第16章 位移法及力矩分配法

1、第16章 位移法及力矩分配法16.1 位移法的基本概念16.2 位移法的原理16.3 位移法的應(yīng)用16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁 和無(wú)側(cè)移剛架第16章 位移法及力矩分配法學(xué)習(xí)目標(biāo) 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，熟悉位移法的基本概念、力矩分配法的概念；掌握位移法的原理，能進(jìn)行位移法的應(yīng)用； 能夠用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架。16.1.1 位移法基本變形假設(shè) 位移法的計(jì)算對(duì)象是由等截面直桿組成的桿系結(jié)構(gòu)，例如剛架、連續(xù)梁。在計(jì)算中認(rèn)為結(jié)構(gòu)仍然符合小變形假定。同時(shí)位移法假設(shè)：（）各桿端之間的軸向長(zhǎng)度在變形后保持不變；（）剛性結(jié)點(diǎn)所連各桿端的截面轉(zhuǎn)角是相同的。16.1位移法的

2、基本概念16.1.2 位移法基本未知量 力法的基本未知量是未知力未知力，位移法的基本未知量是結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移。 結(jié)點(diǎn)是指計(jì)算結(jié)點(diǎn)，即結(jié)構(gòu)各桿件的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)位移分為結(jié)點(diǎn)角位移結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)點(diǎn)線位移兩種。 結(jié)點(diǎn)分為剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)和鉸結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)點(diǎn)，特點(diǎn)：鉸結(jié)點(diǎn)對(duì)各桿端截面的相對(duì)角位移無(wú)約束作用，只有剛結(jié)點(diǎn)處才有作為未知量的角位移。每一個(gè)獨(dú)每一個(gè)獨(dú)立剛結(jié)點(diǎn)就有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移立剛結(jié)點(diǎn)就有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移，則整個(gè)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立剛結(jié)點(diǎn)數(shù)就是角位移數(shù)。每一個(gè)獨(dú)立剛節(jié)點(diǎn)有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移(基本未知量)，是整個(gè)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立剛節(jié)點(diǎn)總數(shù)。角位移數(shù)為6 角位移數(shù)為1 對(duì)于結(jié)點(diǎn)線位移，由于忽略桿件的軸向變形。這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)線位移中只

3、有一個(gè)是獨(dú)立的，稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移。 獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移為位移法一種基本未知量基本未知量。獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目可采用鉸接法確定(即將所有剛性結(jié)點(diǎn)改為鉸結(jié)點(diǎn)后，添加輔助鏈桿使其成為幾何不變體的方法) ?！跋拗扑泄?jié)點(diǎn)線位移所需添加的鏈桿數(shù)就是獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)”。獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)為1獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)為216.1.3 位移法的桿端內(nèi)力（）運(yùn)用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，需要將結(jié)結(jié)構(gòu)拆成單桿構(gòu)拆成單桿，單桿的桿端約束視結(jié)點(diǎn)而定，剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)視為固定支座，鉸結(jié)點(diǎn)視為固定鉸支座。視為固定支座，鉸結(jié)點(diǎn)視為固定鉸支座。當(dāng)討論桿件的彎矩與剪力時(shí)可不予考慮，從而鉸支座可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為垂直于桿軸線的可動(dòng)鉸支座。

4、結(jié)合邊界支座的形式，位移法的單桿超靜定梁有三種形式，如圖1-所示。（）位移法規(guī)定桿端彎矩使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)（對(duì)于結(jié)點(diǎn)就變成逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，如圖16-5所示。這和前面梁的內(nèi)力計(jì)算中規(guī)定梁彎矩下側(cè)受拉為正是不一樣的，因?yàn)閷?duì)于整體結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，桿件不僅僅有水平桿件，還有豎向、斜向桿件。對(duì)于剪力、軸剪力、軸力的正負(fù)規(guī)定，則和前面的規(guī)定保持一致。力的正負(fù)規(guī)定，則和前面的規(guī)定保持一致。 （）位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩剪力和彎矩，位移法下的單桿都是超靜定梁，所以不僅荷載僅荷載會(huì)引起桿端內(nèi)力，桿端支座位移也會(huì)引起內(nèi)力會(huì)引起桿端內(nèi)力，桿端支座位移也會(huì)引起內(nèi)力，

