八年級春季班-11-特殊的平行四邊形-教師版

1、八年級春季班初二數(shù)學(xué)春季班（教師版）教師日期學(xué)生課程編號11課型復(fù)習(xí)課課題特殊的平行四邊形教學(xué)目標(biāo)1 .理解矩形、菱形及正方形的概念和判定定理；2 .靈活運(yùn)用矩形、菱形和正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計算.教學(xué)重點利用特殊的平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計算邊角關(guān)系，根據(jù)對角線的/、同區(qū)分特殊的平 行四邊形的分類.教學(xué)安排版塊時長1矩形30min2菱形30min3止方形30min4隨堂檢測20min5課后作業(yè)10min11 / 34特殊的平行四邊內(nèi)容分析平行四邊形在邊和角上的特殊性，分別得到菱形和矩形，矩形和菱形在邊和 角上的特殊性得到正方形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形.從對稱性考慮，平行四邊

2、形只是中心對稱圖形，三種特殊平行四邊形都既是 中心對稱圖形又是軸對稱圖形.計算面積時，菱形和正方形都還能用對角線長的 乘積的一半來運(yùn)算.尤其要掌握當(dāng)矩形的對角線夾角是60。時，兩對角線和較短的邊構(gòu)成的三角形是等邊三角形，即較短的邊長是對角線長的一半.當(dāng)菱形兩 邊的較小夾角是60°時，它是由兩個等邊三角形合成的，可由等邊三角形的特 殊性來研究.知識精講知識點1:矩形1 .定義：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法.2 .性質(zhì)：矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì).IZ(1)矩形的四個角都是直角；(2)矩形的兩條對

3、角線相等.注息：(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完 全全等的兩部分.(2)矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸 (分別是通過對邊中點的直線 ).對稱軸的交點就是又捫I線的交點(即對稱中心).3 .判定：矩形的判定定理1:有三個角是直角的四邊形是矩形.矩形的判定定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形.(S)例題解析【例1】 下列命題中真命題是()A.對角線互相垂直的四邊形是矩形B.對角線相等的四邊形是矩形；C.四條邊都相等的四邊形是矩形；D.四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形；【難度】【答案】D【解析】證明矩形的方法有 3種：對角線相等的平行四邊形是矩形；有一

4、個內(nèi)角為90。的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形.A、B、C都不能證明矩形.【總結(jié)】考察矩形的證明方法.【例2】 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，對角線 AC與BD相交于點。，那么下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)AB=BC時，四邊形 ABCD是矩形B.當(dāng)AC BD時，四邊形 ABCD是矩形C.當(dāng)OA=OB時，四邊形 ABCD是矩形D.當(dāng) ABD CBD時，四邊形 ABCD是矩形【解析】C答案中，當(dāng)OA=OB時，可知四邊形 ABCD的對角線相等，則可得平行四邊形 ABCD 是矩形.【總結(jié)】考察矩形的證明方法.【例3】(1)矩形的兩條對角線的夾角為60o ,則對角線與較短邊之比是 ;(

5、2)已知在矩形 ABCD中，AB=2BC,在CD上取一點E,使AE=AB ,則/ EBC=【難度】【答案】(1) 2:1; (2) 15° .【解析】(1)矩形的兩條對角線的夾角為60°,可知矩形的兩條對角線的一半與較短邊可構(gòu)成等邊三角形，所以對角線與較短邊之比是2:1;(2) AB AE , AD BC, AB=2BC,l AE 2AD， -'/ AED=30° . AB / CD ,/ BAE= / AED=30°,. AB=AE,EBA=75° , / EBC=15°【總結(jié)】考查矩形的性質(zhì)運(yùn)用.特別注意幾何圖形中邊角元素

6、之間的轉(zhuǎn)化.【例4】矩形的一角平分線分矩形一邊為1厘米和3厘米兩部分，則這個矩形的面積為平方厘米.【難度】【答案】4或12.【解析】由題意可知，矩形的一邊為 4厘米，另一邊長為1厘米或3厘米，所以矩形的面積 為4或12平方厘米.【總結(jié)】考查矩形性質(zhì)的應(yīng)用.【例5】 如圖所示，矩形 ABCD的對角線AC、BD交于點O, BE AC于點E, CF BD于點F,求證：BE=CF.【難度】【答案】見解析.【解析】.矩形ABCD, OB OC. OB OC, BEO CFO , BOE COF ABOEACOF , BE=CF【總結(jié)】考察矩形的性質(zhì)的運(yùn)用.【例6】 如圖，在矩形 ABCD中，AB=3,

