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1、第16章 位移法及力矩分配法16.1 位移法的基本概念16.2 位移法的原理16.3 位移法的應(yīng)用16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁 和無(wú)側(cè)移剛架第16章 位移法及力矩分配法學(xué)習(xí)目標(biāo) 通過(guò)本章的學(xué)習(xí),熟悉位移法的基本概念、力矩分配法的概念;掌握位移法的原理,能進(jìn)行位移法的應(yīng)用; 能夠用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架。16.1.1 位移法基本變形假設(shè) 位移法的計(jì)算對(duì)象是由等截面直桿組成的桿系結(jié)構(gòu),例如剛架、連續(xù)梁。在計(jì)算中認(rèn)為結(jié)構(gòu)仍然符合小變形假定。同時(shí)位移法假設(shè):()各桿端之間的軸向長(zhǎng)度在變形后保持不變;()剛性結(jié)點(diǎn)所連各桿端的截面轉(zhuǎn)角是相同的。16.1位移法的
2、基本概念16.1.2 位移法基本未知量 力法的基本未知量是未知力未知力,位移法的基本未知量是結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移。 結(jié)點(diǎn)是指計(jì)算結(jié)點(diǎn),即結(jié)構(gòu)各桿件的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)位移分為結(jié)點(diǎn)角位移結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)點(diǎn)線位移兩種。 結(jié)點(diǎn)分為剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)和鉸結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)點(diǎn),特點(diǎn):鉸結(jié)點(diǎn)對(duì)各桿端截面的相對(duì)角位移無(wú)約束作用,只有剛結(jié)點(diǎn)處才有作為未知量的角位移。每一個(gè)獨(dú)每一個(gè)獨(dú)立剛結(jié)點(diǎn)就有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移立剛結(jié)點(diǎn)就有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移,則整個(gè)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立剛結(jié)點(diǎn)數(shù)就是角位移數(shù)。每一個(gè)獨(dú)立剛節(jié)點(diǎn)有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移(基本未知量),是整個(gè)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立剛節(jié)點(diǎn)總數(shù)。角位移數(shù)為6 角位移數(shù)為1 對(duì)于結(jié)點(diǎn)線位移,由于忽略桿件的軸向變形。這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)線位移中只
3、有一個(gè)是獨(dú)立的,稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移。 獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移為位移法一種基本未知量基本未知量。獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目可采用鉸接法確定(即將所有剛性結(jié)點(diǎn)改為鉸結(jié)點(diǎn)后,添加輔助鏈桿使其成為幾何不變體的方法) ?!跋拗扑泄?jié)點(diǎn)線位移所需添加的鏈桿數(shù)就是獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)”。獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)為1獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移數(shù)為216.1.3 位移法的桿端內(nèi)力()運(yùn)用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí),需要將結(jié)結(jié)構(gòu)拆成單桿構(gòu)拆成單桿,單桿的桿端約束視結(jié)點(diǎn)而定,剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)視為固定支座,鉸結(jié)點(diǎn)視為固定鉸支座。視為固定支座,鉸結(jié)點(diǎn)視為固定鉸支座。當(dāng)討論桿件的彎矩與剪力時(shí)可不予考慮,從而鉸支座可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為垂直于桿軸線的可動(dòng)鉸支座。
4、結(jié)合邊界支座的形式,位移法的單桿超靜定梁有三種形式,如圖1-所示。()位移法規(guī)定桿端彎矩使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)為正,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)(對(duì)于結(jié)點(diǎn)就變成逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,如圖16-5所示。這和前面梁的內(nèi)力計(jì)算中規(guī)定梁彎矩下側(cè)受拉為正是不一樣的,因?yàn)閷?duì)于整體結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō),桿件不僅僅有水平桿件,還有豎向、斜向桿件。對(duì)于剪力、軸剪力、軸力的正負(fù)規(guī)定,則和前面的規(guī)定保持一致。力的正負(fù)規(guī)定,則和前面的規(guī)定保持一致。 ()位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩剪力和彎矩,位移法下的單桿都是超靜定梁,所以不僅荷載僅荷載會(huì)引起桿端內(nèi)力,桿端支座位移也會(huì)引起內(nèi)力會(huì)引起桿端內(nèi)力,桿端支座位移也會(huì)引起內(nèi)力,
