數學教學中的辯證法-最新教育資料

1、數學教學中的辯證法質量互變規(guī)律揭示了一切事物運動、變化、發(fā)展的兩種基本狀態(tài)，即量變和質變以及它們之間的內在聯(lián)系和規(guī)律性。否定之否定規(guī)律揭示了事物由矛盾引起的發(fā)展，即由肯定否定否定之否定的螺旋式的前進運動。數學中的辨證法要點是：1. 同中有異 - 分法 2. 異中有同 - 合法 3. 相互轉化 - 化法一、曲與直直與曲除了有“非直即曲”的一面，也存在“亦直亦曲”的一面。存在直與曲之間的中介狀態(tài)，通過這個中介狀態(tài)，實現(xiàn)直與曲的轉化，即在局部范圍內（等價無窮小）“以直代曲”、“以曲代直”。如阿基米德的窮竭法。二、常量與變量1. 常量在一定條件下具有任意性。如極限定義中的，不定積分中的常數C。2. 常

2、量與變量的相對性。常量與變量即有著嚴格的區(qū)分，又相互依存，相互滲透，在一定條件下相互轉化。如偏導數。3. 通過常量來刻畫變量。如微分方程中的常數變易法。4. 通過變量來研究常量。如利用導數求極值和拐點。三、 . 連續(xù)與間斷1. 連續(xù)與間斷是事物兩種不同的性態(tài)。有時二者性質截然不同。2. 連續(xù)與間斷在一定條件下可相互轉化。如數列、級數與函數之間的轉化，各種數值計算方法（差分、有限元、離散等）四、有限與無限1. 潛無限。把無限看成永遠在延伸著的變程或進程的觀點。2. 實無限。把無限看成可以自我完成的過程的觀點。3. 有限與無限存在質的差異。如許多運算法則不通用。4. 通過有限認識無限。如數學歸納法

3、。5. 通過無限來表示有限。如函數的無窮級數展開。五、抽象與具體1. 高度抽象是數學的主要特征。數學抽象就是把對象理想化。數學的抽象有一系列的發(fā)展階段。數學的研究方法幾乎完全致力于使用邏輯方法處理抽象概念及它們之間的關系。數學有自身的符號語言來表述自身的內容。2. 高度抽象使數學具有廣泛應用。3. 數學抽象與具體的辯證關系。表現(xiàn)在數學概念之間的一般與特殊的關系。六、局部與整體1. 局部“點態(tài)性”。即鄰域的單純靜態(tài)點、比較靜態(tài)點、動態(tài)點。2. 整體“區(qū)間性”。如最值定理、有界定理。3. 局部與整體的辯證關系。一定條件下可相互轉化，七、偶然性與必然性1. 隨機事件與必然事件。如概率論。2. 蝴蝶效

4、應與偶然性。如混沌學。下面我就以兩根與系數的關系的探討為例：可以這樣人手： 1. 方程 3 一 5x+2=0 的兩根之和 1+2、兩根之積分別等于多少，觀察帆、 XlX 的值與三個系數有什么關系。換一個方程，再看看是否也有這樣的關系，進而猜測一元二次方程 axZ +bx+c=O(n0) 的兩根與系數的關系。3. 靜止與運動的關系事物的靜止是相對的， 運動是絕對的?！叭瞬荒軆纱翁みM同一條河流”， 數學亦如此。 變量有時可視為常量來對待，而常量有時又可以作變量來處理。例如，用求根公式法將多項式 3xZ-5xy+ 分解因式，可將多項式中的變量 y 視為常量，先求關于變量的一元二次方程 3 一 5xy

5、+y2=0 的兩根，再把它分解因式。4. 現(xiàn)象與本質的關系現(xiàn)象是事物的外部表現(xiàn)形態(tài)，是人的感官能直接感知的； 本質是事物內在的屬性， 是構成一事物的各種必不可少的要素的內在聯(lián)系， 是事物外部表現(xiàn)形態(tài)的根據。 任何一個數學問題都有它的現(xiàn)象和本質， 只有由表及里， 由近及遠去分析，才能把握其本質，挖掘其潛在的條件而順利解決。如，共有 1022 名選手參加的乒乓球單項競賽，實行淘汰制。問決出最后的冠軍共需進行多少場比賽 ?本題若按常規(guī)的思路解， 1022名選手初賽511 場，勝出的 511 人再賽 255 場，剩下 255 人加上輪空的 1 人又賽 128 場，如此下去，最后兩人決賽，共需的場數為

6、1021 場。如果參賽人數更多 ( 如參賽人數為 10003 人 ) ，按照上面的思路求解，其過程是繁瑣而冗長的。實際上，這樣分析就精彩多了： 考慮到比賽一場就淘汰1 人這一本質條件， 要淘汰掉若干選手便要賽若干場。 故決出最后冠軍須淘汰掉1021 名選手，因而需賽 1021 場。同樣，參賽人數為10003 時，需賽100031=10002(場 ) 即可。5. 對立與統(tǒng)一的關系客觀世界是充滿矛盾的，這些矛盾又統(tǒng)一在這個世界里， 反映到數學領域亦不例外。 加與減、乘與除、正與負、開方與平方、多項式乘法與因式分解、和差化積與積化和差、微分與積分等，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的。如正數與負數之間有一個“零”， 它起著“核”一樣的連接作用， 像天平上的支架一樣支撐著雙方，構成一個統(tǒng)一的整體。6. 量變與質變的關系量變是事物在數量上的增減，是一種漸進性的、不顯著的變化；質變是事物根本性質的變化，是事物形態(tài)的突變和飛躍。 事物的發(fā)展是從量變開始