7、AD=4, P是AD上不與A、D重合的一動點,PEXAC, PFXBD, E、F 為垂足，貝U PE+PF 的值為【解析】過點D作DH XAC于點H ,連接PO.矩形 ABCD 中，AB=3, AD=4,，AC=5 , AO=DO,. DHXAC , DH 125, SAAPOSA DPOSA ADO. 1 一 一 AO21PE 一2DOPF1一AO DH 2PE PF DH12【總結(jié)】考察矩形的性質(zhì)運(yùn)用，注意利用面積求出線段長.【例7】 已知：若從矢I形ABCD的頂點C作BD的垂線交 求證： CAF是等腰三角形.【難度】【答案】見解析.【解析】過A作AGLBD,垂足為G . AGXBD,BA

8、G + ZGAD=90° . Z ADG+ZGAD=90° , . . / BAG=/ADG . /DAC = /ADG , ./ DAC= Z BAG . AF 平分/ BAD, / BAG + / FAG = Z DAC + / CAF . /DAC = /BAG, ./ FAG = Z CAF .AGXBD, CEXBD, ，AG/EC, ，/F=/FAG . /FAG=/CAF,，/F=/CAF.CA=CF,CAF是等腰三角形【總結(jié)】考查矩形的性質(zhì)及等腰三角形判定的綜合運(yùn)用.BD于E,交/ BAD的平分線于F.例8 已知：矩形 ABCD中，延長BC至E,使BE=BD

9、, F為DE中點，連接 AF、CF .求證：AF ± CF .【難度】【答案】見解析【解析】聯(lián)結(jié)BF. BE=BD, F 為 DE 中點，BF DE BFA AFD 90DCE 90°, F 為 DE 中點，CF DF FDC FCD , ADF BCF. AD BC , ADF BCF , CF DF ADFBCF, AFD BFCBFA AFD 90 ,BFA BFC 90 ,即 AFC 90 , AFXCF【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例9】 如圖所示，在矩形 ABCD中，BC=8, AB=6,把矩形折疊使點 C與點A重合,求

10、折疊EF的長.【難度】【答案】152【解析】聯(lián)結(jié)AC交EF于O,連接CE.矩形折疊使點 C與點A重合，AE CE .設(shè) AE CE x,則 DE 8 x在直角 EDC中，x2 8 x 2 62 ,解得：x 4由勾股定理可得：AC 10.1.矩形 ABCD, AO 1 AC 52在直角 AOE 中，AE2 OE2 AO2,解得：OE 154EF2OE152【總結(jié)】考察折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用.【例10如圖，在矩形ABCD中，AB= 8, BC= 4,將矩形沿AC折疊，使點D落在點D處, CD交AB于點F,則重疊部分祥FC的面積為 .【難度】【答案】10【解析】.將矩形沿 AC折

11、疊，使點D落在點D處， DCA ACD'. DC II AB , DCA CAF ACD' CAF , AF CF.設(shè) AF CF x,則 FB 8 x在直角 CFB中，x28 x 2 42,解得：x 511Saafc - AF BC -54 10 22【總結(jié)】考察折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用.【例11】將矩形ABCD的四個角向內(nèi)折起,若EH=3, EF=4,求處的值.AB恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH ,【答案】竺 24【解析】由翻折的性質(zhì)可得:AEHAEHMEH MEF BEFHEF90 .同理可證得:HGF 90 ,二四邊形EFGH是矩形，EH

12、BEF .EHGMEH , MEFAEHBEF 90 ,AEHAHE 90AHEBEFBFE 90 ,BFECFG 90 ,BEFCFG , AHEC, EHFGAHE AAHEACFGAH CF又. HD HN ,ADHF在直角 HEF中,EH3, EF HE EF HF EM ,EM4,12由勾股定理可得：HF 5 .又AE EM EB,AB2EM2424一 ,AD : AB 5:一 25:24.55【總結(jié)】考察折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，注意分析.模塊二：菱形©I 知識精講1 .定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2 .性質(zhì)：菱形除具有平行四邊形的