5、這些桿端內(nèi)力可通過(guò)查表16-1獲得。 荷載引起的彎矩稱為固端彎矩，由荷載引起的剪力稱為固端剪力。固端剪力使桿端順時(shí)固端剪力使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)（對(duì)于結(jié)點(diǎn)也是如此），表中的i稱為線剛度，即i=EI/L，式中EI桿件的抗彎剛度 L桿長(zhǎng)。16.2位移法的原理將剛架拆為兩個(gè)單桿。AB桿B端為固定支座，A端為剛節(jié)點(diǎn)，視為固定支座。AC桿C端為固定鉸支座，A端為剛節(jié)點(diǎn)，視為固定支座。 寫(xiě)出各桿的桿端彎矩表達(dá)式（注意到AC桿既有荷載，又有節(jié)點(diǎn)角位移，故應(yīng)疊加）。0163342CAAACAABABAMFliMiMiM以上各桿端彎矩表達(dá)式中均含有未知量A，所以又稱為轉(zhuǎn)角

6、位移方程。轉(zhuǎn)角位移方程。0AM016334FliiAA0ACABMMFliA1123把上面的表達(dá)式代入：0566566563ACACABBAMFlMFlMFlM再把iA代回各桿端彎矩式得到： 位移法的基本思路就：選取結(jié)點(diǎn)位移選取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，把每段桿件視為獨(dú)立的單跨超靜定梁，然后根據(jù)其位移以及荷載寫(xiě)出各桿端彎矩的表達(dá)根據(jù)其位移以及荷載寫(xiě)出各桿端彎矩的表達(dá)式式，再利用靜力平衡條件求解利用靜力平衡條件求解出位移未知量，進(jìn)而求解出各桿端彎矩求解出各桿端彎矩。該方法稱為位移法位移法。力法力法則以多余未知力為基本未知量，故名為力法。在建立方程的時(shí)候，位移法是根據(jù)靜力平衡條件位移法是根據(jù)靜力平衡條

7、件來(lái)建立來(lái)建立，而力法則是根據(jù)位移幾何條件來(lái)建立力法則是根據(jù)位移幾何條件來(lái)建立，這是兩個(gè)方法的相互對(duì)應(yīng)之處。16.3位移法的應(yīng)用利用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的一般步驟步驟如下：（）確定基本未知量。（）將結(jié)構(gòu)拆成超靜定或個(gè)別靜定的單桿。（）查表-，列出各桿端轉(zhuǎn)角位移方程。（）根據(jù)平衡條件建立平衡方程（一般對(duì)有轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點(diǎn)取力矩平衡方程，有結(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，則考慮線位移方向的靜力平衡方程）。（）解出未知量，求出桿端內(nèi)力。（）作出內(nèi)力圖。【例例16-1】用位移法畫(huà)圖（）所示連續(xù)梁的用位移法畫(huà)圖（）所示連續(xù)梁的彎矩圖。已知彎矩圖。已知Fql/，各桿剛度，各桿剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)?！窘饨狻?（）確定基本未

8、知量。此連續(xù)梁只有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) ，轉(zhuǎn)角位移個(gè)數(shù)為，記作，整個(gè)梁無(wú)線位移，因此，基本未知量只有B結(jié)點(diǎn)角位移。（）將連續(xù)梁拆成兩個(gè)單桿梁。（3） 寫(xiě)出轉(zhuǎn)角位移方程（兩桿的線剛度相等）：081316348141632812222CBBBCBBBABBABMqliMqliFliMqliFliM0BM0BCBAMM0161342qliiBB21121qliB（4） 考慮剛節(jié)點(diǎn)B的力矩平衡， B （負(fù)號(hào)說(shuō)明逆時(shí)針轉(zhuǎn)）（5） 代回轉(zhuǎn)角位移方程，求出各桿的桿端彎矩：011217813112171634112231632222222CBBBCBBABABMqlqliMqlqliMqlqliM（6）根據(jù)桿端彎矩求出

9、桿端剪力，（7）并作出彎矩圖、剪力圖。彎矩圖彎矩圖剪力圖剪力圖16.4力矩分配法的基本概念 力矩分配法力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值解法，它不必計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移，也無(wú)須求解聯(lián)立方程，可以直接通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到桿端彎矩。 計(jì)算時(shí)，逐個(gè)結(jié)點(diǎn)依次進(jìn)行，和力法、位移法相比。力力矩分配法的適用對(duì)象是連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線矩分配法的適用對(duì)象是連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架位移剛架。在力矩分配法中，內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定同位移法的規(guī)定一致。同位移法的規(guī)定一致。桿端彎矩使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，固端剪力使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。（）（?轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 桿件固定端轉(zhuǎn)動(dòng)單位角位移所引起的力矩稱為該桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)