5、這些桿端內(nèi)力可通過(guò)查表16-1獲得。 荷載引起的彎矩稱為固端彎矩,由荷載引起的剪力稱為固端剪力。固端剪力使桿端順時(shí)固端剪力使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)(對(duì)于結(jié)點(diǎn)也是如此),表中的i稱為線剛度,即i=EI/L,式中EI桿件的抗彎剛度 L桿長(zhǎng)。16.2位移法的原理將剛架拆為兩個(gè)單桿。AB桿B端為固定支座,A端為剛節(jié)點(diǎn),視為固定支座。AC桿C端為固定鉸支座,A端為剛節(jié)點(diǎn),視為固定支座。 寫(xiě)出各桿的桿端彎矩表達(dá)式(注意到AC桿既有荷載,又有節(jié)點(diǎn)角位移,故應(yīng)疊加)。0163342CAAACAABABAMFliMiMiM以上各桿端彎矩表達(dá)式中均含有未知量A,所以又稱為轉(zhuǎn)角
6、位移方程。轉(zhuǎn)角位移方程。0AM016334FliiAA0ACABMMFliA1123把上面的表達(dá)式代入:0566566563ACACABBAMFlMFlMFlM再把iA代回各桿端彎矩式得到: 位移法的基本思路就:選取結(jié)點(diǎn)位移選取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量,把每段桿件視為獨(dú)立的單跨超靜定梁,然后根據(jù)其位移以及荷載寫(xiě)出各桿端彎矩的表達(dá)根據(jù)其位移以及荷載寫(xiě)出各桿端彎矩的表達(dá)式式,再利用靜力平衡條件求解利用靜力平衡條件求解出位移未知量,進(jìn)而求解出各桿端彎矩求解出各桿端彎矩。該方法稱為位移法位移法。力法力法則以多余未知力為基本未知量,故名為力法。在建立方程的時(shí)候,位移法是根據(jù)靜力平衡條件位移法是根據(jù)靜力平衡條
7、件來(lái)建立來(lái)建立,而力法則是根據(jù)位移幾何條件來(lái)建立力法則是根據(jù)位移幾何條件來(lái)建立,這是兩個(gè)方法的相互對(duì)應(yīng)之處。16.3位移法的應(yīng)用利用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的一般步驟步驟如下:()確定基本未知量。()將結(jié)構(gòu)拆成超靜定或個(gè)別靜定的單桿。()查表-,列出各桿端轉(zhuǎn)角位移方程。()根據(jù)平衡條件建立平衡方程(一般對(duì)有轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點(diǎn)取力矩平衡方程,有結(jié)點(diǎn)線位移時(shí),則考慮線位移方向的靜力平衡方程)。()解出未知量,求出桿端內(nèi)力。()作出內(nèi)力圖。【例例16-1】用位移法畫(huà)圖()所示連續(xù)梁的用位移法畫(huà)圖()所示連續(xù)梁的彎矩圖。已知彎矩圖。已知Fql/,各桿剛度,各桿剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)?!窘饨狻?()確定基本未
8、知量。此連續(xù)梁只有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) ,轉(zhuǎn)角位移個(gè)數(shù)為,記作,整個(gè)梁無(wú)線位移,因此,基本未知量只有B結(jié)點(diǎn)角位移。()將連續(xù)梁拆成兩個(gè)單桿梁。(3) 寫(xiě)出轉(zhuǎn)角位移方程(兩桿的線剛度相等):081316348141632812222CBBBCBBBABBABMqliMqliFliMqliFliM0BM0BCBAMM0161342qliiBB21121qliB(4) 考慮剛節(jié)點(diǎn)B的力矩平衡, B (負(fù)號(hào)說(shuō)明逆時(shí)針轉(zhuǎn))(5) 代回轉(zhuǎn)角位移方程,求出各桿的桿端彎矩:011217813112171634112231632222222CBBBCBBABABMqlqliMqlqliMqlqliM(6)根據(jù)桿端彎矩求出
9、桿端剪力,(7)并作出彎矩圖、剪力圖。彎矩圖彎矩圖剪力圖剪力圖16.4力矩分配法的基本概念 力矩分配法力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值解法,它不必計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移,也無(wú)須求解聯(lián)立方程,可以直接通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到桿端彎矩。 計(jì)算時(shí),逐個(gè)結(jié)點(diǎn)依次進(jìn)行,和力法、位移法相比。力力矩分配法的適用對(duì)象是連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線矩分配法的適用對(duì)象是連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架位移剛架。在力矩分配法中,內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定同位移法的規(guī)定一致。同位移法的規(guī)定一致。桿端彎矩使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,固端剪力使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。()(?轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 桿件固定端轉(zhuǎn)動(dòng)單位角位移所引起的力矩稱為該桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)