13、一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.注息：(1)菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分；(2)菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(對角線所在的直線)，對稱軸的交點就是對稱中心;(3)菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底x高；另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和 ).實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.3 .判定：菱形的判定定理1:四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的判定定理2:對角線互相垂直的平行四邊

14、形是菱形例題解析【例12】平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,下列條件中，不能判定它為菱 形的是()A. AB=AD B. ACXBDC. / A=/DD . CA 平分/ BCD【難度】【答案】C【解析】C答案中，. A D 180 ,且/A=/D，.二A 90，此四邊形為矩形.【總結(jié)】考察矩形和菱形的判定方法.【例13】下列命題中，真命題是（）A. 一組對邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形B.兩條對角線相等的四邊形是矩形C.等邊三角形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【難度】【答案】D而在此基礎(chǔ)上加上對角線【解析】D答案中對角線互相平分則

15、可判定四邊形為平行四邊形, 互相垂直，四邊形變?yōu)榱庑?【總結(jié)】考察矩形、菱形的判定.【例14（1）菱形的兩條對角線長的比是 3： 4,邊長為10厘米，菱形的面積是 （2）菱形的兩條對角線長的比是2:3,面積是12cm2,則它的兩條對角線的長分別是cm、cm, 該菱形的周長是 cm.【難度】【答案】（1） 96平方厘米；（2） 4、6、413 .【解析】（1）二.菱形的兩條對角線長的比是3:4,菱形的兩條對角線長的一半之比是3: 4 .設(shè)兩條對角線長的一半分別為3x、4x,則由勾股定理可得：菱形的邊長為5x所以5x 10 ,解得：x 212 一麥形的面積為6x 8x 24x96平方厘米；2（2）

16、二,菱形的兩條對角線長的比是 2:3, 菱形的兩條對角線長的一半之比是 2:3設(shè)兩條對角線長的一半分別為2x,3x,則由勾股定理可得：菱形的邊長為*R3x1O.菱形的面積是12cm2,所以-4x 6x 12x2 12 ,解得：x 1，菱形的邊長為 V13厘米，兩條對角線的長為4厘米或6厘米.【總結(jié)】考察菱形的對角線的性質(zhì)和面積的求法，注意對性質(zhì)的運(yùn)用.【例15（1）菱形有一個內(nèi)角為60°, 一條較短的對角線長為,（2）如圖，在菱形 ABCD 中， ABC 60°, AC 4 ,則 BD【難度】【答案】（1） 6; （2） 4部.【解析】（1）二.菱形有一個內(nèi)角為 60

17、76;,，菱形的兩條邊和較短的對角線構(gòu)成了一個等邊三角形，菱形的邊長為6;（2）設(shè)對角線相交于點 O,則AC BD , OA 2,ABC 60 , ABO 30由勾股定理可得： BO 2而，則BD 4<3【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.6,則菱形的邊長為【例16如圖，在菱形 ABCD中，AC=4, BD=6, P是AC上一動點（P與C不重合），PE/BC交AB于點E, PF/CD交AD于點F,連結(jié)EF,求圖中陰影部分的面積.【難度】【答案】6【解析】: 菱形 ABCD，.二 BC II AD, AB II CD. PE/BC, PF/CD, PE II AF, PF II AE，四邊形

18、AEFP是平四邊形，Sa pef Sa ape . CCQc1c . S陰影SA FEPS3邊形EPCB Sa ABC一 酶邊形ABCD21-12 6.2【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)和面積的求法，注意對方法的總結(jié).【例17如圖，在YABCD中，O是對角線AC的中點,過點O作AC的垂線與邊 AD、BC分別交于點E、F .求證：（1） VAOE©VCOF ; （2）四邊形 AFCE是菱形.【難度】【答案】見解析.八年級春季班8,將紙片折疊，使得點B與點D重合,【解析】(1) AD II BC,， EAC FCAOA OC , AOE COF , . . VAOE©VCOF ;(2)