10、動(dòng)剛度（轉(zhuǎn)動(dòng)剛度也可定義為使桿件固定端轉(zhuǎn)動(dòng)單位角位移所需施加的力矩），記作S。 等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與遠(yuǎn)端約束及線剛度有關(guān)：遠(yuǎn)端固定： Si遠(yuǎn)端鉸支： Si遠(yuǎn)端雙滑動(dòng)支座： Si遠(yuǎn)端自由： S（i為線剛度）剛節(jié)點(diǎn)B將產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)角位移 固端彎矩固端彎矩( )：是被約束隔離各桿件在荷載單獨(dú) 作用下引起的桿端彎矩。 MF一般地FBM不等于零，稱為節(jié)點(diǎn)不平衡力矩節(jié)點(diǎn)不平衡力矩。FBDFBCFBAFBMMMM現(xiàn)放松轉(zhuǎn)動(dòng)約束，即去掉剛臂，這個(gè)狀態(tài)稱為放松狀態(tài) 節(jié)點(diǎn)B將產(chǎn)生角位移，并在各桿端（包括近端和遠(yuǎn)端）引起桿端彎矩，記作M 則固端彎矩與位移彎矩的代數(shù)和就是最終桿端彎矩最終桿端彎矩。 （2）近端位移彎矩

11、的計(jì)算及分配系數(shù)）近端位移彎矩的計(jì)算及分配系數(shù)AB桿：遠(yuǎn)端為固定支座，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBA = 4i BC桿：遠(yuǎn)端為鉸支座，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBC = 3i BD桿：遠(yuǎn)端為雙滑動(dòng)支座，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBD = i FBABAFBAFBABABAMSMiMMM4FBCBCFBFBCBCBMSMiMMMCC3FBDBDFBFBDBDBMSMiMMMDD各桿近端（B端）的桿端彎矩表達(dá)式：163CFlMFB0DFBMBABASMBCBCSMBDBDSM 式中：顯然，桿的近端位移彎矩為：122qlMFBA0BDBCBAMMM由B節(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件 M = 0得：0FBDBDFBCBCFBABAMSMSMSBFBBDBCBA

12、FBCFBCFBCSMSSSMMM)()(解得未知量為：解得的未知量代回桿近端位移彎矩的表達(dá)式，得到：)(FBBBABABAMSSSM)(FBBBCBCBCMSSSM)(FBBBDBDBDMSSSMBBABASSBBCBCSSBBDBDSS將未知量代回桿近端分配彎矩的表達(dá)式，得到：上式中括號(hào)前的系數(shù)稱為分配系數(shù)分配系數(shù)，記作，即：一個(gè)桿件的桿端分配系數(shù)等于自身?xiàng)U端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度除以桿端節(jié)點(diǎn)所連各桿的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和。各結(jié)點(diǎn)分配系數(shù)之和等于11BDBCBA由此可知，一個(gè)節(jié)點(diǎn)所連各桿的近端桿端分配彎矩總和在數(shù)值上等于節(jié)點(diǎn)不平衡力矩，但符號(hào)相反，即：而各桿的近端分配彎矩是將不平衡力矩變號(hào)后按比例分配得到的

13、。)()()()(FBFBBBDFBBBCFBBBABDBCBAMMSSMSSMSSMMM（3）遠(yuǎn)端傳遞彎矩的計(jì)算及傳遞系數(shù)）遠(yuǎn)端傳遞彎矩的計(jì)算及傳遞系數(shù)近端桿端分配彎矩可通過(guò)固端彎矩按比例分配得到，而遠(yuǎn)端傳遞彎矩則可通過(guò)近端位移彎矩得到。 CMMABBAABBAMCM設(shè)：式中C稱為稱為傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)，它只與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。它只與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。 遠(yuǎn)端為固定支座： C = 21遠(yuǎn)端為鉸支座： 遠(yuǎn)端為雙滑動(dòng)支座：遠(yuǎn)端為自由：C =0C =0C = -100近端固定、遠(yuǎn)端自由-1-i近端固定、遠(yuǎn)端雙滑動(dòng)0近端固定、遠(yuǎn)端鉸支1/2近端固定、遠(yuǎn)端固定傳遞系數(shù)C轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S約束條件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與傳遞系數(shù)表i 4

