2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式名師講義新人教B版必修5

1、2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式名師講義新人教B版必修5預(yù)習(xí)課本P6166,思考并完成以下問題 (1)不等式如何定義？(2)比較兩數(shù)(或式)的大小有哪些常用的方法? 不等式的性質(zhì)有哪幾條?新知初探1 .不等式的概念用數(shù)學(xué)符號(hào)“w”、" >"、“<”、3、y 連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們 之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.點(diǎn)睛不等式“ a>b”的含義是“ a>b或a=b"，它等價(jià)于“ a不小于b"，在a>b 和a=b中只要有一個(gè)成立，a>b就成立.2 .實(shí)數(shù)大小的比較(1)

2、數(shù)軸上白兩點(diǎn) A, B的位置關(guān)系與其對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù) a, b的大小關(guān)系.數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.數(shù)軸上點(diǎn)的位置與實(shí)數(shù)大小的關(guān)系 (表示實(shí)數(shù)a和b的兩個(gè)點(diǎn)分別為 A和場(chǎng)，如下：點(diǎn)A B的位置關(guān)系點(diǎn)A和點(diǎn)B重合點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)實(shí)數(shù)a, b的大小關(guān)系a= ba>bavb(2)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小方法作差法依據(jù)a b>0? a>b；a b< 0? av b；a b= 0? a= b結(jié)論對(duì)于任息網(wǎng)個(gè)頭數(shù) a和b,在ab, a>b, a< b 一種關(guān)系中后且僅什-種關(guān)系成立3.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>b? av b.(2

3、)傳遞性：a>b, b>c? a>c.(3)加法法則：a>b? a+ c>b + c.推論 1 a+b>c? a>c-b；推論 2 a>b, c>d? a+ c>b+ d.(4)乘法法則：a>b, c>0? ac>bc； a>b, c< 0? acv bc.推論 1 a>b>0, c>d>0? ac>bd；推論 2 a>b>0? an>bn(nNl+, n>1)；推論 3 a>b>0? na>n/b( n Nk , n> 1).

4、點(diǎn)睛(1)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的 條件.(2)要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆性.小試身手1 .判斷下列命題是否正確.(正確的打，錯(cuò)誤的打“X”)(1)不等式x>2的含義是指x不小于2()(2)若a<b或a= b之中有一個(gè)正確，則 aw b正確()(3)若a>b,則ac>bc 一定成立()(4)若 a+c>b+d,則 a>b, c>d()解析：(1)正確.不等式x>2表示x>2或x=2,即x不小于2,故此說(shuō)法是正確的.(2)正確.不等式awb表示2出或2=>故若

5、a<b或a=b中有一個(gè)正確， 則aw b一定正 確.(3)錯(cuò)誤.由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向不變，因 此由a>b,則ac>bc不一定成立，故此說(shuō)法是錯(cuò)誤的.(4)錯(cuò)誤.取a=4, c=5, b=6, d=2,滿足a+c>b+d,但不滿足a>b,故此說(shuō)法錯(cuò)誤.答案：(1) V (2) V (3) X (4) X2 .已知a+b>0, b<0,那么a, b, a, b的大小關(guān)系是()A. a>b>b>aB. a>b>a>bC. a>b>b>aD. a>b>a&

6、gt;b解析：選 C法一：: A、B、C D四個(gè)選項(xiàng)中，每個(gè)選項(xiàng)都是唯一確定的答案，可用令 a=2, b=- 1,則有 2>( 1)> 1>2,數(shù)式的大小比較即 a> b>b> a.法二：1.- a+b>0, b<0, 1. a>- b>0, - a<b<0,a>- b>0>b>- a,即 a>b>b>a.解析：選C因?yàn)閍<b,故b-a>0,11ba , 11所以商一肅=而>6故彘>斤解析：m3- (m2-1)= mi-mi+ m- 1 = m2(m- 1)

7、 + (m- 1)=(m- 1)( m2+1).又m>1,故(m- 1)( m2+1)>0.答案：m3>m2-1典例(1)已知x<1,比較x31與2x22x的大小;1 ,(2)已知a>0,試比較a與一的大小. a32解(1)( x -1) -(2x -2x)= (x- 1)( x2 + x+ 1) -2x(x- 1)= (x- 1)( x2-x + 1),.x<1,x- 1<0.又|x- 1 2+3>0, 24 '(x-1)mb .x3-1<2x2-2x.(2)因?yàn)閍=4=a.a+l , a aa3.設(shè)a, b是非零實(shí)數(shù)，若a<

8、;b,則下列不等式成立的是()22A. a <bB . ab2<a2b11C.a?<abb aD. <a b4.當(dāng)m>1時(shí)，m3與m2-1的大小關(guān)系為課堂講練設(shè)計(jì)，舉-能通類眄= (x-1)知常因?yàn)?a>0,所以當(dāng) a>1 時(shí)，-a a- >0,有 a>1；aa當(dāng) a= 1 時(shí)， aTa*I =0,有 a=-；aa當(dāng) 0<a<1 時(shí)，"Ia+ <0,有 a<-.aa1綜上，當(dāng)a>1時(shí)，a>-； a當(dāng) a=1 時(shí)，a = 一； a一 1當(dāng) 0<a<1 時(shí)，a<-.a1 .作差法比