19、VAOE©VCOF , OE OF , OA OC , 四邊形 AFCE是平行四邊形AC EF ,，四邊形 AFCE是菱形.【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定的綜合運(yùn)用.【例18】如圖O是菱形ABCD對角線的交點，作DE/AC , CE/BD, DE、CE交于點E,四邊形OCED是矩形嗎？證明你的結(jié)論.【難度】【答案】是矩形，證明見解析.【解析】: DE/AC, CE/BD, 四邊形OCED是平行四邊形 四邊形 ABCD是菱形，DOC 90 平行四邊形OCED是矩形.【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理的綜合運(yùn)用.【例19如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4 , AD折痕為EF

20、 .（1）求證：四邊形 BEDF是菱形；（2）求菱形BEDF的邊長.【難度】【答案】（1）見解析；（2） 5.【解析】（1）設(shè)EF與AB的交點為O. 將紙片折疊，使得點 B與點D重合，折痕為EFEF BD , BO DO . AB II CD , . . EDO FBO . .ODEKOBF, . OF OE. BO DO , 四邊形BEDF是平行四邊形. ' EF BD ,，四邊形 BEDF是菱形； 2)設(shè) BF DF x ,貝U FC 8 x ,在直角 CFD中，由勾股定理，得：x2 8 x 2 42,解得：x 5,菱形BEDF的邊長為5.【總結(jié)】考察矩形的性質(zhì)和菱形的判定定理的綜

21、合運(yùn)用.#/34八年級春季班【例20如圖，VABC中， ACB 90°, CD AB , AE平分 交AB于G.求證：四邊形CEGF是菱形.【難度】【答案】見解析.【解析】AE 平分 BAC , EG AB , ACB 900CE EG, AEG AEC. CE EG, AEG AEC, EF EF. .CEFAGEF,FG FC, CFE GFE. CD AB, EG ABCD II EG ,CFE GEFCFE GFE ,CFE CEF , CF CEFG FC, CE EGCF CE EG FG ,，四邊形CEGF是菱形【總結(jié)】考察菱形的判定定理的綜合運(yùn)用.【例21如圖，菱形A

22、BCD的邊長為4 cm,且/ABC=60°,E 貝U PE+PC的最/、值為.BAC 交 CD 于 F , EG ABACEB是BC的中點，P點在BD上，An【難度】【答案】2n.【解析】聯(lián)結(jié) AE與BD的交點即為所求作的點 P .1 . Z ABC = 60°,ABC為等邊三角形2 .E是BC的中點，AE BC3 AB 4, BE 2AE 'AB2 BE2273【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)和軸對稱最短路程問題，注意對方法的因BEC三納總結(jié).43 / 34AD, CD上的兩個動點且【例22如圖，菱形ABCD的邊長為2, BD=2, E, F分別是邊滿足 AE+CF=2.（

23、1）判斷4BEF的形狀，并說明理由；（2）設(shè)ABEF的面積為S,求S的取值范圍.【難度】【答案】（1）等邊三角形，證明見解析；（2） 343 S J耳.4【解析】（1）二菱形ABCD的邊長為2, BD =2, 4ABD和ABCD都為等邊三角形. BDE BCF 60 , BD BC.AE DE AD 2,又 AE CF 2 , DE CF . , DE CF , BDE BCF , BD BC, ABDE ABCF , DBE CBF , BE BF DBC DBF CBF 60 , DBF DBE 60 ,即 EBF 60 , ABEF是正三角形；(2)設(shè) BE BF EF x ,貝U S

24、- x x x2224當(dāng)BE AD時，x取最小彳1為J3時，s 展;4當(dāng)BE與AB重合時，x取最大值為2, S n；，一%； 3 S V3 .4【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的具體應(yīng)用，注意動點的運(yùn)動軌跡.【例23】已知 ABC是等邊三角形，點 D是射線BC上的一個動點（點 D不與點B、C重 合），MDE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、 AC于點F、G,連接BE.（1）如圖1所示，當(dāng)點D在線段BC上時，試說明： AEBA ADC探究四邊形 BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由.（2）如圖2所示，當(dāng)點D在BC的延長線上時，探究四邊形 BCGE是怎樣特殊的四邊 形，并說明