10、動(dòng)剛度(轉(zhuǎn)動(dòng)剛度也可定義為使桿件固定端轉(zhuǎn)動(dòng)單位角位移所需施加的力矩),記作S。 等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與遠(yuǎn)端約束及線剛度有關(guān):遠(yuǎn)端固定: Si遠(yuǎn)端鉸支: Si遠(yuǎn)端雙滑動(dòng)支座: Si遠(yuǎn)端自由: S(i為線剛度)剛節(jié)點(diǎn)B將產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)角位移 固端彎矩固端彎矩( ):是被約束隔離各桿件在荷載單獨(dú) 作用下引起的桿端彎矩。 MF一般地FBM不等于零,稱為節(jié)點(diǎn)不平衡力矩節(jié)點(diǎn)不平衡力矩。FBDFBCFBAFBMMMM現(xiàn)放松轉(zhuǎn)動(dòng)約束,即去掉剛臂,這個(gè)狀態(tài)稱為放松狀態(tài) 節(jié)點(diǎn)B將產(chǎn)生角位移,并在各桿端(包括近端和遠(yuǎn)端)引起桿端彎矩,記作M 則固端彎矩與位移彎矩的代數(shù)和就是最終桿端彎矩最終桿端彎矩。 (2)近端位移彎矩
11、的計(jì)算及分配系數(shù))近端位移彎矩的計(jì)算及分配系數(shù)AB桿:遠(yuǎn)端為固定支座,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBA = 4i BC桿:遠(yuǎn)端為鉸支座,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBC = 3i BD桿:遠(yuǎn)端為雙滑動(dòng)支座,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBD = i FBABAFBAFBABABAMSMiMMM4FBCBCFBFBCBCBMSMiMMMCC3FBDBDFBFBDBDBMSMiMMMDD各桿近端(B端)的桿端彎矩表達(dá)式:163CFlMFB0DFBMBABASMBCBCSMBDBDSM 式中:顯然,桿的近端位移彎矩為:122qlMFBA0BDBCBAMMM由B節(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件 M = 0得:0FBDBDFBCBCFBABAMSMSMSBFBBDBCBA
12、FBCFBCFBCSMSSSMMM)()(解得未知量為:解得的未知量代回桿近端位移彎矩的表達(dá)式,得到:)(FBBBABABAMSSSM)(FBBBCBCBCMSSSM)(FBBBDBDBDMSSSMBBABASSBBCBCSSBBDBDSS將未知量代回桿近端分配彎矩的表達(dá)式,得到:上式中括號(hào)前的系數(shù)稱為分配系數(shù)分配系數(shù),記作,即:一個(gè)桿件的桿端分配系數(shù)等于自身?xiàng)U端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度除以桿端節(jié)點(diǎn)所連各桿的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和。各結(jié)點(diǎn)分配系數(shù)之和等于11BDBCBA由此可知,一個(gè)節(jié)點(diǎn)所連各桿的近端桿端分配彎矩總和在數(shù)值上等于節(jié)點(diǎn)不平衡力矩,但符號(hào)相反,即:而各桿的近端分配彎矩是將不平衡力矩變號(hào)后按比例分配得到的
13、。)()()()(FBFBBBDFBBBCFBBBABDBCBAMMSSMSSMSSMMM(3)遠(yuǎn)端傳遞彎矩的計(jì)算及傳遞系數(shù))遠(yuǎn)端傳遞彎矩的計(jì)算及傳遞系數(shù)近端桿端分配彎矩可通過(guò)固端彎矩按比例分配得到,而遠(yuǎn)端傳遞彎矩則可通過(guò)近端位移彎矩得到。 CMMABBAABBAMCM設(shè):式中C稱為稱為傳遞系數(shù)傳遞系數(shù),它只與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。它只與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。 遠(yuǎn)端為固定支座: C = 21遠(yuǎn)端為鉸支座: 遠(yuǎn)端為雙滑動(dòng)支座:遠(yuǎn)端為自由:C =0C =0C = -100近端固定、遠(yuǎn)端自由-1-i近端固定、遠(yuǎn)端雙滑動(dòng)0近端固定、遠(yuǎn)端鉸支1/2近端固定、遠(yuǎn)端固定傳遞系數(shù)C轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S約束條件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與傳遞系數(shù)表i 4
14、i 316.5 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架力矩分配法的計(jì)算步驟計(jì)算步驟如下:()將各剛結(jié)點(diǎn)看作是鎖定的,查表-得到各桿的固端彎矩;()計(jì)算各桿的線剛度iEI/l,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S,確定剛結(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù),并用結(jié)點(diǎn)處總分配系數(shù)為進(jìn)行驗(yàn)算;()計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)處的不平衡力矩犕犉,將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩變號(hào)分配,得近端分配彎矩;()根據(jù)遠(yuǎn)端約束條件確定傳遞系數(shù)犆,計(jì)算遠(yuǎn)端傳遞彎矩;()依次對(duì)各結(jié)點(diǎn)循環(huán)進(jìn)行分配、傳遞計(jì)算,當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時(shí),終止計(jì)算,然后將各桿端的固端彎矩、分配彎矩與傳遞彎矩進(jìn)行代數(shù)相加,得出最后的桿端彎矩;()根據(jù)最終桿端彎矩值及位移法下的彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)定,用疊加法繪制彎矩圖?!纠纠?