9、較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差一變形一定號(hào)一結(jié)論.(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；分母或分 子有理化；分類討論.2 .作商法比較大小的步驟及適用范圍(1)作商法比較大小的三個(gè)步驟作商變形；與1比較大??；得出結(jié)論.(2)作商法比較大小的適用范圍要比較的兩個(gè)數(shù)同號(hào)；比較“哥、指數(shù)、對(duì)數(shù)、含絕對(duì)值”的兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，常用作商法.活學(xué)活用1 .比較x6+1與X4+X2的大小，其中xC R.解：(X6+ 1) -(X4+X2)= x6-x4-x2+ 1= X4(X2- 1) - (X2- 1)= (X2-1)( X4-1)= (X21)( X2-

10、1)( X2+ 1)= (x2-1)2(x2+1).故當(dāng) x=±l 時(shí)，X6+ 1 =X4+X2；當(dāng) xw±l 時(shí)，X6+ 1 >X4+ X2.2 .若m>2,比較mm與2m的大小.1題型二不等式的性質(zhì)m解：因?yàn)閙m=j=i,所以 m>2mm，又因?yàn)閙>2,所以m>i,所以典例(1)已知b<2a, 3d<c,則下列不等式一定成立的是()A. 2ac>b3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c(2)下列說(shuō)法不正確的是()A.若 aCR,貝U(a+2a 1) >(a 2)B.

11、若 aC R,則(a1)4>(a2)4C.若 0<a<b,則 g a>4) 3 3D.若 0<a<b,則 a3<b3解析(1)由于b<2a,3d<c,則由不等式的性質(zhì)得b+3d<2a+c,故選C.(2)對(duì)于 A,因?yàn)?a2+2a 1) - (a-2) =a2+a+ 1= ja+2 2+4>0,所以 a2+2a-1>a-2, 則(a2+2a1)3>(a 2)3,故 A選項(xiàng)說(shuō)法正確；對(duì)于 B,當(dāng) a=1 時(shí)，(a1)4=0, (a2)4=1, 所以(a 1)4>(a2)4不成立；對(duì)于C和D,因?yàn)?<a<

12、b,所以由指數(shù)函數(shù)與募函數(shù)的性質(zhì)知 C D選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選 B.答案(1)C(2)B1 .利用不等式判斷正誤的 2種方法(1)直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō) 法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便 于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性.2 .利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ) 上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件

13、，且不可省略條 件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.活學(xué)活用1 .已知a>b>c,且a+b+c=0,則下列不等式恒成立的是（）A.ab>bcB .ac>bcC.ab>acD .a| b|>|b|c解析：選 C 因?yàn)閍>b>c,且a+ b+c=0,所以a>0, c<0,所以ab>ac.2.若 a>b>0, c<d<0, e<0, 求證： e2>2a-c b- d證明：< c<d<0, - -c>-d>0.又 a>b>0,，ac>bd>0,

14、貝U (ac) 2>( bd) 2>0,即又 e<0,ee2>a c b d用不等式性質(zhì)求解取值范圍典例 已知1 va<4,2 v b<8,試求2a + 3b與ab的取值范圍.解1<a<4,2 <b<8,2<2a< 8,6<3b<24. -8 <2a+3b< 32.- 2vb<8,8vbv2.又1vav4,1 + ( -8) va+( b) <4+( - 2),即7va b<2.故2a+3b的取值范圍是(8,32) , ab的取值范圍是(一7,2).同向不等式具有可加性與可乘性，但

15、是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性.1 .在本例條件下，求a的取值范圍.解：: 2<b<8,.1 x 7< a ;<4X 7,即！v a<2.8 b 2'8b,a , 1故二的取值范圍是2.b8不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，求 解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)., a,一 八.，一2 .已知一6vav8,2vbv3,求的取值范圍.b解：,. 一 6vav8,2 vbv3.1 113< b<2,當(dāng) 0Wav8 時(shí)，0w a<4； b一, a當(dāng)一6vav0 時(shí)

16、，一3vbv0.由得：-3<a<4.,a, 一.，一 ,故;:的取值范圍為（ 3,4）.b利用不等式性質(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù).3.已知一1w a+bwi,i w a-2b<3,求 a+3b 的取值范圍.解：設(shè) a+ 3b =入 1( a+ b) + 入 2( a- 2b)=（入 1+ 入 2）a+（入 12 入 2）b,5 5522又一3W 3( a+b) W 3, 2W 3( a2b) w 3,11所以< a+ 3b< 1.311故a+3b的取值范圍為|-y, 1課后層繳訓(xùn)練，步步提升能力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1 .李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)

17、，他現(xiàn)在已存60元.計(jì)劃從現(xiàn)在起以后每個(gè)月節(jié)省30元，直到他至少有 400元.設(shè)x個(gè)月后他至少有 400元，則可以用于計(jì)算所需 要的月數(shù)x的不等式是（）A. 30x-60>400B. 30x+60>400C. 30x-60<400D. 30x + 40<400解析：選B x月后他至少有 400元，可表示成 30x + 60>400.2 .若 abcdv0,且 a>0, b>c, d<0,貝U（）A. b<0, c<0B . b>0, c>0C. b>0, c< 0D . 0vcvb 或 cvbv0解析：選 D