25、理由.（3）在（2）的情況下，當(dāng)點 D運(yùn)動到什么位置時，四邊形 BCGE是菱形？并說明理【難度】【答案】見解析【解析】（1）: 4ABC和4DEA都是等邊三角形. AB AC, AE AD , BAC EAD 60 BAC BAD EAD BAD,即 DAC BAEAB AC, DAC BAE , AE AD,AABEA ADC ;四邊形BCGE是平行四邊形. ABC和 DEA都是等邊三角形，ACB BAC 60. AABEAADC, ABE ACD 60ABE BAC, BE II AC EG II BC,，四邊形BCGE是平行四邊形.（2）四邊形BCGE是平行四邊形.方法同（1）（3）當(dāng)點

26、D運(yùn)動到DC BC時，四邊形BCGE是菱形.與（1） 一樣可證： ABEADC ,則 BE CD與（1） 一樣可證：四邊形 BCGE是平行四邊形當(dāng)BC BE時，四邊形 BCGE是菱形，此時 BC CD即當(dāng)點D運(yùn)動到DC BC時，四邊形BCGE是菱形.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察特殊的平行四邊形的判定的綜合運(yùn)用.模塊三：正方形知識精講1 .定義：有一組鄰邊相等并且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形.2 .正方形與矩形、菱形的關(guān)系矩形鄰邊相等正方形菱形一個角是直角-正方形3 .性質(zhì)定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具備兩者所有的性質(zhì).性質(zhì)定理1:正方形的四個角都是直角；正方形的四條邊都相等

27、.性質(zhì)定理2:正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.4 .判定定理：判定定理1:有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定定理2:有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形.例題解析【例24】下列四個命題中真命題是（）A.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形B.對角線垂直且相等的四邊形是菱形C.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形D.四邊都相等的四邊形是正方形【難度】【答案】C【解析】C答案正確，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加上對角線相等，則四邊 形變?yōu)榫匦危黄溆嗟拇鸢钢芯鶝]有對角線互相平分，則都不是平行四邊形，更不是特殊的平行四邊形.【總結(jié)】考察特殊的平行四邊形的判定方法.【

28、例25】如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（）A. AB=AD 且 ACBDB. AB=AD 且 AC=BDC. / A= / B且AC=BDD, AC和BD互相垂直平分【難度】【答案】B【解析】B答案中，AB=AD可知平行四邊形 ABCD是菱形，而AC = BD可知平行四邊形ABCD是矩形，則平行四邊形 ABCD為正方形.【總結(jié)】考察正方形的判定方法的運(yùn)用.【例26在下列圖形中，等邊三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【難度】【答案】B【解析】符合

29、題意.【總結(jié)】考察圖形的對稱性的運(yùn)用.【例27（1）如圖（1）,已知P正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC,則 ACP度（2）如圖（2）,正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O, E是OB延長線上一點,CE=BD, / ECB的度數(shù)是 .【難度】【答案】(1) 22.5 ; (2) 15° .【解析】(1)二正方形ABCD, CBD. BP=BC, BCP 67.5 .BCA 45 , ACP 67.5 45(2)聯(lián)結(jié)AE. AO OC, AC BD , AE EC .CE BD , AE EC BD數(shù)是AC BD , AE EC AC , ACE 60ACB 45 ,B

30、CE604515 .【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的運(yùn)用.BFXAE,垂足為G,交CD于點F.求證：AE=BF .見解析. BFXAE,EABGBA90GBA FBCEABFBCEAB FBCEBABCF,AB BC AABEABCF ,. . AE BF .【例28如圖，正方形 ABCD的對角線 AC上截取CE=CD,作EFLAC交AD于點F.求證：AE=EF=FD.【難度】【答案】見解析.【解析】.正方形 ABCD , EF± AC,： D EFC 900.CD CE, CF CF , ACDFACEFDF EFDAE 45 , EF AE , FAE AFE 45AE EF ， AE

31、 FE FD .【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定的綜合運(yùn)用.【例29如圖，已知E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點,【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的運(yùn)用.【例30】已知：正方形 ABCD中,F為CD延長線上的一點,CEXAF 于 E,交 AD 于 M.求證：/ MFD =45°【難度】【答案】見解析.【解析】CEXAF,. EFCDAF. ECFDAF ,ACDM AADFMDF 90 , ECF EFC 9090 , ECF DAFCDM ADF, CD AD,MD DFMFD 45【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例31】已知：Q為正方形 ABC

