概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

1、1第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.樣本空間、隨機(jī)事件1樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用與表示；2樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用L 表示；注：樣本空間不唯一.3隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,表示;4必然事件就等于樣本空間；不可能事件(。)是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；5基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2. 事件的四種關(guān)系1包含關(guān)系：Au B，事件 A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生；2等價(jià)關(guān)系：A = B ,事件 A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生，且事件 B 發(fā)生必有事件 A 發(fā)生；3互不相容(互斥)：AB=。，事件 A 與事件 B 一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。- .一一.

2、 A A_ : 14對(duì)立關(guān)系(互逆):A,事件A發(fā)生事件 A 必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足 0,貝U P( Bi| A)P(B)P(A|BJ31. 事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。(X)2. 若P(A) =0,則A=0。(X)3. 若P(A) =0.1, P(B) =0.5,WJP(AB) =0.05。 (X)4. A,B,C 三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為ABC+ABC+ABC。( V )5. n 個(gè)事件若滿足yi, j, P(AjP()P(Aj)，則 n 個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6.當(dāng)Au B時(shí)，有 P(B-A)=P(B)-P(A) 。(V)第二章隨機(jī)變量及其分布一、 隨機(jī)變量的定義： 設(shè)樣本

3、空間為Q ,變量X =X(co)為定義在Q上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱 X 為隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、 分布函數(shù)及其性質(zhì)1.定義：設(shè)隨機(jī)變量X，對(duì)于任意實(shí)數(shù)XW R，函數(shù)F(x) = PX苴x稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。注：當(dāng)X1X2時(shí)，P(X1X、X2) =F(X2) F(X1)X 是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)p(Xj),i =1,2，則有 F(x)=Z p(x).xi3XX 連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f (X)，貝 U F(X)=P(X 苴X) = f f (t)dt.-=02.分布函數(shù)性質(zhì)：(1F F( X X)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意X

4、X10), k = 0, 1, 2,. k!四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布1.定義.若隨機(jī)變量 X X 的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I,I,且存在非負(fù)函數(shù) f(x)，使得對(duì)于任意區(qū)間(a,buI ,有P(a X b) = J f (x)dx，則稱 X X 為連續(xù)隨機(jī)變量；函數(shù) f f (x)(x)稱為連續(xù)隨機(jī)變量 X X 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。a注 1:連續(xù)隨機(jī)變量 X X 任取某一確定值的x0概率等于 0,即P(X =x) =0;X汪 2:P(x1:X :x2) =P(x1=X%x2) = P(x1 2X :x2)= P(x1:： X %x2) =f (x)dx注 1: 一個(gè)函數(shù)若滿足上述 2

5、 個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注2:當(dāng)x1x2時(shí)，P(x1X壬x2) =F(x2)F(x)且在 f(x)的連續(xù)點(diǎn) x x 處，有F (x) =f(x).3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：(1) E(C) =C, (C為常數(shù))(2) E(CX)=CE(X)2.期望的性質(zhì)： v 12.概率密度 f f (x)(x)的性質(zhì)：，性質(zhì) 1:1:f(x)芝0;性質(zhì)2:0f (x)dxx2二 f(x)dxx1均勻分布X U(a,b),f(x)=b a0a _x _b其它F(x)=0,x：a;x - a-,axcb;b a指數(shù)分布X e(，)，, 0f(x)0,x _0 x :01 -eTx,

6、 x A0,0,正態(tài)分布X N(.、；2) : 0(x一J)2一.-o .2f(x) = e ,.2 捉F(x) =(t_J2x -e2。dt, -二：:x ：二1.2.當(dāng) N N 充分大時(shí)，超幾何分布 H H (n,n, M,M, N N)可近似成泊松分布。概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。3.設(shè) X 是隨機(jī)變量，有P(a X b) = P(aX b)。( X )4.若X的密度函數(shù)為f (x)=cos x, x 0,項(xiàng)，則P(0 X X=E EX X-E E(X X)20;它反映了隨機(jī)變量 X X 取值分散的程度，如果 D D(X X)值越大(小)，表示 X X 取值越分散(集中)。2. 方差