18、由 a>0, d<0,且 abcd<0,知 bc>0,又b>c,，0v cv b或 c< b<0.3 .已知：a, b, c, dCR,則下列命題中必成立的是 （）A.若 a>b, c>b,貝U a>c8 .若 a>b,貝U c av c+ba bC.右 a>b, cvd,則->一1 c dD.若 a2>b2,則一av b解析：選B選項(xiàng)A,若a = 4, b=2, c=5,顯然不成立，選項(xiàng) C不滿足倒數(shù)不等式的條 件，如a>b>0, cv0vd時(shí)，不成立；選項(xiàng) D只有a>b>0時(shí)才可以.

19、否則如 a=- 1, b = 0 時(shí)不成立，故選B.9 .設(shè) a C 2 I 3 ", ¥ 則 2a 3的范圍是(A.B.71656C.（。，兀）D.716.一，B 兀解析：選 D 0<2a< 0w§ & 萬(wàn)，+W占W0,由同向不等式相加得到一 6310 已知M= 2x+1, N=則M N的大小關(guān)系為()Vl + xA. M>NB ,gNC. M= ND .不確定解析：選 A2x>0,，Ml= 2x+1>1,而 x2+1>1,1j2< 1, 1- M>NI,故選 A.w +x6 .已知xvl,則x2+2與3x

20、的大小關(guān)系為 解析：(x2+2)-3x=(x-1)( x-2),因?yàn)?x< 1,所以 x1v0, x2v0,所以(x1)( x2) >0,所以 x2 + 2>3x.答案：x2+2>3x7 .比較大小：a2+b2+c2 2(a+b+c)4.解析：a2 + b2 + c2 2( a+ b+ c) -4=a2 + b2+ c2 2a 2b 2c+4= (a-1)2+(b- 1)2+(c 1)2+1>1>0,故 a2+b2 + c2> 2(a+ b+ c) -4.答案：8 .已知一1Wx + yW4,且2Wx yW3,則z= 2x3y的取值范圍是 （用區(qū)間表

21、示）.15解析： z= 2（x+y）+（xy）,11515-2<- 2(x+y)<2，5<2(x-y)<y,153<- 2(x+y)+2(x-y)<8,，z的取值范圍是3,8.答案：3,89 .若 xw2 或 yw1, M= x2+y24x+2y, N= 5,試比較 MUf N的大小.解：Ml- Nl= (x2+y2-4x + 2y)-(-5)= (x2 4x+4) + (y2+2y+ 1)= (x-2) 2+(y+ 1)2.因?yàn)?x2)2>0, (y+1)2>0,所以(x2)2+(y+ 1)2>0,又因?yàn)閤W2或yw 1,所以(x2)2與

22、(y+1)2不會(huì)同時(shí)為0.所以(x2)2+(y+ 1)2>0,所以M> N.10 . (1)若 a< b< 0,求證： a b11.、(2)已知 a>b, a<b，求證：ab>0.b a證明：由于二bb2 a2abb+abaab,. a< b< 0,，b+av0, b-a>0, ab>0,b+a b-aab1 1a-b<0，a b- a即E0，而 a>b, 1- b-a<0,，ab>0.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1 .若 xC R, yC R,則()A. x2+y2>2xy1B . x2+ y2= 2xy-

23、 1C. x2+y2<2xy1D . x2+ y2<2xy- 1解析：選 A 因?yàn)?x2+y2(2xy 1) =x22xy+y2+1 = (x y) 2+1>0,所以 x2+y2>2xy 1,故選A.2 .已知 a1C(0,1) , a2c (0,1),記 M= 3132, N 81 + 82-1,則 M與 N的大小關(guān)系是()A.除NB . M>NC. M= ND, M> N解析：選 B . 316(0,1) , 82 (0,1) ,1<a1-1<0, - 1<32-1<0,M- N= 8182-(81+ 82 1)=8182 81

24、一 82+1 = 81( 82 1) 一(82 1) = ( 81 1)( 82 1 1)>0 ,MN,故選 B.3 .若一1<“<3<1,則下列各式中恒成立的是()A. 一 2< 民 一 3 <0B . 一 2< 民 一 3 <一 1C. 一 1< a 一 3 <0D . 一 1< a 一 3 <1解析：選 A 由一1<a<1, 1<3<1,得一1< 3 <1, ' 2< a 3 <2.又< a < 3 ,故知一2< a 3 <0.4 .已知8, b, C均為實(shí)數(shù)，8< b< 0,則 82V b2;8r匚V C,則8< bc; b8>b,貝U c28<c2b；8> b,貝U -<1.8 b上述說(shuō)法正確的有()A. 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)解析：選A特殊值法.令 8=-2, b= 1,則4>1,故錯(cuò)；當(dāng)b<0時(shí)，有8>bc,故錯(cuò)；當(dāng)8>b時(shí)，有28V 2b