32、D的CD邊的中點，P為CD上一點，且/ BAP=2/QAD. 求證：AP=PC+BC.【難度】【答案】見解析.【解析】延長DC到E ,使得CE CD ,連接AE交BC于F. CE CD, CD=AB,.1. CE=AB. /ECF = /B, /CFE=/AFBABFA ECF1 .BF=CF,即 BF -CB2Q為正方形 ABCD的CD邊的中點，1 一 一 DQ CD. BC=CD, .l. DQ = BF 2. . DQ = BF, /B=/D, AB=AD ,. ABFA ADQ , . / QAD = / BAF ,. /BAP =ZBAF+Z PAF, /BAP = 2/QAD ,

33、/QAD=/BAF, Z BAF = Z RAF. AB/CD, ，/BAF=/E,，/E=/PAF,.PE=AP. PE=PC+CE, CE=BC, AP BC CP【例32】已知：在正方形 ABCD中，M為AB的中點,MBN 135MNXMD, BN 平分/ CBE 并交 MN【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，注意輔助線的添加.于N,求證：MD = MN .【難度】【答案】見解析【解析】取AD的中點G ,聯(lián)結(jié)MG1. M為AB的中點，MB 1AB 2G為AD的中點，DG 1AD 2AD AB, DG MB. BN 平分/ CBE, NBE 45, AG AM , AGM 45 , D DGM

34、 135 , D DGM MBN. MNXMD, DMA NMB 90 ,又 DMA ADM 90,， NMB ADM DGM MBN , NMB ADM , DG MB ADMG AMNB , MD MN【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意輔助線的添加.【例33】已知：AE為正方形 ABCD中/ BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E1AC、BD相交于 O.求證：OF =，CE.2【答案】見解析【解析】在OD上截取一點G,使得OG OF ,聯(lián)結(jié)AG、CGOG OF , AOGAO AOCB E AAOFAAOG ,OAFOAGOG AC , AO OCCGOAG GCO ,OAFO

35、AF GCO, GC II AEAE為正方形ABCD中/ BAC的平分線,BAE OAFBAEBEA 90OAFOFA90AFO BEABFEBFEBEA, BF GC II AEBFEBGC,BEF BCGBFEBEA,BGCBCG , BC BGBFBE,FG EC_1_1 OF-FG, OF -EC22【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察正方形性質(zhì)的應(yīng)用，注意角度之間的轉(zhuǎn)化.【例34如圖所示，正方形 ABCD中，/ EAF=45° , APEF于點P.求證：AP=AB.【難度】【答案】見解析【解析】延長CB至G ,使得BG DF. AB AD, DF BG , D ABG AABG

36、AADFAG AF , DAF BAG EAGEABBAGEABDAF90 EAFEAG.EAFEAG ,AE AE, AGAF , . AAFEAAGE, AEP AEB.AEPAEB,APEABE,AEAE AAPEAABE, - AP AB .【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意輔助線的添加.EAF【例35】正方形ABCD被兩條分別與邊 AB、BC平行的線段EF、GH分割成4個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形 PFCH的大小.【答案】45。，理由見解析.【解析】延長CB到M ,使得BM DH ,則 RtA ABM 幺 RtA ADHAM AH ， MAB HADMAH MAB BAH

37、 BAHHAD 90的面積恰好是矩形 AGPE面積的2倍，求/ HAF聯(lián)結(jié)AM設(shè)正方形的邊長為a , AG m,GPn ,則 FC a n , CH a m矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍,而在直角三角形則可得：FH 2mn2mnFCH_ 2MF 2中,FH 2 FHMFAF AF, AH AM ,，AAMF AAHF MAF HAF , HAF MAF 45 .【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)及勾股定理的綜合應(yīng)用，注意對正方形背景下的輔助線的添加方法進(jìn)行歸納總結(jié).【例36如圖，在正方形 ABCD中，點E在邊AB上(點E與點A、B不重合)，過點E作FG DE , FG 與邊BC相交于點F