14、i 316.5 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架力矩分配法的計(jì)算步驟計(jì)算步驟如下：（）將各剛結(jié)點(diǎn)看作是鎖定的，查表-得到各桿的固端彎矩；（）計(jì)算各桿的線剛度iEI/l，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S，確定剛結(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)，并用結(jié)點(diǎn)處總分配系數(shù)為進(jìn)行驗(yàn)算；（）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)處的不平衡力矩犕犉，將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩變號(hào)分配，得近端分配彎矩；（）根據(jù)遠(yuǎn)端約束條件確定傳遞系數(shù)犆，計(jì)算遠(yuǎn)端傳遞彎矩；（）依次對(duì)各結(jié)點(diǎn)循環(huán)進(jìn)行分配、傳遞計(jì)算，當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時(shí)，終止計(jì)算，然后將各桿端的固端彎矩、分配彎矩與傳遞彎矩進(jìn)行代數(shù)相加，得出最后的桿端彎矩；（）根據(jù)最終桿端彎矩值及位移法下的彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)定，用疊加法繪制彎矩圖?！纠纠?

15、6-2 】用力矩分配法求】用力矩分配法求圖（圖（a）所示兩跨連續(xù)梁）所示兩跨連續(xù)梁的彎矩圖。的彎矩圖。mkNFlMFAB60841208【解】：【解】： 該梁只有一個(gè)剛節(jié)點(diǎn)B。 1. 查表求出各桿端的固端彎矩mkNFlMFBA60841208mkNqlMFBC3084158220FCBM2. 計(jì)算各桿的線剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與分配系數(shù)4EIiABEIiSABBA 4233EIiSBCBc4 . 023EIEIEISSSBCBABABA242EIEIiBC6 . 02323EIEIEISSSBCBABCBC 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：分配系數(shù)：線剛度：線剛度：16 . 04 . 0BCBA - -6 12

16、12- 18 0- 66 48- 48 0 - 60 60- 30 0MAB MBAMBC MCB固端彎矩分配傳遞計(jì)算 遞彎矩桿端彎矩分配系數(shù)0.40.6（C=1/2）（C= 0）3. 通過(guò)列表方式計(jì)算分配彎矩與傳遞彎矩及桿端彎矩。4. 疊加計(jì)算，得出最后的桿端彎矩，作彎矩圖?！纠纠?6-3】 用力矩分配法求圖無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架的 彎矩圖。0414313BDBCBASSS0571. 0434429. 0433BDBCBA【解】：【解】： 1. 確定剛節(jié)點(diǎn)B處各桿的分配系數(shù)這里BD桿為近端固定，遠(yuǎn)端自由，屬于靜定結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為0。mkNqlMFBA408420822mkNFlMFBD10025

17、00FBCM2. 計(jì)算固端彎矩：3. 力矩分配計(jì)算見(jiàn)下表：分配系數(shù)0.4290.5710 MAB MBAMBCMBD MDB固端彎矩分配傳遞計(jì)算0 40 0 25.740 -100 034.26 0 0桿端彎矩0 65.7434.26 -100 0MCB017.1317.134、得出最后的桿端彎矩，作彎矩圖。【例【例16-4】 用力矩分配法求圖示連續(xù)梁的彎矩圖， EI為常數(shù)。mkNqlMFAB80128151222mkNqlMFBA80128151222mkNFlMFBC75861008mkNFlMFCB758MkNqlMFCD12088158220FDCM【解】：【解】： 1. 計(jì)算各桿端的

18、固端彎矩：2. 確定各剛節(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)，(可令EI = 1)B節(jié)點(diǎn)處：326144218144BCBCABBAiSiS571.0322132429.0322121BCBA838133326144CDCDBCCBiSiS36.083328364.0833232CDCBC節(jié)點(diǎn)處：分配系數(shù)0.4290.5710.640.36 固端彎矩-80 80 -75 75-120 0分配傳遞計(jì)算-4.16 -8.32-0.38 -0.76-0.04 -0.07 -0.0114.4 28.8-11.08 -5.541.78 3.55-1.02 -0.510.17 0.33-0.10 -0.050.02 0.03-0.0116.2 01.99 00.18 00.02 0桿端彎矩-84,58 70.84-70.84 101.61-101.61 04、得出最后的桿端彎矩，作彎矩圖。3. 力矩