7、的性質(zhì)(1)D(C) =0, (C為常數(shù))(2)D(CX)=C2D(X) 若X與Y相互獨(dú)立，貝U D(X土Y)=D(X)+D(Y)(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù) C R,有 E E ( ( X-CX-C ) )2 2 D(D( X X ) )當(dāng)且僅當(dāng) C C = = E(XE(X)時(shí)，E E ( ( X-CX-C ) )2取得最小值 D(X).D(X).(5) (切比雪夫不等式):設(shè) X X 的數(shù)學(xué)期望 日 X X)與方差 D D(X X)存在，對(duì)于任意的正數(shù) 們有P(|XP(|X -E(X)B-E(X)B 3 3 MDi.MDi.或P(|X-E(X)|P(|X-E(X)| e)e) Ml-DMl-D

8、.ee3. 計(jì)算 利用方差定義；(2)常用計(jì)算公式 D(X) =E(X2)E(X)2.(3)方差的性質(zhì)；(4)常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1.若 X X B(nB(n, p p),則 E( X X)=np, D D(X X) = npqnpq; 2.若X P,則E(X)=D(X)=Z;3.若 X X UaUa, b b),則E(X)=空，D(X)=;4. 若Xe0),則E(X)=【，D(X) = ：;212-.25.若XN。,。2),則E(X)=H, D(X)=s2.三、原點(diǎn)矩與中心矩kk(總體)X 的 k 階原點(diǎn)矩：vk(X) = E(X )(總體)X 的 k 階中心矩：uk(X

9、) = EX E(X)1.只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。(X )2.期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。(V)3.方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。 (X )4. 方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。(V)5. 對(duì)于任意的 X,Y,都有D(X Y)=DX +DY成立。(X )第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義62,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3.標(biāo)準(zhǔn)差c-(X) =c-一、正態(tài)分布的性質(zhì)四、中心極限定理1_心2X N(比b2)概率密度為f (X) =re2兀CJ2,一8 x e,其分布函數(shù)為F (x)=1一 e宕dt2二：(t _ I)注：F(L)二方.正態(tài)密度

10、函數(shù)的幾何特性:(1)曲線關(guān)于X=陽稱；1當(dāng) x=由寸，f(x)取得最大值,2 : c(3)當(dāng)XT也肘，f(X)T0,以X軸為漸近線；(X II)21- - -2(4)- e2；dx = 1 =.2= =e23 dxL-rd(頃當(dāng)固定G,改變 也勺大小時(shí)，f(x)的圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.(6)當(dāng)固定卬,改變 甫勺大小時(shí)，f(x)對(duì)稱軸不變而形狀在改 變，勰小，圖形越高越瘦； 越大，圖形越矮越胖.當(dāng)卜=0,1時(shí),XN(0,1),其密度函數(shù)為 q)(x)2 二2Xe2,_MCXE.且其分布函數(shù)為 6(x)t2X_e2dt中(x)的性質(zhì)：(1)1(。)=云(3)：.：，(_x) =1 -

11、：.：，(x).X22dx =1 =x24=c _! e2dx = 2 二 -=O3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系X正理：右 X N(比 cr2),貝 UY-N(0,1).CT定理：設(shè) X N(J,二2),則 P(X1，:X _X2)=:CT工)二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè)X N(P,。2),則 1.期望 E E(X X)=卜1E(X)=,2X-W2xe2 2；- - dx =土-=O2,方差 R 為=Q21D(X)=N*D2e-20(x_.)22程 dx =。21. 線性性.設(shè)X N(H,cr2),貝 U Y =a+bX N(a +bP, b2。2), (b#0)2. 可加性.設(shè)X N(Hx，B

12、), YN(%,b2)，且 X 和 丫相互獨(dú)立,Z =X 丫N(口xy,H+E);3. 線性組合性2一設(shè)Xi N(0,Oi), I =1,2，n,且相互獨(dú)立,nnn:一CiXI N (.二Cii，.二G2*).71.獨(dú)立同分布的中心極限定理(2)樣本矩的性質(zhì)8設(shè)隨機(jī)變量Xi，X2，Xn，相互獨(dú)立，服從相同的分布，且定理解釋：若Xi,X2，Xn滿足上述條件，當(dāng)n充分大時(shí)，有nZX Xi-n-n(1)Y； = AN(0,1)；(2)n nsn21,.、(3)X = A Xi AN(P,打)2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理Y_、1X (t-日2設(shè)Yn B(n, p),則 limlim P P_n22