38、 ,與邊DA的延長線相交于點 G .(1)由幾個不同的位置，分別測量BF、AG、AE的長，從中你能發(fā)現(xiàn)BF、AG、AE 的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論.(2)聯(lián)結(jié)DF ,如果正方形的邊長為 2,設(shè)AE x, VDFG的面積為y ,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域.(3)如果正方形的邊長為 2, FG的長為5 ,求點C到直線DE的距離.2G【難度】X2 48【答案】(1) BF AG AE; (2) y -4 (0 x 2)； (3) - -25【解析】(1)證明：過點F作FH DA,垂足為HDAE B FHD 90 ,，四邊形ABFH是矩形FH AB DADE FG

39、 , G 90 ADE DEAG DEA, FHG DAE, AD HF AFHG ADAEGH AE ,即 HA AG AEBF HA, BF AG AE(2) AFHGADAE ,FG DE . ADcDE CP 2 AE2,4 x2c1 x2 4 i” Sadgf 1 FG DE , y -一4 ,定義域為 0x222(3)聯(lián)結(jié)CE，作CP DE于P-1 SacdeCDAD 2SACDEDEFGCP2, CP2點C到直線DE的距離為8 .5【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察正方形的性質(zhì)和勾股定理的綜合應(yīng)用，解題時注意利用 等積法求線段的長.隨堂檢測I【習(xí)題1】四邊形ABCD的對角線AC與B

40、D交于點O .若ab=AD ,則平行四邊形ABCD是 形；若AC=BD ,則平行四邊形 ABCD是 形；若 ABC 90o ,則平行四邊形ABCD是 形；若 BAO DAO ,則平行四邊形 ABCD是 形.【難度】【答案】菱形；矩形；矩形；菱形.【解析】矩形、菱形的判定定理：1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、對角線相等的平行四邊形是矩形;3、有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形；【總結(jié)】考察矩形、菱形的判定方法.【習(xí)題2】已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)AB=BC時，它是菱形B.當(dāng)ACLBD時，它是菱形C.當(dāng)/ ABC=90°時，它是矩形D.當(dāng)AC

41、=BD是，它是正方形【難度】【答案】D【解析】D答案只能判定出四邊形ABCD是矩形.【總結(jié)】考察矩形、菱形的判定方法.【習(xí)題3.在菱形ABCD中，對角線 AC, BD相交于點O, E為AB的中點，且OE a,則 菱形ABCD的周長為（）A. 16aB. 12aC. 8aD. 4a【難度】【答案】C【解析】因為菱形的對角線互相垂直平分，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 可得AB 2a,則菱形的周長為 8a.【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的運(yùn)用.【習(xí)題4】把矩形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若 1 50o ,則 AEF =()A. 110°B, 115°C. 120

42、76;【難度】【答案】B【解析】.矩形 ABCD沿EF對折后使兩部分重合，1 50°,BFE 180502 65 ,AD II BC , AEF BFE 180,， AEF 115 .【總結(jié)】考察翻折的特征和矩形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.延長BC至F ,使CF CE ,【習(xí)題5】如圖，正方形ABCD中，E為邊CD上的一個動點,聯(lián)結(jié)DF , BE與DF相交于G點，下列結(jié)論正確的個數(shù)是 BG DF ;CEB90° ； FDC ABG90° BEA.B.C.正確.DFD.3CF CE,BCEBCCD, ACBEACDFBE DF ,EBCCDFCDF FEBC F90則可知正確

43、.【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的應(yīng)用.CDF 100ADFDAF4060 .40 ,【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的應(yīng)用.【習(xí)題71如圖所示，正方形ABCD 中，EFLGH 于點 P.求證：EF=GH.【難度】【答案】見解析.【解析】作EM CD于M , HN BC于N ,交點為O . EFXGH ,FEM GHNFEM GHN , HNG EMF , EM HG AEFM AHGN ,EF GH【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意對此模型的總結(jié).【習(xí)題8】如圖，在線段 AE上取一點B ,使AB BE,以AB、BE為邊在AE同側(cè)作正方形ABCD和BEFG，在AB上取AH BE ,在BC的延長線上取一點 K

