǎng)練習(xí)題1下列方程，有實(shí)數(shù)根的是A 2x2 x 1 0B x2 3x 21 0 C x2 0.1x 1 0 D x2 2 2x 3 0答案： C2設(shè)關(guān)于 x 的方程 x2 （ 2k 1）x k2+2k+3，當(dāng) k 為何值時(shí)， （1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（ 3）沒有實(shí)數(shù)根 ?答案：（1） （ 143, ）；（2） 143 ；（3）（ , 143）1 2 23已知關(guān)于 x的方程 x2 （m 3）x m2 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若 m Z ，那么 m的4最大值是 3答案： m ， m 的最大值是 1224已知一元二次方程 x2 6x 5 k 0 的

7、根的判別式 =4，則這個(gè)方程的根為 答案： k3，根為 2和 4A ( 1, )5若關(guān)于 x的一元二次方程 kx2 2x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k 的取值圍是B ( 1,0) U (0)C ( ,1)D( ,0) U(0 1)答案： B6 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 (m 1)x m 2 0 A沒有實(shí)根B有兩相等實(shí)根C有兩不相等實(shí)根D可能有實(shí)根2答案： C，m2 2m 9 0 7已知 a，b，c 是 ABC的三邊長(zhǎng)，且方程( a2+b2)x2-2cx+10 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根請(qǐng) 你判斷 ABC的形狀答案：直角三角形， 0 ，得 c2 a2 b2 8關(guān)于方程 x2 2x 3 0的兩

8、實(shí)數(shù)根是 x1， x2，的說確的是A x1x22B x1x23C x1x22D以上都不對(duì)答案： D9已知方程 5x2 kx 6 0的一個(gè)根是 2，則它的另一個(gè)根及 k 的值分別為 3答案： k 的值 7 ，另一個(gè)根 52210已知方程 x22(m21)x+3m=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于 0，則A m=±1Bm= 1Cm=1Dm=0答案： B11一元二次方程 2x26x 3 0 的兩根為、 ，則 ()2A3B6C18D24答案： A2 1 112已知 3x2 2x 1 0的兩實(shí)數(shù)根是 x1 ， x2，則的值為 x1 x2答案： 213若方程 x2 2x 2 0的兩實(shí)數(shù)根是 x1，

9、x2，則 x1(x1 2) x2(x2 2)的值為 答案： 414設(shè) x1， x2為關(guān)于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m 2=0 兩個(gè)實(shí)根，求 x1(x1 x2) x2 2的最小值2 2 2 2x1(x1 x2) x2(x1 x2)3x1x2 m 9m 6 ，3當(dāng) m 2 時(shí)取最小值 4 3915已知 x1 ，x2 是關(guān)于 x的方程2(2a 1)x a20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 若 （x12)(x2 2) 11 ，求a 的值 答案： 11 4a0 時(shí)，x1 x2 12x1x2 a2a所以(x1 2)(x2 2)x1x2 2(x1 x2) 4a2 4a 6因?yàn)?(x1 2)(x2 2) 11 ，所

10、以2a2 4a 5 0，解得 a 1或 a 5 當(dāng) a 5 時(shí)，0 不成立，所以 a 116設(shè) a，b 是方程 x22018 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 a2 2a b 的值為答案： 2017 a2 2a(a2 a) ab 2018 ( 1) 2017 17已知關(guān)于 x 的方程2x2mx 2m1 0 的兩根的平方和等于 4，求 m 的值答案： m 2 2m2 16m 8 0 22x1 x2(x1x2 )2 2x1x2m2 8m 44，2m2 8m 20 0 ，解得 m 10 或 m2 其中10 使0218若方程 2x （ k1）xk30 的兩根之差是1，求 k 的值答案： k 9 k2 6k 232