13、 苴 x x = =f e2廿dtF F lJnp(1lJnp(1 - - p)p)； V2na定理解釋：若Yn B（n, p）,當(dāng) n n 充分大時(shí)，有(1)Yn-npAN(0,1)；(2) Yn AN(np,np(1 p)np(1 -p)1. 若X N(0, 1), Y N(2, 1),則X Y N(-2, 2).( X )X- 口12. 右XN(P,s )，則P(-苴0) = .( V )二23. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 均服從正態(tài)分布：X N(已42), Y N(P,52)而p1=P（X壬卜一4）; p2=P（Y芝卜+5），則（B ）.A.對(duì)任何實(shí)數(shù)氏 都有p p2； B.對(duì)任何實(shí)數(shù)

14、七 都有p1= p2C.只對(duì)卜的個(gè)別值，才有p1= p2；D.對(duì)任何實(shí)數(shù)都有p1p2.第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體個(gè)體樣本1.總體：把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體）.它是一個(gè)隨機(jī)變量，記 X.X.2. 個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.3. 樣本：從總體 X X 中，隨機(jī)地抽取 n n 個(gè)個(gè)體X1,X2，Xn,稱為總體 X X 的容量為 n n 的樣本。注： 樣本（X1，X2，Xn）是一個(gè) n 維的隨機(jī)變量； 本書中提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其滿足2 個(gè)特性:E(X) = J,D(X)=o2,i =1,2, ,n,;則對(duì)于任何實(shí)數(shù) x,有l(wèi)imlim P Pj：

15、(t_.)2-虧dtn* Yn=Xii 4， .2、 AN(nP, n。)；4.已知連續(xù)隨機(jī)變量 X X 的概率密度函數(shù)為2x1則 X X 的數(shù)學(xué)期望為1X X 的方差為1/2 nZXi -nL皿 l 而(Tx_e9代表性：Xi,X2，Xn中每一個(gè)與總體 X X 有相同的分布. 獨(dú)立性：Xi,X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量4.樣本(Xi, X2,，Xn)的聯(lián)合分布n設(shè)總體 X X 的分布函數(shù)為 F F(X X)，則樣本(X1，X2，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(X1，X2L,Xn)=HF(Xi)；i -4n(1)設(shè)總體 X X 的概率密度函數(shù)為 f f (X X),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為f (X，

16、X2,，Xn) =H Hi=1n 設(shè)總體 X X 的概率函數(shù)為p(X), (X =0,1,2,)，則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為p(X,X2,，Xn)=n)=n p(Xi)；i 4、統(tǒng)計(jì)量1.定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)g(X1,X2,Xn)稱為統(tǒng)計(jì)量，g(X1,X2,，Xn)是g(X,X2,Xn)的觀測(cè)值.注：(1)統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2，,Xn)是隨機(jī)變量；(2) 統(tǒng)計(jì)量 g(Xi,X2，Xn)不含總體分布中任何未知參數(shù);樣本 k k 階中心矩 Uk=】 (Xi-X)k,(k =1,2，)其觀測(cè)值. 1樣本 k 階原點(diǎn)矩Vk=-Xjk,(k =1,2，)與總體 k 階原點(diǎn)矩E(Xk),(

17、k=1,2，)；樣本 k 階中心矩UI (XiX)k,(k=1,2，)與總體 k 階原點(diǎn)矩EX E(X)k,(k=1,2,).前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù)n 3IO(3)統(tǒng)計(jì)量的分布稱為2.常用統(tǒng)計(jì)量抽樣分布.(1)樣本矩：樣本均值X =W Xi ；n7其觀測(cè)值X=L Xi.nid可用于推斷：總體均值E E(X X).c1n樣本方差S2= 寸n -1i注(Xi-X)2X2i-nX2);其觀測(cè)值s2n -1n(Xi=1-x)21n -122為FX可用于推斷：總體方差D D(X).樣本標(biāo)準(zhǔn)差S = . S2n1二一(Xin一1 II 1i注-X)n1n22芝Xi2-nX2J其觀測(cè)值n樣本 k k 階