44、 ,使CK BG .求證：四邊形HFKD為正方形.【難度】【答案】見解析【解析】 HE HB BE HB AH AB AD DC BCBG GC CK GC GK又 AH EF GF CK ,AADH AEHF AGKF ACDK DH HF KF DK , .四邊形 HFKD 是菱形,ADH EHF , AHD EHF AHD ADH 90 , DHF 90 , 菱形HFKD是正方形.【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)及判定方法的綜合運(yùn)用.【習(xí)題9如圖所示，菱形PQRS內(nèi)接于矩形 ABCD,使得點P、Q、R、S分別為邊AB、BC、CD、DA上的點.已知PB=15, BQ=20, PR=30, QS=4

45、0.求矩形 ABCD 的周長.【難度】【答案】672 .5【解析】.AB II CD , APR CRP SP / RQ , SPR QRP APRSPR CRP QRP,即 APSQRC APS QRC , A C , SP RQ AASPA CQR. AS CQ, AP CR也可證得： BPQ0DRS, SD BQ, DR PB設(shè) AS x, AP y PR與SQ互相垂直平分，這樣得到8個直角三角形，且其中 6個三角形的邊長分別為15、20、25,而CQ AS x, CR AP y ,則直角 ASP和直角 CQR的三邊分 別為x、y、25,矩形面積等于 8個直角三角形面積之和.111175

46、所以 20 x 15 y 6 20 15 2 xy , 22則有 3x 4y 120 而 x2 y2 625,解得：x 20, y 15 或 x 絲，y 5當(dāng)x 20時，BC x BQ 40與PR 30不合，所以舍去;矩形的周長為2 15 20 x y 6725【總結(jié)】考察特殊的平行四邊形的性質(zhì)及面積法的綜合應(yīng)用.【習(xí)題10已知：如圖邊長為 a的正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O別為DC、BC上的點，且 DE=CF .求證：（1） EO FO .（2） M、N分別在OE、OF延長線上，OMON重合部分的面積等于1 2-a4【答案】見解析【解析】（1） DE=CF ,DO OC, ODEO

47、CFADOE ACOFDOE COFDOE EOC 90COF EOC90 ，四邊形MONG與正方形ABCD即 EO FO ;(2) . ADOE ACOF- SA DOESA COF四邊形 MONG與正方形ABCD重合部分的面積等于1SaoecSa ocfSaoecSa odeSa odc - S四邊形 abcd4【總結(jié)】考察正方形的性質(zhì)運(yùn)用，注意第（2）問中將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【習(xí)題11】如圖1所示，在矩形 ABCD中，把/ B、/ D分別翻折，使點 B、點D恰好落在對角線AC上的點E、F處，折痕分別為 CM、AN.(1)求證： ANDA CBMMFNE是菱形嗎？請(2)請連接MF、NE,證明

48、四邊形 MFNE是平行四邊形.四邊形說明理由.(3)點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN ,如圖2所示,若 PQ=CQ,【難度】【答案】見解析.PQ / MN,且DAN NAC, BCM【解析】(1)由折疊的性質(zhì)可得:ACM. AD II BC , DAC BCA,DAN BCMAD BC , D B 90 , DANBCM , AADNACBM(2) AADN ACBM ,，NF MENFE MEF 90 , NF II ME四邊形MFNE是平行四邊形 MN與EF不垂直，四邊形 MFNE不是菱形；(3)設(shè)AC與MN的交點為O ,設(shè)EF x ,作QG PC于GAB 4,

49、BC 3, AC 5 , AF CE BC 3 2AF EF AC ,即 6 x 5 ,解得：x 1 , . EF 1 , CF 2設(shè) DN NF y ,貝U NC 4 y在直角三角形 NFC中，y2 22 4 y 2 ,解得：y芻，即NF -22, OE OF -EF 1 ,在直角三角形 NFO 中，ON2 OF2 NF2, 22.<10ON ,MN 2ON ,102 ，2 .四邊形MQPN是平行四邊形，MN PQ V103 PQ CQ，.二 APQC 是等腰三角形，PG CG在直角三角形 QPG中，PG2 PQ2 QG2,則PG 1PC 2PG 2 .【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考察平行四邊形的判定與性質(zhì)及翻折的運(yùn)用，解題時注意分析.課后作業(yè)【作業(yè)1】已知在四邊形 ABCD中，AC與BD相交于點O ,那么下列條件中能判定這個四