15、6-2 】用力矩分配法求】用力矩分配法求圖(圖(a)所示兩跨連續(xù)梁)所示兩跨連續(xù)梁的彎矩圖。的彎矩圖。mkNFlMFAB60841208【解】:【解】: 該梁只有一個(gè)剛節(jié)點(diǎn)B。 1. 查表求出各桿端的固端彎矩mkNFlMFBA60841208mkNqlMFBC3084158220FCBM2. 計(jì)算各桿的線剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與分配系數(shù)4EIiABEIiSABBA 4233EIiSBCBc4 . 023EIEIEISSSBCBABABA242EIEIiBC6 . 02323EIEIEISSSBCBABCBC 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度:轉(zhuǎn)動(dòng)剛度:分配系數(shù):線剛度:線剛度:16 . 04 . 0BCBA - -6 12
16、12- 18 0- 66 48- 48 0 - 60 60- 30 0MAB MBAMBC MCB固端彎矩分配傳遞計(jì)算 遞彎矩桿端彎矩分配系數(shù)0.40.6(C=1/2)(C= 0)3. 通過(guò)列表方式計(jì)算分配彎矩與傳遞彎矩及桿端彎矩。4. 疊加計(jì)算,得出最后的桿端彎矩,作彎矩圖?!纠纠?6-3】 用力矩分配法求圖無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架的 彎矩圖。0414313BDBCBASSS0571. 0434429. 0433BDBCBA【解】:【解】: 1. 確定剛節(jié)點(diǎn)B處各桿的分配系數(shù)這里BD桿為近端固定,遠(yuǎn)端自由,屬于靜定結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為0。mkNqlMFBA408420822mkNFlMFBD10025
17、00FBCM2. 計(jì)算固端彎矩:3. 力矩分配計(jì)算見(jiàn)下表:分配系數(shù)0.4290.5710 MAB MBAMBCMBD MDB固端彎矩分配傳遞計(jì)算0 40 0 25.740 -100 034.26 0 0桿端彎矩0 65.7434.26 -100 0MCB017.1317.134、得出最后的桿端彎矩,作彎矩圖。【例【例16-4】 用力矩分配法求圖示連續(xù)梁的彎矩圖, EI為常數(shù)。mkNqlMFAB80128151222mkNqlMFBA80128151222mkNFlMFBC75861008mkNFlMFCB758MkNqlMFCD12088158220FDCM【解】:【解】: 1. 計(jì)算各桿端的
18、固端彎矩:2. 確定各剛節(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù),(可令EI = 1)B節(jié)點(diǎn)處:326144218144BCBCABBAiSiS571.0322132429.0322121BCBA838133326144CDCDBCCBiSiS36.083328364.0833232CDCBC節(jié)點(diǎn)處:分配系數(shù)0.4290.5710.640.36 固端彎矩-80 80 -75 75-120 0分配傳遞計(jì)算-4.16 -8.32-0.38 -0.76-0.04 -0.07 -0.0114.4 28.8-11.08 -5.541.78 3.55-1.02 -0.510.17 0.33-0.10 -0.050.02 0.03-0.0116.2 01.99 00.18 00.02 0桿端彎矩-84,58 70.84-70.84 101.61-101.61 04、得出最后的桿端彎矩,作彎矩圖。3. 力矩
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