11、0 (x1 x2 )(x1x2)24x1x2k2 6k 23 令42k2 6k 2341得 k 2 6k 270，所以 k3或 k 9其中 k3 使019已知 x1，x2是關(guān)于 x 的方程2x +mx+n=0 的兩根， x1+1，2x2+1 是關(guān)于 x 的方程 x2+nx+m=0的兩根，求m，n 的值x1 x2答案：20以x1x2 n1x1 1 x2 (x1 1)(x2nm2 n 2m 1m1n31)1 和 2 1 為根的一個(gè)元二次方程為答案： x2 2 2x 1 0 21求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2 2x0 各根的負(fù)倒數(shù)22 答案： x2 2x3250因?yàn)閤1 x2x1x

12、23 5 ，所以 (5x2x1 x2x1x22，3，( x1)( x1) x1 x2x1x225622設(shè)一元二次方程 x23x0 的兩實(shí)數(shù)根是x1，x2 ，以2x12，x22為根的一個(gè)一元二次方程為答案：x2 13x 4 0 因?yàn)閤1x2x1x23 ，所以 x1222x2(x1 x2 )2222x1x2 13 ，x1 x24 23對(duì)于方程 x2+bx 2=0，以下說確的是A方程有無實(shí)數(shù)根，要根據(jù) b 的取值而定B無論 b 取何值，方程必有一正根，一負(fù)根C當(dāng) b>0 時(shí)，方程兩根為正； b<0時(shí)，方程兩根為負(fù)D因?yàn)?2<0，所以方程兩根肯定為負(fù) 答案： B24一元二次方程 ax

13、2+bx+c=0（a 0）有兩異號(hào)實(shí)數(shù)根的條件是A ab>0Bac >0Cab <0Dac <0答案： D225已知關(guān)于 x 的方程 2（k+1） x2+4kx+3k 2=0（ 1）當(dāng) k 為值時(shí)，兩根互為相反數(shù)；（ 2）當(dāng) k 為何值時(shí)，有一根為零，另一根不為零解：（1）8（k2 k 2） 0 ，因?yàn)榉匠虄筛橄喾磾?shù)， 所以 x1 x2 0，即 2k 0，k1 k 0滿足0，所以當(dāng) k 0 時(shí)，方程兩根互為相反數(shù)x1 x2 022）因?yàn)榉匠逃幸桓鶠榱?，所? 2 ，得 k x1x2 0326設(shè)關(guān)于 x 的方程 x2 3x a 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于 31）求

14、a 的值；k1（2）已知關(guān)于 x的方程 （k 1）x2 3x 2a 0有實(shí)數(shù)根， 若k N ，求代數(shù)式 k 1的值 k2解：（1）9 4a 0，因?yàn)榉匠虄筛箶?shù)和等于 3，所以 1 1 3 ，即 x1 x2 3由x1 x2x1x23 韋達(dá)定理 3 a1 ，滿足0，所以 a 1 a22（2）若 k 1，方程 （k 1）x2 3x 2 0 有實(shí)數(shù)根 x ；317 2 若 k 1，當(dāng)判別式17 8k 0，即 k時(shí)，方程 （k 1）x2 3x 2 0 有實(shí)數(shù)根，8因?yàn)?k N，所以 k 0或 k 2當(dāng)kk10 時(shí)，1 ；當(dāng)kk1時(shí)，10；當(dāng)k2 時(shí)，k1不存在k22k2k227已知3x2 2018x6

15、 0 ，6y22018y30，若 xy1，則xyA 2B 2C1D122答案： A解：因?yàn)閥 是方程 6y22018y30 的根，所以1是方程3x2 2018x6 0 的根y而 x 是方程 3x22018x60 的根， xy 1 ，所以x與1方程3x22018x6 0 的兩y個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得x1x2 yyx2ya20xx1xx228已知方程組的兩組解分別為1和2 (x1x2)，若xy10yy1yy2x12 x22 3x1x2 8a2 6a 111）求 a 的值；2）不解方程組判斷方程組的兩組解中的每一個(gè)數(shù)能否都為正數(shù)，為什么 解：1)由 x2 y a 2 0得 x2 x a 1 0，x y 1 04a 3 0 ，x2x1x2 a1所以1x12 x22 3x