18、原點(diǎn)矩 Vk= Xjk,(k=1,2，)ni其觀測(cè)值Vkn1 k二一 Xini4注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值X和總體均值 E E(X);X);樣本方差S2與總體方差以為；(2)樣本矩的性質(zhì)10設(shè)總體 X 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EX =H,DX=b2,X,S2為樣本均值、樣本方差，則c -n -12. o O1oE(X)=；2oD(X)= I-2;3oE(S2)=c2.n3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布三、3 大抽樣分布1.乂2分布: 定義.設(shè)Xi,X2，Xk相互獨(dú)立，且Xi N(0,1), i =1,2，,k，則 72=Xi2+X2 + +X2 72(k) 注：若X N(0,1),

19、則X2X2(1).(2)性質(zhì)(可加性)設(shè)新2和器相互獨(dú)立，且 匕2 72),7；72(k2),則好+財(cái)K2(k1+k2).(2)性質(zhì).設(shè)XF(k，k2),則1/XF(k2,k).四、分位點(diǎn)定義：對(duì)于總體 X X 和給定的a(0ct 1)，若存在乂口，使得P(X芝乂營(yíng))=口則稱注：常見分布的分位點(diǎn)表示方法(1)/2(k)分布的a分位點(diǎn)7：(k);(2) t(k)分布的a分位點(diǎn)(k),其性質(zhì):1(3)F#(k1,k2),分布的a分位點(diǎn)F(k1,k2),其性質(zhì)F1q(k1,k2)=-；頃2,3(4) N(0,1)分布的ot分位點(diǎn)u,有P(X芝uQ =1 P(XuQ =1中(uQ,第六章參數(shù)估計(jì)-、點(diǎn)

20、估計(jì)：設(shè)(X，X2，,Xn)為來自總體 X 的樣本，6 為X 中的未知參數(shù)，(X1，X2，,Xn)為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量&X，X2，Xn)作為參數(shù)8的估計(jì)，則稱做 X，X2，Xn)為，的點(diǎn)估計(jì)量,。(.，X?劣)為8的估計(jì)值.2.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法二、矩估計(jì)法1. 基本思想：用樣本矩(原點(diǎn)矩或中心矩)代替相應(yīng)的總體矩2. 求總體 X 的分布中包含的 m 個(gè)未知參數(shù),&，,確的矩估計(jì)步驟： 求出總體矩，即 E(Xk)或 EXE(X)k,k=1,2，； 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程:1ZXik=E(Xk)或 1Z (XiX)k=EX E(X)k,k=

21、1,2，n . n .頊i1i J解上述方程(或方程組)得到 q q, ,% %島的矩估計(jì)量為： 島=d(X1,X2,， Xn), i=1,2， ， m %攜,的矩估計(jì)值為:耳=g(x1,X2， ，xn), i =1,2，,m3.矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：設(shè) X X 與 Y Y 相互獨(dú)立，且 X N(0,1), YX2(k)，貝U t =t(k).,Y/k注：t t 分布的密度圖像關(guān)于 t t=0 對(duì)稱；當(dāng) n 充分大時(shí)，t 分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3. F F 分布： 定義.設(shè) X X 與 Y Y 相互獨(dú)立，且 XX X2 2(k1), 丫7 72 2(k2),則=/*Y/k22. t t 分布:N(0,1). Fl).XQ為 X 分布的 a a 分位點(diǎn)。t1_：.(k) - -t：.(k);11優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單；只須知道總體的矩，不須知道總體的分布形式.缺點(diǎn)：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一性；可能估計(jì)結(jié)果的精度比其它估計(jì)法的低三、最大似然估計(jì)法1. 直觀想法：在試驗(yàn)中，事件 A 的概率 RA）最大，則 A 出現(xiàn)的可能性就大；如果事件A 出現(xiàn)了，我們認(rèn)為事件A的概率最大.2. 定義 設(shè)總體X的概率函數(shù)或密度函數(shù)為p（x,e）（或f（x,a），其中參數(shù) e e 未知，貝uX的樣本（x1,x2，xn）的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）L（H）